Конец 19 века и начало 20 века.
Лишь в начале 70-х годов 19 века Ф.Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в ее непротиворечивости. Ф.Клейн подчиняет (1872) все разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований.
В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в идее строгой теории иррациональных чисел (Р.Дедекинд, Г.Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-1884 публикуются основные работы Г.Кантора по общей теории бесконечных множеств, в разработке которой видную роль сыграл вначале также Р.Дедекинд.Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете математика, строение математической теории, роли аксиоматики и так далее. Широкое их распространение потребовало еще нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 «Основной геометрии» Д.Гильберта).
Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредотачивается на преодолении логических трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математической теории и приемов конструктивного решения математических задач средствами математической логики. Эти исследования вырастают в большой самостоятельный отдел - математическую логику.
Основы математической логики создаются в 19 в. Дж.Булем, П.С.Порецким, Э.Шредером, Г.Фреге, Дж.Пеано и др. В начале 20в. в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д.Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л.Брауэром и его последователями).
Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и окончательности результатов, получают в конце 19в. и в начале 20 в..
Куммер Э., Кронекер Л., Дедекинд Р., Золотарев Е.И. и Гильберт Д. закладывают основы современной алгебраической теории чисел. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа
. Адамар Ж. (1896) и III. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования Чебышева П.Л. о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Минковский Г. вводит в теоретико-числовые исследования геометрические методы. В России работы по теории чисел после П.Л.Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Б.И.Золотарева, А.Н.Коркин, Г.Ф.Вороновой и А.А.Марков. Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской науки в области теории чисел еще более закрепляется в Советское время. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. В частности, подробно исследуется различные возможности сведения решения уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида. В связи с запросами теории колебаний (устойчивость, автоматическое управление) широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения корней уравнения на плоскости. Вопросы линейной алгебры, получающей все более широкое применение в механике и физике, освещаются с совершенно новой стороны, благодаря привлечению геометрической идеи теории г-мерных векторных пространств. Однако центр тяжести теоретических алгебраических исследований переносятся в ее новые области: теорию групп, полей, колец, решеток и т.д. Многие из этих отделов получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп - в кристаллографии (в работах Е.В.Федорова и А.Шенфлиса), а позднее – в квантовой физике. На границе между алгеброй и геометрией С.Ли создает (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникают вовсе новые области математической логики и естествознания.
Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изучения их логических аксиоматических основ.
Но дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трехмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах З.Бельтрами, Г.Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных, более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теорией относительности, создано, прежде всего, работами Т.Леви-Чивиты, Э.Картана и Г.Вейля.В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теорий функций действительного переменного, теория аналитических функций в конце века лишается того исключительного положения ядра всего математического анализа, которое намечается для нее в начале и середине 19в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так из-за обнаруживающихся новых связей ее с другими отделами анализа к непосредственно с естествознанием. Особенно существенно в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (например, задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и задачах теории упругости.
Ф.Клейн и А.Пуанкаре создают теорию автономных функций, в которой находят замечательное применение в геометрии Лобачевского. Пикар Э., А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт и др.
В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль в математике – теория функций действительного переменного.
Под этим несколько условным названием понимают по преимуществу исследование основных понятий анализа (например, понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа (например, разложения функций втригонометрия, ряды) с достаточно общей точки зрения. Если ранее систематический изучались лишь функций, возникающие «естественно» из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объема общих определений (в самом начале ее развития Б.Больцано и позднее К.Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке) и к обобщению основных понятий, анализа в тех случаях, когда в первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения которой они возникли (например, создания такого процесса интегрирования, которой позволил бы восстановить с точностью до постоянной любую функцию, имеющую в каждой точке производную по этой производной). Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К.Жордан, Э.Борель, А.Лебег, Р.Вэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе.Исследование функций действительного переменного велось, но с другой, примыкающей к П.Л.Чебышеву, классической точки зрения. Именно, было обнаружено, что более узкие классы функций, имеющие основной практический интерес (классы функций, данное число раз дифференцируемых, или аналитические функций), могут быть охарактеризованы тем, насколько быстро убывают с возрастанием n отклонения от функции наилучшим образом аппроксимирующих ее многочленов степени n. Наиболее значительные результаты были получены в конце 19 в. и в начале 20 в. русскими и советскими математиками. Разрабатывается также теория приближения функций многочленами в комплексной области.
Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики выработанные в ее пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа.
Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нем задач он примыкает непосредственно к классическому анализу и математическому. Физике, становясь особенно необходимым в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви математики было произведено В.Вольтеррой в конце 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимается теперь возникшие много ранее исчисление ранее вариационное исчисление ж теория интегральных уравнений, систематическое построение которой было начато тем же В.Вольтеррой и продолжено И.Фредгольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зрения центральное положение в функциональном анализе занимает теория бесконечномерных пространств, (разработанная в наиболее, употребительной ныне форме С.Банахом) и операторов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, основная роль которого выяснилась из работ Д.Гильберта но интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.Наибольшее число задач, выдвигаемых перед математикой, естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А.Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А.Пуанкаре и др.) вопросы устойчивости, особенно глубоко изучены А.М.Ляпуновым.
Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А.Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б.Риманом исследований по топологии многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили свое начало «комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические» методы современной топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематическому построению теории общих топологических пространств, в частности теории их размерности.
Теория дифференциальных уравнений с частными производными еще в конце 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитическая теория, восходящая к О.Коши, К.Вейерштрассу и С.В.Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, т.к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т.е. возможности приближенно найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближенно, а в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории: краевые задачи, которые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказывается различными. Наиболее надежным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственной обращение к соответствующим физическим представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т.п.).
Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными главным образом в теорию уравнений математической физики имело большое положительное значение в смысле накопления огромного материала, в то же время служит и признаком недостаточного развития общей теории краевых задач, которая позволила бы систематически изучать все теоретически возможные «корректные» краевые задачи. Существенный прогресс в этом направлении достигнут в работах советских математиков. Работы по отдельным типам уравнений математической физики справедливо составляют значительную часть всей математической продукции. После П.Дирихле и Б.Римана уравнениями математической физики занимались А.Пуанкаре, Адамар, Д.Гильберт, а в России А.М.Ляпунов, В.А.Стеклов и др.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений, при изучении природы и решении технических, задач являются методы теориивероятностей. Если в начале 19в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теории ошибок, то в конце 19в. и начале 20 в. теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию.