<<
>>

Начало и середина 19 века.

В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставалась механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика.

Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создано еще в 18 веке Д. Бернулли, Л.Эйлером, Ж.Даламбером и Ж. Лагранжем.

Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 века – это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начало и середины 19 века – К.Гаусс, Ж.Фурье, С.Пуассон, О.Коши, П.Дирихле, Дж.Грин, М.В. Остроградский. Остроградский М.В. заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел (1826, опубликовано в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее н-мерное обобщения (1834, опубликовано в 1838). В результате исследований по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный анализ (одной из основных формул которого, впрочем, являлась, по существу, и упомянутая формул Остроградского).

Несмотря на господствовавшее в естествознании в начале 19 века механическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает дальнейшее значительное развитие теория вероятностей. П.Лаплас и С.Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. Чебышев П.Л. дает строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорию (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 века привлекают вопросы строго обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованиям в этом направлении Б.Больцано, аналитически доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывную функции и доказал теорему Больцано-Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. Для полной строгости выводов Б.Больцано не доставало теории действительного числа; в его рукописях, опубликованных лишь, в наше время, имеется незавершенный набросок такой теории. Однако небольшая брошюра Б.Больцано (1817) оставалась незамеченной около полустолетия, и реальным отправным пунктом перестройки анализа стали курсы О.Коши, который в 1821 и 1823 опубликовал прочитанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определения понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложения дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему существования интеграла от непрерывной функции). Некоторые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений, уже известные О.Коши в это время, были опубликованы позднее Н.И. Лобачевский (1834) и независимо П.Дирихле (1837) отчетливо сформулировали определение функции как совершенно производного соответствия (восходящее, впрочем, к Л.Эйлеру, 175). П.Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов и минимумов рядов Фурье; условия сходимости рядов Фурье дал Н.И. Лобачевский (1834-35).

Выше уже отмечалась работа К.Весселя, содержавшая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, но она оставалась незамеченной. В 1799 К.Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени).

Лишь значительно позже (1831) К.Гаусс явно изложил теории комплексных чисел. Тем временем Ж.Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрической интерпретацией и доказательством леммы Даламбера, а в 1815 доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее к доказательству О.Коши (1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К.Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал общие основы теории были заложены О.Коши, теория эллиптической функций была развита Н.Абелем и К.Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоричного подхода 18 века, сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер теории функций комплексного переменного еще усиливается в середине 19 века у Б.Римана. Здесь оказывается, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае ее многозначности является не плоскость комплексного переменного, а так, например риманова поверхность соответствующая данной функции.

К.Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б.Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрическая идея Б.Римана оказываются в дальнейшем все более определяющими весь мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теории функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области явления П.Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П.Л. Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия, по существу, также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трехмерном евклидово пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б.Риман создает (1854, опубликовано в 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий. Б.Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.

<< | >>
Источник: История математики в XIX и начале XX вв. Математика и математики в Великой Отечественной войне. Лекция. 2016

Еще по теме Начало и середина 19 века.:

  1. 2. Золотой и серебряный век русской культуры
  2. ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ НА РУБЕЖЕ XXI ВЕКА: ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ, ЭВОЛЮЦИИ И ПРЕЕМСТВЕННОСТИ
  3. Введение. Пути становления русской литературы XVIII века и формирование ее национального своеобразия
  4. Поиски систематики человека
  5. Программа курса ЧАСТЬ I. Санкт-Петербург с основания до середины XIX века Тема 1. Культура города и пути ее изучения
  6. Проблема человека в философии Человек как проблема для самого себя
  7. Об окончаниях -am, -ami, -ax в русском языке XVI—XVII веков
  8. 2.4. Особенности развития семейных отношений в народной среде  второй половины 19 века и влияние накопленного положительного опыта на правовую культуру семейных отношений последующих поколений.
  9. § 1. Становление юридической герменевтики в российской юридической науке во второй половине XIX – начале XX века
  10. Введение в историю революционного века
  11. 22. Развитие российской психологии во 2-ой пол. XIX-начале XX века.