6. Теория стрельбы
Традиционная область деятельности ученых нашей страны — исследование артиллерийских систем.
Этим занимались М.В.Остроградский (1801-1862) и П.Л.Чебышёв (1821-1894), и последующие поколения ученых.
Проблемы пристрелки, разработанные еще в XIX веке в связи с появлением новых типов артиллерии потребовали в период Великой Отечественной войны дополнительных исследований и составления таблиц. Стрельба с самолета по самолету и по наземным целям также привела к математическим задачам, которые нужно было срочно решить. Ими занимались упорно как специалисты в области артиллерии, так и математики. Проблемы бомбометания привели к необходимости составления таблиц, позволяющих находить оптимальное время для сброса бомб на цель, область, которую накроет бомбовой удар. Такие таблицы были составлены еще до начала войны, но для самолетов, обладающих большими скоростями. Во время войны выявилась полезная возможность использования тихоходных учебных самолетов для ночных бомбежек. Были созданы специальные полки ночных бомбардировщиков, но для них не было своевременно создано таблиц бомбометания. Возникла срочная задача производства соответствующих расчетов. Таблицы были созданы и они оказали несомненную помощь нашим летчикам и летчицам.Интересная задача возникла у моряков в связи с желанием увеличить вероятность попадания в цель при торпедном залпе. Возникла идея за счет искусственного рассеивания увеличить эту вероятность. Этой задачей занялся один из крупнейших нищих математиков академия А.Н. Колмогоров. Ему удалось найти полное решение задачи и довести его до практического использования. Несомненно, что какую-то долю успехов наших моряков следует отнести и на счет этой решенной Колмогоровым задачи. Позднее его выводы были перенесены и на проблемы, связанные со стрельбой зенитной артиллерии по самолетам. Вообще нужно сказать, что актуальная математическая задача, решенная в одной практической ситуации, очень быстро находит и другие применения, порой очень далекие от первоначального направления исследований.
1. В отличие от того, что наблюдалось в годы после первой мировой войны, международные математические связи после 1945 г. были быстро восстановлены. Несомненно, этому способствовали разгром фашистских режимов, возросшая роль Советского государства, расширение социалистического лагеря. В 1950 г. собрался первый послевоенный международный математический конгресс в Гарварде (США), на котором было достигнуто соглашение о возобновлении деятельности Международного математического союза. С тех пор международные математические конгрессы собирались регулярно: в 1954 г. в Амстердаме, в 1958 г. в Эдинбурге, в 1960 г. в Стокгольме, в 1966 г. в Москве, в 1970 г. в Ницце, 1978 г. в Хельсинки. Число участников уже в Гарварде превысило прежний рекорд, в Москве оно составило около 4000. Число математических публикаций в мире, начиная в 1946 г., продолжало расти по экспоненциальному закону.
Продолжалось и развитие математики на различные дисциплины. На международных конгрессах оно находит свое выражение в росте числа секций: в Москве в 1966 г. их было пятнадцать, и некоторые из них могли быть с успехом разбиты на подсекции. Такое разветвление математики вызвало увеличение числа специализированных математических журналов, постепенно оттесняющих журналы прежнего типа, печатающие работы любой тематики.
Не меньшую роль, чем общие математические конгрессы, стали играть международные конференции и симпозиумы по отдельным дисциплинам и областям. В последние годы такие специализированные конференции проводятся в различных странах в национальном масштабе. В СССР систематически собирались конференции по алгебре, по теории вероятностей и математической статистике, по геометрии. В СССР возникла такая новая форма, как «математические школы»: сравнительно небольшая группа математиков собиралась на 2-4 недели, и за это время участники школы заслушивали небольшие курсы лекций или группы докладов, в которых систематически излагался определенный цикл вопросов.
Быстрый рост математики и числа математиков связан с расширением применений математики, и с углублением этих применений.
Процесс «математизации» различных наук и прикладных областей, достаточно четко обозначившихся в предвоенный период, идет в нарастающем темпе. Помимо традиционных для математики областей ее применения: физики, механики, астрономии, баллистики – теперь можно указать на химию, биологию, лингвистику, психологию, целый ряд экономических и технических дисциплин. Все эти новые применения математики обозначают новые взаимодействия между математикой и другими науками, приводят к новым проблемам и требуют создания новых методов. Не остается неизменным и характер влияния на математику традиционных областей ее применения. Запросы к математике со стороны классической небесной механики в свое время были оттеснены на второй план запросами классической физики (краевые задачи математической физики), затем усилилось влияние на развитие математики таких неклассических разделов физики, как теория относительности и квантовая механика (последняя содействовала развитию теории операторов в гильбертовом пространстве и укрепила позиции «линейной математики»).Выше подчеркивалось продолжение процесса разветвления, специализации в математике. В литературе можно найти немало жалоб по этому поводу – сетований, что прошли безвозвратно времена, когда математик мог знать все в своей науке, и, при наличии выдающихся дарований, мог работать во всех ее областях. Однако нельзя не видеть, что процесс специализации вызывает и противоположные реакции. В области самой математики все больше усилий посвящается выявлению общих основ различных теорий. Из работ такого направления следует выделить предпринятое группой математиков, преимущественно французских, издание полного трактата по современной математике: «Элементы математики» Николая Бурбаки (коллективный псевдоним группы). Трудно быть уверенным в том, что когда-либо этот трактат, издание которого началось свыше 30 лет тому назад, будет закончен. Однако и в настоящем своем виде (около 30 выпусков) он представляет единственное в современной литературе единообразно построенное изложение большой части современной математики (без применений) и оказал значительное влияние на развитие некоторых важных областей, например общей теории топологических линейных пространств.
В области применений в известной мере восстанавливается на более узкой базе существовавшая раньше близость естественнонаучного и математического мышления, и порою наблюдаются даже органический их синтез: немало случаев, когда при нестандартном применении готового математического аппарата или при необходимости создания новых математических средств математик, говоря словами А.Н.Колмогорова, сам овладевает существом данной проблемы и стремится найти для нее адекватный математический язык. Несомненно, что именно за последние десятилетия многие выдающиеся математики немало сделали в теоретической физике, механике, в технических и экономических дисциплинах. В 1947 г. П.С.Александров с полным основанием указывал, что можно видеть признаки нового поворота этого вековечного вопроса о взаимоотношении теории и практики в математической мысли: появились целые области математики, в которых невозможно провести точную грань между математической и физической постановкой вопроса.Так в математической науке появляется новый тип ученого. Математика теперь представлена не только академиками (преобладающий тип в XVIII веке) и профессорами университета (преобладающий тип в XIX веке), но и работниками исследовательских институтов и лабораторий, государственных и частных. Это связано с новыми формами организации научной работы. Мы имеем теперь математиков-инженеров, математиков-экономистов и это не одиночки, как бывало в прошлом, а значительные группы, активно участвующие в решении теоретических проблем.
2. В течение последних трех десятилетий возникло несколько новых математических дисциплин, но продолжали развиваться и все ранее сформировавшиеся. Ограничимся только одним примером из области «классических» математических направлений, который заодно показывает, какие глубокие изменения происходят и в самых традиционных областях. Алгебраическая геометрия была одной из важных глав математики XIX века, и ее усиленно культивировали на рубеже двух столетий ученые итальянской школы.
Все же многие результаты в этих исследованиях не были обоснованы с достаточной строгостью, о необходимость применять особые методы для изучения систематически встречающихся «сингулярностей» весьма усложняло дело. Преодоление различных трудностей подобного рода было достигнуто благодаря переходу к более общей постановке вопроса и использованию новых понятий и методов, возникших в других областях современной математики. Прежняя, или классическая алгебраическая геометрия основывалось на теории функций комплексного переменного и работала поэтому трансцендентными методами, прибегая и к не вполне строгим геометрическим соображениям. Под влиянием развития новой (абстрактной) алгебры и в связи с задачами на диофантовы уравнения (определение на алгебраических кривых точек с целочисленными координатами) выяснилось, что целесообразно расширить постановку проблемы в целом: исходить не из поля комплексных чисел, а из произвольного поля. Так, в школе Эмми Нётер была начата перестройка алгебраической геометрии с полным соблюдением того стандарта строгости, который был достигнут в абстрактной алгебре. Однако на этом пути непосредственно можно было получить далеко не все результаты, добытые ранее. Понадобилась разработка новых методов, для чего были использованы идеи и результаты алгебраической топологии, возникшей в пятидесятые года так называемой гомологической алгебры. Благодаря этому сочетанию идей и методов в современной абстрактной алгебраической геометрии достигнута такая степень общности результатов (при полной строгости обоснования) которая, по-видимому, совершенно недостижима прежними средствами. Примером может быть обобщение классической формулы Римана-Роха, полученное в работах последних лет и нашедшее уже важные применения в теории краевых задач для дифференциальных эллиптических операторов.3. Многие области математики, впервые ставшие самостоятельными в течение последнего времени можно отнести к кибернетике, что, правда, указывает на расплывчатость этого термина (для него нет общепринятого определения, однако существует Международная кибернетическая ассоциация, и с 1956 г.
состоялось несколько организованных ею международных конгрессов по кибернетике). Видное место здесь занимали проблемы, связанные с созданием и применением быстродействующих вычислительных машин (БВМ). Только электронная техника позволила в сороковые годы создать математические машины, которые в течение нескольких лет стали необходимым средством для решения важнейших прикладных задач. Больше того, этот скачок в математической технике повлиял на развитие математики в целом: а) произошла фундаментальная переоценка известных ранее вычислительных методов, эта переоценка коснулась и теоретических методов; некоторые из них оказались имеющими и практическое значение, соответственно изменилась тематика исследований; б) появилась новая научная дисциплина – теория и практика программирования (алгоритмов для математических машин); в) новая вычислительная техника сделала возможным автоматизированное, полностью или частично, управление различными процессами и моделирование процессов и явлений с точностью и в масштабах, ранее совершенно недоступных, и это повлекло за собой стремительное расширение применений математики и новое обогащение и видоизменение ее тематики; г) современные математические машины могут выполнить элементарные логические операции с тем же или почти с тем же быстродействием, что и арифметические операции, что открывает новые перспективы взаимодействия человека и машины и может изменить сам характер научного труда, в первую очередь математического; с этими перспективами тоже связана новая, успешно разрабатываемая проблема. Насколько могущественнее стала математика благодаря современной технике, показывает следующая справка: «По самым минимальным оценкам, объем вычислений, выполненных с 1962 по 1966 гг. с помощью ЭВМ, превышает по крайней мере в пять раз объем вычислений, которые были выполнены человечеством за все время существования до 1945 г. – года рождения первой вычислительной машины».К кибернетике можно отнести и тесно связанную с теорией вероятностей и математической статистикой теорию информации. Она выросла из решения отдельных задач, поставленных в связи с передачей телеграмм, телефонограмм и т.п., и становилась самостоятельной дисциплиной в меру выработки достаточно общих понятий (например, единица информации, информация, энтропия, негэнтропия, случайный шум и т.д.) и упрощений, сделавших возможным математизацию проблем. Характерно основоположное участие, точнее, соучастие в этих исследованиях инженеров, физиков, математиков: Р.Фишер, Н.Винер, А.Н.Колмогоров, Вольф, Силард, Шрёдингер и др.
Теория игр («стратегических игр»), которой стал заниматься Э.Борель, вышла из зародышевого состояния с появлением монографии Дж.фон Неймана и экономиста О.Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944). К годам второй мировой войны относится становление и теории операций, первоначально использованной для принятия решений военного характера.
И эти теории находятся в прямой связи с теорией вероятностей и математической статистикой. Насколько и где они применимы – до сих пор является предметом обсуждения. Аксиоматический метод применяется и здесь, как и в теории информации, для более строгого построения теории. Математическая логика тоже привлекается к исследованию этих проблем, которые ставят перед нею задачу развития многозначных и бесконечных логик.
4. Приведенные выше сведения о послевоенном периоде отрывочны. Можно было бы значительно расширить этот обзор, и все же он создал бы впечатления законченности, завершенности. Причина этого не только в обширности материала. В современной математике её основные части – в движении, в состоянии изменения.
«На наших глазах происходит процесс качественного изменения самой математики; открываются тесные связи между казавшимися ранее далекими ветвями математики, возникают новые математические дисциплины. Создание быстродействующей вычислительной техники в корне изменило представление об эффективности различных математических методов и принципиально расширило сферу приложений математики. Все более расширяются связи математики с другими науками. Если раньше они ограничивались механикой, астрономией, физикой, то теперь математические методы всё глубже проникли в химию, геологию, биологию, медицину, экономику, языкознание. Общеизвестна роль математики в создании направлений – радиоэлектроники, атомной энергетики, космонавтики. Старинное утверждение о том, что математика является царицей наук, приобрело, таким образом, гораздо более глубокое содержание».