§ 70. Пояснения к идее чистого учения о многообразии
Эти намеки покажутся, быть может, несколько темными. Что ^ речь идет тут не о смутных фантазиях, а о концепциях с прочным q: содержанием, показывает «формальная математика » в самом ши- 35 роком смысле, или учение о многообразии, этот плод высшего рас- $ цвета современной математики.
И действительно, это учение есть не что иное, как частичное осуществление {в коррелятивном видоизменении} только что намеченного идеала. Этим, разумеется, еще не сказано, что сами математики, руководимые первоначаль- 40 но интересами области чисел и величин и ограниченные этими интересами, правильно поняли идеальную сущность новой дисциплины и вообще возвысились до последней абстракции всеобъемлющей [теории}[235]. Предметный коррелят понятия возможной,
определенной ТОЛЬКО по своей форіие теории есть понятие возможной области познания вообще, подчиненной теории такой формы. Но такую область математик (в своем кругу) называет многообразием. Это есть, стало быть, область, которая единственно и исключительно определяется тем, что она подчинена теории та- 5 кой-то формъц {соответственно}[236], что для ее объектов возможны определенные овязи, подчиненные определенным базисным законам данной определенной формы (здесь это есть единственно определяющее)Шо своей материи эти объекты остаются совершенно неопределенными — математик, чтобы указать на это, охотно ю говорит об «объектах мышления». Они не определены ни прямо, как индивидуалькые или видовые единичности, ни косвенно своими {материальными}[237] видами или родами, а исключительно только формой приписанных им связей. Эти последние по содержанию так же мало определены, как и их объекты; определена только их 15 форма, и она определяется именно формами признаваемых значимыми для них элементарных законов. И эти законы определяют как область {или, скорее, форму области}, так и надлежащую теорию или, опять же вернее, форму теории.
В учении о многообразии, например, «+» есть не знак сложения чисел, а знак такого 20 соединения вообще, к которому применимы законы формы а + Ь = b + а и т. д. Многообразие определено тем, что его объекты мышления допускают эти «операции», как и другие, о которых можно доказать, что они a priori совместимы с первыми.Самая общая идея учения о многообразии состоит в том, чтобы 25 быть наукой, которая определенным образом развивает существенные типы возможных теорий {(соответственно, областей)} и исследует их закономерные взаимоотношения. Тогда все действительные теории являются специализациями и сингуляризация- ми соответствующих им форм теорий, как и все теоретически обработанные области познания — отдельными многообразиями. 30 s Если в учении о многообразии действительно проведена соответ- § Лгвующая формальная теория, то этим исчерпана вся дедуктив- * ная теоретическая работа построения всех действительных тео- ^ рйй той же формы. о
искусства математики, пока- 40 зывает не только взгляд на учения о многообразии, которые выросли из обобщений геометрической теории и формы теории, но даже первый и сахмый простой случай этого рода, расширение обла- сти реальных чисел (или соответствующей формы теории, «формальной теории реальных чисел») и превращение ее в формальную, двукратно расширенную область общих комплексных чисел. И действительно, в этом воззрении лежит ключ к единственно 5 возможному решению все еще не разъясненной проблемы, на каком основании, например, в области чисел с возможными (недействительными) понятиями можно методически обращаться как с реальными. Однако здесь не место подробнlt;р развивать это. Говоря выше о теориях многообразий, возникших из обобще- ю ний геометрической теории, я разумел, конечно/учение о многообразиях w-измерений — евклидовых и неевклидовых, далее, учение Грассмана о протяжении и родственные, легко отделимые от всего геометрического теории У. Роуэна, Гамильтона и др. Сюда же относится учение Ли о трансформационных группах, иссле- 15 дования Г.
Кантора о числах и многообразиях и многие другие. Рассматривая способ, которым посредством варьирования меры кривизны совершается взаимный переход между различными видами пространственноподобных многообразий, философ, изучивший начала теории Римана-Гельмгольца, может составить 20 себе некоторое представление о том, как чистые формы теорий определенно различного типа соединяются между собой закономерными связями. Было бы легко показать, что познание истинного смысла подобных теорий, как чисто категориальных форм теорий, изгоняет всякий метафизический туман и всякую мистику из 25 соответствующих математических исследований. Если мы назовем пространством некоторую известную нам форму порядка мира явлений, то, разумеется, противоречиво говорить о «пространствах», для которых не имеет значения аксиома о параллелях; противоречиво также говорить о различных геометриях, позо скольку геометрия есть именно наука о пространстве мира явлений. Но если мы под пространством понимаем категориальную форму мирового пространства и {коррелятивно} под геометрией — категориальную теоретическую форму геометрии в обычном q: смысле, тогда пространство входит в подлежащий закономерному ^ 35 отграничению вид категориально определенных многообразий, в $ отношении которого естественно можно говорить о пространстве в более широком смысле. {Точно так же}1 геометрическая теория входит в соответствующий вид теоретически связанных и чисто категориально определенных форм теорий, которые тогда в соот- 40 ветственно расширенном смысле можно называть «геометриями» этих «пространственных» многообразий. Во всяком случае, учение о «пространствах w-измерений» осуществляет теоретически замкнутую часть учения о теориях в определенном выше смысле. Теория евклидова многообразия трех измерений есть последняя
1 А: {В свою очередь}.
идеальная единичность в этом закономерно связанном ряду априорных и чисто категориальных форм теорий (формальных дедуктивных систем). Само это многообразие есть в отношении «нашего» пространства, т. е. пространства в обычном смысле, соответствующая ему чисто категориальная форма, стало быть, идеальный род, по отношению к которому наше пространство составляет, так сказать, индивидуальную единичность, а не видовое различие. Другой грандиозный пример есть учение о комплексных системах чисел, в пределах которого теория «простых» комплексных чисел есть опять-таки сингулярная единичность, а не последнее видовое различие. В отношении соответствующих теорий арифметика количества, арифметика порядковых чисел, арифметика quantite dirigee и т. п. суть все в известном смысле индивидуальные единичности. Каждой из них соответствует формальная родовая идея, в данном случае учение об абсолютных целых числах, о реальных числах, о простых комплексных числах и т. д., причем «число» следует понимать в обобщенно формальном смысле.