Глава 5. Строение предложенийи их символическая запись

Сейчас мы займемся описанием строения предложений — разумеется, только входящих в поле зрения логики (см. главу 3), и притом не всех, а .лишь наиболее простых (но их будет достаточно для исследования строения рассуждений).

1. Мы начнем с рассмотрения предложений, в которых утверждается наличие некоторой простой ситуации, например: Учитель пришел, Ока впадает в Волгу, Отец подарил сыну книгу, Иван купил у Петра корову за сто рублей. В каждой такой ситуации участвуют один или несколько «предметов»: в первом предложении речь идет о ситуации «прихода» с одним участником — учителем, во втором о ситуации «впадения» с двумя участниками — Окой и Волгой, и т. д. Ситуация с одним участником может состоять в том, что «предмет» обладает каким-либо свойством: Кошка — млекопитающее, 6 — четное число; с известной натяжкой можно описать таким образом и любую одноместную ситуацию — например, понимать наше первое предложение как «Учитель обладает тем свойством, что он пришел». Что же касается ситуаций с несколькими участниками, то они всегда состоят фактически в том, что «предметы» находятся в каком-либо отношении (см. гл. 4, пункты 9 и 11).

Для предложений этого типа —по смысловой структуре они самые простые — в современной логике принят следующий способ записи: ситуация обозначается каким-либо символом (чаще всего буквой) и справа от него в скобках записываются имена ее участников — разделенные запятыми, если их больше одного. (Эти имена могут быть либо словами естественного языка, либо тоже символами — например, математическими.) Обозначив, например, свойство «быть пришедшим» и отношения «впадения», «дарения» и «покупки» соответственно буквами Л, В, Д, К, мы сможем записать приведенные выше предложения так: Щучите.

Читатель, вероятно, обратил внимание на сходство такого способа записи предложений с обычным способом обозначения функций (см. гл.4, пункты 10 и 11). Это сходство не случайно: с каждым свойством и каждым отношением можно весьма естественно связать некоторую

M

M(x)

x

M(x) x

так что M (кошка) = И, M (корова) = И, M (ворона) = Л. Аналогич-

B

ных B(x^), у которой область первых элементов состоит из всевозможных рек, а область вторых элементов включает также всевозмож-

(x, у)

ветствующих множеств B(x, у) есть истинностное значение предложения «x впадает в у», тж что M(Ока, Волга) = И, M(Волга, Ока) = Л, M(Волга, Волга) = Л.

Этим же способом можно связать некоторую функцию одной пе-

n

(n = 2, 3,...) с каждым n-местным отношением. Такие функции называют предикатами. Предикаты, отвечающие свойствам, называются одноместными, отвечающие двуместным (бинарным) отношениям — двуместными, и т.д. Общее определение можно сформулировать так:

nn

определения, множество значений которой содержится в множестве

{И, Л}.

Приведем еще несколько примеров. Обозначим через G(x) одноместный предикат, определенный на множестве натуральных чисел

x

M(x, у)

ных чисел и принимающий значение И, если x < у, и значение Л в

остальных случаях; через S(x, у, z) —трехместный предикат, заданный на том же множестве действительных чисел и принимающий значение If, если х + у = z, и значение Л в остальных случаях. Ясно, что первый из этих предикатов отвечает свойству «быть четным числом», второй—бинарному отношению х < у, третий — тернарному отношению х + у = z. п п

зывают многоместными.

Если все значения предиката равны If, его называют тождественно истинным, а если все его значения равны Л — тождественно ложным. Например, предикат, определенный на множестве людей и отвечающий свойству «быть смертным», тождественно истинен, а определенный на том же множестве предикат, отвечающий свойству «быть бессмертным», тождественно ложен.

2.

F

смысл для элементов множества М, и F(х) — отвечающий этому свой-

M

MF

M

F» записывается в виде VxF(х), а предложение «Во множестве М существует (или «есть», или «имеется», или «найдется») элемент, обладающий свойством F»—в виде 3xF(х). Выражения Ух и Бх называются квантором общности (или всеобщности) и квантором существования соответственно. При этом обычно говорят «квантор по переменной х».

Предложение VxF(x), очевидно, истинно, если F(x) — тождественно истинный предикат, и ложно в противном случае; предложение 3xF(x)

F(x)

истинен.

Подчеркнем, что поскольку выражения VxF(x) и 3xF(x) — не предикаты, а предложения, они в действительности не зависят от перемен-

x

обозначить и любой другой буквой: вместо VxF(x) можно писать, например, VyF(у) или VzF(z), вместо 3xF(x) — ЗyF(у) или 3zF(z).

Постановку квантора общности и квантора существования перед одноместными предикатами — или, как чаще говорят, связывание переменной квантором — можно рассматривать как операции, превращающие эти предикаты в предложения. Например: связывая квантором общности переменную x в предикате C(x), определенном на множе-

x

VxC(x) — «Все люда смертны», а из предиката 4(x), определенного на

x

чаем ложное предложение Vx4(x) —«Все лебеди черные»; заменив в последнем примере квантор общности квантором существования, полу-

3x (x)

связав квантором существования переменную x в предакате B(x), опре-

x

3x (x)

VxF(x) 3xF(x)

же истинно, и если 3xF(x) ложно, то VxF(x) также ложно.

Операции связывания кванторами можно применять и к многоместным предикатам, но в этом случае результатом будет не предложение, а предикат, вместимость которого на единицу меньше. Рассмотрим, например, введенный выше двуместный предикат B(x,y), означающий «x впадает в у», где x — река, а у — река, море или озеро. Связывая в нем x

VxB(x, у) у

у

вая ту же переменную квантором существования, получим другой одноместный предикат — 3xB(x, у),— означающий «Существует река, впа- у

ни тождественно ложным). Связывая в том же двуместном предикате переменную у, получим одноместные предикаты VyB(x,y) и 3yB(x,y),

x

«Существует река, море или озеро, куда впадает х». (Первый из этих предикатов тождественно ложен, второй ни тождественно истинным, ни тождественно ложным не является. ) Если теперь в каком-либо из четырех полученных таким образом одноместных предикатов связать оставшуюся «свободную» переменную квантором общности или существования, получится уже предложение, истинное или ложное. Например, предложение БхУуВ(х, у) — «Существует река, впадающая во все реки, моря и озера» — ложно, предложение БхЗуВ(х, у) — «Существует река, впадающая в какую-то реку, море или озеро» — истинно.

Приведем еще один пример. Пусть М(х, у)—рассмотренный выше предикат, определенный на множестве действительных чисел и отвечающий отношению х < у. Тогда предложение УхБуМ(х, у), означающее «Для любого действительного числа существует действительное число, которое больше его», истинно, а предложение БуУхМ(х, у), означающее «Существует действительное число, которое больше всех действительных чисел», ложно.

Из этого примера видно, между прочим, что кванторы общности и существования нельзя переставлять.

Задачи. (1) (а) Выше были выписаны два из восьми предложений, получающихся из предиката В(х,у) связыванием обеих переменных кванторами. Выпишите остальные шесть, переведите их на русский язык и найдите их истинностные значения.

(б) То же для предиката М(х,у).

(2) Обозначим через М1(х,у) двуместный предикат, заданный на множестве натуральных чисел и отвечающий отношению х ^ у.

(а) Убедитесь, что из четырех одноместных предикатов, возника-

М1 (х, у)

тождественно истинны, один тождестенно ложен и один не является ни тождественно истинным, ни тождественно ложным.

М1 (х, у)

нием обеих переменных кванторами, переведите их на русский язык и найдите их истинностные значения.

Замечания.

2) Еще один способ получить из многоместного предиката предикат меньшей вместимости состоит в том, чтобы фиксировать значения

некоторых переменных. Например, если в рассматривавшемся выше

В(х, у) у =

В(х, ) х

3. Теперь мы займемся символической записью предложений, которые образуются из других, более простых, предложений с помощью союзов. Для целей исследования рассуждений можно ограничиться тремя союзами: «и», «или», «если» . Для этих союзов в логике используются специальные символические обозначения. В практическом плане это очень существенно: без символических обозначений сложные выражения, возникающие при исследовании рассуждений — с такими выражениями нам скоро придется столкнуться,— были бы совершенно необозримы. В теоретическом плане важнее другое: нам придется точно описать значения союзов. Впрочем, это описание будет довольно схематичным. В естественном языке зависимость смысла предложения, образованного с помощью того или иного союза, от смысла его частей бывает обычно довольно сложной. Но в логике нас интересует только один аспект смысла предложения — его истинностное значение. Поэтому сейчас для нас описать зачение союза значит указать, каким образом зависит истиностное значение полученного с его помощью предложения от истинностных значений тех предложений, из которых оно получено. Разумеется, при этом значение союза сильно упрощается и обедняется, но для целей логики такое упрощенное описание вполне удовлетворительно.

Начнем с союза «и». В русском языке сложное предложение, образованное с его помощью (или с помощью близкого по значению союза «а») истинно в том и только в том случае, когда истинны оба составляющих его простых предложения. Например, предложение «Лондон — столица Англии, а Париж — столица Франции» истинно, а каждое из предложений «Лондон —столица Англии, а Париж — столица Норвегии», «Лондон—столица Швеции, а Париж — столица Франции», «Лондон —столица Швеции, а Париж — столица Норвегии» ложно.

В логике принято для произвольных предложений «А» и «B» записывать предложение « А и B» символически в виде А & B.

Замечание. Вместо знака & иногда используется знак Л.

Зависимость истинностного значения конъюнкции от истинностных значений ее членов можно представить с помощью таблицы: А B А & B И И И И Л Л Л И Л Л Л Л Здесь в каждой строке слева от вертикальной черты записана одна из четырех возможных комбинаций истинностных значений предложений «А», «B», а справа — соответствующее истинностное значение предложения А & B. Подобными истинностными таблицами мы будем широт пользоваться и впредь.

Пример. Пусть P означает «Дважды два — четыре», Q — «Снег бел», P' —«^а^да: два — пять», Q' —«Снег черен». Тогда предложение P & Q истинно, а предложения P & Q', P' & Q и P' & Q' ложны.

Конечно, в реальной речи весьма маловероятно встретить предложение вроде «Дважды два —четыре, и снег бел». Но дело тут не в свойствах языка, а в том, что снег и таблица умножения обычно в одном рассуждении не встречаются. Можно, впрочем, представить себе ситуацию, в которой такая фраза естественна. Вообразим, например, что некий шутник, желая разыграть своего приятеля, яростного спорщика и любителя объяснять общеизвестные истины, стал уверять его, что дважды два —пять и что снег черен. Если приятель примет это всерьез, он вполне может воскликнуть: «Да нет же, дважды два — четыре, и снег бел!»

Обратимся теперь к союзу «или». В русском языке он имеет несколько разных значений. Из них нас будет интересовать только одно, наиболее употребительное — то, которое выступает, например, в следующих предложениях: (1) «Здесь близко река или озеро» (иначе: «Здесь близко

®От латинского conjunctio— «соединение, связь». Символ & — стилизованное написание латинского et — «и».

река или здесь близко озеро»); (2) «Это яблоко сорвано с той или с соседней яблони»; (3) «Завтра я пойду в школу или в библиотеку»; (4) «Завтра в 12 часов он будет выступать в Туле или в Твери». (Предложения (2), (3), (4) можно, очевидно, преобразовать так же, как (1).) Каждое из предложений (1)—(4) состоит из двух более простых пред-ложений— скажем, А и В; при этом ни об А, ни о В в отдельности говорящий не знает, истинно оно или ложно, однако он утверждает, что хотя бы одно из них истинно — а может быть, и оба. Например, предложение (1) будет признано истинным, если в действительности поблизости есть река, но нет озера, или реки нет, но озеро есть, или есть и река, и озеро; если же ни реки, ни озера нет, это предложение будет признано ложным. (Конечно, в случаях (2) и (4) A и В не могут быть истинны одновременнно, но не потому, что «или» употреблено в них в ином значении, чем в (1) и (3), а потому, что в этих случаях несовместимы факты, выраженные соединяемыми предложениями. )

Предложение «А или В», где «или» понимается в только что разъясненном смысле, записывается символически в виде А V В. Это предложение называется дизъюнкцией предложений «А» и «В»; оно истинно, если хотя бы одно из предложений А, В истинно, в противном случае (т. е. если А и В оба ложны) оно ложно.

Зависимость истинностного значения дизъюнкции от истинностных значений ее членов можно представить с помощью следующей истинностной таблицы: А В А V В И И И И л И Л И И л л л Пример. Если Р, Q, PQ' означают то же, что в примере после определения конъюнкции, то предложения Р V Q, Р V Q' и Р' V Q истинны, а предложение Р' V Q' ложно.

Конечно, надеяться встретить в реальной речи предложение «Дважды два —четыре или снег бел» еще труднее, чем «Дважды два —

четыре и снег бел», и понятно, почему: как уже говорилось, союз «или» в интересующем нас значении употребляется для соединения предложений в тех случаях, когда ни об одном из этих предложений в отдельности говорящий не знает, истинно ли оно; так что произнести (не в шутку) предложение «Дважды два — четыре или снег бел» мог бы только человек, не знающий, сколько будет дважды два и какого цвета снег, но берущийся об этом рассуждать.

Перейдем, далее, к союзу «если». Он имеет в русском языке два основных значения: условное и противопоставительное. Нас будет интересовать только первое, выступающее, например, в таких предложениях: (1) «Если эта книга поступила в магазин, то она поступила и в библиотеку»; (2) «Если завтра будет хорошая погода, мы пойдем в лес», (3) «Если он вчера не был в городе, то новость еще не дошла до него»; (4) «Если данный треугольник — прямоугольный, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора»; (5) «Если меня не обманывает зрение, это Иван Иванович». В каждом из этих предложений утвер-

B

А

А

мере сомневается в его истинности (или делает вид, что сомневается, как в (5)). Как зависит здесь истинностное значение сложного предложения от истинностных значений А и B, мы постараемся уяснить себе на примере предложения (1). Пусть некто — скажем, Иван — произнес это предложение; чтобы узнать, сказал ли он правду, нужно выяснить, поступила ли книга в магазин и в библиотеку. Возможны четыре случая: (а) Книга поступила и в магазин, и в библиотеку; в этом случае естественно считать, что Иван сказал правду, (б) Книга не поступила ни в магазин, ни в библиотеку; и в этом случае нельзя считать, что Иван сказал неправду. (в) Книга не поступила в магазин, но поступила в библиотеку; в этом случае также нет оснований уличить Ивана во лжи. (г) Книга поступила в магазин, но в библиотеку не поступила. В этом случае Иван сказал неправду.

Таким образом, поскольку предложению «Если А, то B» должно быть присвоено истинностное значение при любом распределении значений А и B, это предложение должно получить значение Л в случае, когда А истинно и B ложно, и значение И во всех остальных случаях.

А B А B

«А влечет B») записывается символически в виде А ^ B и называется

А B А B

ложно, в противном случае (т. е. если либо А ложно, либо B истинно) оно истинно.

Предложения A B называются соответственно посылкой и заключением импликации А ^ B.

Замечание. Вместо знака ^ иногда используется знак D.

Истинностная таблица для импликации имеет следующий вид: А B А ^ B И И И И Л Л Л И И Л Л И Пример. Если P, Q, P', Q' означают то же, что в двух предыдущих примерах, то предложения P ^ Q, P' ^ Q и P' ^ Q' истинны, а предложение P ^ Q' ложно.

Разумеется, в реальной речи предложение «Если дважды два — четыре, то снег бел» не встретится — по той причине, что произносящий его должен не знать, сколько будет дважды два, да к тому же еще считать, что от результата умножения двух на два зависит цвет снега. Предложения «Если число 18 делится на 6, то оно четно», «Если число 17 делится на 6, то оно четно», «Если число 17 делится на 6, то оно нечетно» (все они истинны!) кажутся довольно-таки странными — потому что всякий, кто знает, что из делимости на 6 следует четность, должен, конечно, знать и о том, что 18 делится на 6, а 17 не делится. (В то же время фраза «Если число делится на 6, то оно четно» вполне естественна, т.к. здесь говорящему неизвестно, о каком конкретном числе идет речь, и, стало быть, неизвестно истинностное значение посылки.) Однако необходимость считать такие странные предложения истинными не означает,

что само понятие импликации — «странное», «неестественное» или, как иногда говорят, «парадоксальное». Ведь эти предложения — всего .лишь примеры, приводимые ради лучшего усвоения «внутреннего устройства» понятия импликации; приводя такие примеры, мы как бы разглядываем понятие через увеличительное стекло —а разве не странно выглядит под увеличительным стеклом обыкновенная муха? С таким же успехом можно было бы из примитивности и искусственности текстов на первых страницах учебника иностранного языка сделать вывод, что сам этот язык примитивен и неестественен.

Из предыдущего ясно, для что для истинности импликации A ^ B не требуется, чтобы между предложениями A и B существовала какая-либо «внутренняя связь» — в частности, причинная. Но и в естественном языке

AB

AB

«Если вода при нормальном атмосферном давлении нагревается до 100°С, то она закипает», но может и отсутствовать, как в предложении «Если ласточки летают низко, то можно ждать ненастной погоды». (Эта старая примета имеет, как известно, рациональное основание, но вряд ли даже наши далекие предки, впервые это подметившие, считали низко летающих ласточек виновницами

AB

первом приближении выражен примерно следующим образом: «Истинность A

B

с причиной мы уже говорили на с. 12.)

Кроме союзов, в русском языке есть и иные слова, служащие для образования предложений из других предложений. Одно из таких слов очень часто используется в рассуждениях — частица «не». Главный случай ее употребления, к которому при исследовании рассуждений можно свести все остальные — тот, когда она ставится перед сказуемым и в полученном таким образом новом предложении отрицается то, что утверждалось в старом, например: «Он не ездил вчера в город», «Кит — не рыба». Если исходное предложение есть А, то новое предложение означает «Неверно, что А». Это предложение записывается символически в виде —А и называется отрицанием предложения А.

Замечание. Вместо — А иногда пишут А.

Истинностная таблица для отрицания имеет такой вид: А —А И Л Л И

Пример. Если Р, Q, Р', Q' означают то же, что в предыдущих примерах, то предложения — Р и — Q ложны, а предложения —Р 'и —Q' истинны.

Символы & V — называются пропозициональными связками.

Замечание. Значения слов естественного языка, которые мы «перевели» на наш символический язык с помощью пропозициональных связок, на самом деле гораздо богаче и шире значений этих последних, и «переводы» далеко не точны (кроме случая дизъюнкции, довольно точно передающей смысл слова «или»). Подробный анализ значений соответствующих русских слов содержится в работах, выходные данные которых указаны в списке литературы в конце книги.

Задача. Пусть X, X', Y, Y' означает соответственно: «7 — нечетное число», «7 —четное число», «8—нечетное число», «8 —четное число».

(а) Какие из предложений X & Y, X & Y', X' & Y, X' & Y' истинны и какие ложны?

(б), (в), То же с заменой & на V и на

—X —X' —Y —Y'

Каждой пропозициональной связке естественным образом сопоставляется некоторая операция над предложениями. Например, конъюнкции отвечает бинарная операция, состоящая в образовании по двум предложениям их конъюнкции; отрицанию отвечает унарная операция, состоящая в образовании по предложению его отрицания. Всего мы получаем четыре операции: три бинарных и одну унарную. Эти операции также называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и отрицанием. (Таким образом, каждое из этих слов обозначает и операцию, и ее результат, подобно терминам «объединение» и «пересечение» — см. гл. 4.)

4. Пусть у нас имеется произвольный набор предложений X1,X2,... ... , Xn; мы будем называть их элементарными предложениями и их «внутренним устройством» пока интересоваться не будем. Если применять к элементарным предложениям операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания, к полученным предложениям снова применять эти операции, и т.д., будут получаться «сложные предложения», например: X1 ^ (—X2), (X1 & X2) V X3, ((X2) ^ (X1 ^ X3)) & Xb Такие выражения — составленные из элементарных предложений с помощью пропозициональных связок — называются формулами логики

предложений (иначе — логики высказываний). Сами элементарные предложения также считаются формулами логики предложений.

Для упрощения записи формул логики предложений вводится соглашение о порядке действий, аналогичное принятому в арифметике. Именно, считается, что дизъюнкция связывает теснее, чем импликация, конъюнкция — теснее, чем дизъюнкция и импликация, а отрицание — теснее остальных трех операций. Например: —X & Y означает (—X) & Y (а не —(X & Y)); X V Y & Z означает X V (Y & Z) (а не (X V Y) & Z)); —(X ^ Y & Z) V (X & —Y V Z) означает (—(X ^ (Y& Z))) V ((X&(—Y)) V Z).

Задачи. (1) Пусть А означает «Андрей выдержал экзамен», Б — «Борис выдержал экзамен», В — «Виктор выдержал экзамен».

(а) Записать с помощью формул логики предложений: (ai) Неверно, что ни Андрей, ни Борис не выдержали экзамена; (а2) Из того, что Андрей и Борис выдержали экзамен, не следует, что его выдержал Виктор; (аз) Если Борис или Виктор выдержал экзамен, то и Андрей его выдержал.

(б) Записать по-русски: (б^ — (—В&—А ^ Б); (б2) ——((AVB)&—В).

XY

i

2

з

Киеве нет дядьки и в огороде нет бузины, то или в огороде бузина, или неверно, что в Киеве нет дядьки; (а4) Если неверно, что если неверно, что если неверно, что в Киеве дядька, то в огороде бузина, то в огороде бузина, то в огороде бузина.

(б) Записать по-русски: (61) —X V— Y; (62) —(X ^ Y) ^ X & —X; (бз) (Y V X) & —Y ^ X; (64) —(—(—X ^ Y) ^ Y) ^ Y.

5. Операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания можно применять не только к предложениям, но и к предикатам. Например: если K2(x) и K3(x) —предикаты, определенные на множестве натуральных чисел и означающие соответственно «х делится на 2» и «х делится на 3», то K2(x) & K3(x)—предикат, определенный на том же множестве и означающий «x делится та 2 и на 3»; если D(x) и F(x)—предикаты, определенные на некотором множестве людей и

xx французским языком» то D(x) V F (x) — предикат, определенный на том

х

(х)

ных чисел и означающий «х четно*, то — Ч(х) — предикат, определенный

х

Таким образом, у нас есть шесть операций, с помощью которых можно образовывать из предикатов новые предикаты и предложения: четыре операции, отвечающие пропозициональным связкам, и две операции постановки кванторов. Выражения, образованные с помощью этих операций из предикатов, «внутренним строением» которых мы интересоваться не будем (эти предикаты мы будем называть элементарными), называются формулами логики предикатов (далее до конца главы мы будем называть их просто формулами). Например, если F1(x,y,z), F2(x,y,z), G(x,y), Р(х) — элементарные предикаты, то следующие выражения являются формулами:

(а) F1(x1,x2,x3) ^ Р(х4);

(б) Vx—3zF2(x,y,z) V—G(x,y);

(в) 3y(—3zF1(z,y,y) ^ —Vz—Р(z)&3xG(z,x))).

Здесь и далее мы пользуемся введенным выше соглашением о порядке действий, к которому теперь добавляется еще один пункт: кванторы связывают теснее, чем конъюнкция, дизъюнкция и импликация.

О вхождениях переменной, по которой берется квантор, в ту часть формулы, к которой этот квантор относится, говорят, что они связаны этим квантором. Например, в формуле (в) первый квантор связывает два вхождения у, второй — одно вхождение z, третий — два вхождения z, четвертый — одно вхождение х. Те вхождения переменных в формулу, которые связаны кванторами, а также вхождения переменных в сами кванторы называются связанными; остальные вхождения переменных в формулу называются свободными. Например, формула (б) содержит два связанных и одно свободное вхождение х, два свободных вхождения у и даа связанных вхождения z.

Говорят, что переменная является в некоторой формуле свободной, если в данной формуле имеются свободные вхождения этой переменной. Формула, не содержащая свободных вхождений переменных, называется замкнутой. (Такова, например, формула (в).)

Поскольку, как мы видели выше (см. пункт 2), при связывании переменной в предикате квантором предикат перестает зависеть от этой переменной, каждая замкнутая формула представляет собой предложение, а незамкнутая — предикат, зависящий от ее свободных переменных (и только от них!). Например, формула (а) выражает четырехместный

предикат, формула (б) — двуместный (от переменных x и y), формула (в) — предложение.

6. Подводя итог сделанному, мы можем сказать, что фактически мы построили некоторый символический язык, в котором предложения имеют вид математических формул. Этот язык хорошо приспособлен для записи таких предложений, содержание которых может быть выражено в точных терминах. Классический образец дают математические предложения, но «переводу» на символический язык поддаются не только они. В пункте 2 мы уже приводили примеры такого «перевода», но там мы имели дело только с формулами простейшего вида — не содержащими пропозициональных связок. Рассмотрим теперь еще несколько примеров.

Пример 1. Возьмем в качестве элементарных следующие два предиката, заданные на множестве всевозможных небесных тел: C(x,y), означающий «Тело x является спутником тела у», и E(x,y), означаю-

x y x y

Тогда формула —3xC(x,x) есть предложение, в переводе на русский язык означающее «Никакое небесное тело не является своим собственным спутником»; формула 3z(C(x,z)&C(y,z)) есть двуместный пре-

x y x y

того же небесного тела», —3yC(y, x) — одноместный предикат (от пе- xx

x

спутник»? Чтобы найти такую формулу, полезно прибегнуть к перифразированию, т.е. выразить тот же смысл по-русски иным способом (этот прием, кстати, помогает и при переводе с одного естественного языка на другой). Можно, например, выразить его так: «Существует yx

xy y

тела x и такое, что, каково бы ни было небесное тело z, если это z

x z y

жение уже легко перевести на наш символический язык «буквально»: 3y(C(y, x) & Vz(C(z,x) ^ E(z,y))).

Пример 2. Возьмем в качестве элементарных следующие три предиката, заданные на множестве людей (всех когда-либо живших и ныне живущих; трудностями, связанными с уточнением объема этого

P(x, y, z) x

у — соответственно отец и мать z'a», M(х), означающий «х—лицо мужского пола», и E(x, у), означающий «иу — один и тот же человек». Через эти предикаты можно выразить все термины кровного родства. Например:

(а) Предикаты «х — отец у'а» и «х — мать у'а» записываются соот-ветственно как ЗzP(х, z, у) и ЗzP(z, х, у).

(б) «х — сын (3zP (y,z,x) VЗzP (z,y,x))&M (х).

(в) «х — бабушка у'а»: 3u3v(P(u, х, v) & 3z(P(v,z,y) V P(z,v,y))). (Здесь первый член дизъюнкции отвечает случаю бабушки по отцу, второй — случаю бабушки по матери.)

ху

3z3t(P(z, t, х) & Р(z, t,y))& —E(x, у) & —M(x) & —M(y). ху

дыдущей отсутствием конъюнктивного члена —M(у).

Пример 3. Заменим в предыдущем примере предикат Р(х, у, z) дву- А(х, у) х у

лученный набор элементарных предикатов также можно выразить все

ху

сывается так: A(y,x)&—3z(A(y, z)& A(z,x)) & M (х); предикат «х — бабушка у'а» можно записать следующим образом: А(х, у) & 3z(A(x, z) & & A(z, у) & —3t(A(x, t) & A(t, z)) & —3u(A(z, u) & A(u, y))) & —M(x).

Пример 4. Возьмем в качестве элементарных два предиката, заданные на множестве натуральных чисел: M(х, у), означающий х < у, и E(х, у), означающий х = у. Тогда предложения, выражающие основные свойства отношения «меньше» запишутся так: Vx—M(х, х) (никакое число не меньше самого себя);

VxVyVz(M(х, у) & M(у, z) ^ M(х, z))

(если некоторое число меньше другого числа, а это другое число меньше третьего, то первое меньше третьего);

VxVy(—E(х, у) ^ M(х, у) V M(у,х))

(если два числа различны, то одно из них меньше другого). Запись предложения «Единица есть наименьшее натуральное число» имеет вид —3xM (х, 1).

Пример 5. Пусть Г и С —предикаты, определенные на множестве

x

«x — согласная». Рассмотрим, кроме того, предикат A(x,y,z), определенный на множестве всевозможных «слов», т. е. конечных последовательностей, составленных из русских букв (но не обязательно являю-

z

xy

слово фасоль можно составить из слов фа и соль), и предикат B(x, y), в котором первая переменная пробегает множество букв и вторая —

xy четыре предиката в качестве элементарных, можно выразить, например, следующие предикаты:

(а) «Слово x состоит из одной буквы»: —3y3zA(y, z, x). (В самом деле, слово состоит из одной буквы в том и только в том случае, когда его нельзя составить ни из каких двух слов.)

x

3y3z(A(y, z, x) & —3u3vA(u, v, y) & —3t3sA(t, s,z)). xy

3t3z(A(t, z, x) & —3u3vA(u, v, t) & B(y, t)).

x

3t3z3y(A(t, z, x) & —3u3vA(u, v, t) & B(y, t) & T(y)).

Задачи. (1) Выразить через элементарные предикаты примера 1 од-

x

(2) (а) Выразить через элементарные предикаты примера 2 следующие термины родства: внук; дядя по отцу (древнерусск. стрьш, русск. диалектное строй, польск. stryj); дядя; племянница; правнучка; сводный брат. (Имеется в виду запись формул, выражающих предикаты,

xy

(б) Перевести на русский язык (смысл обозначений тот же, что в примере 2):

(б^ 3u3v(P (x,u,v)&3z(P (v, z, y) V P (z, v, y))) •

3t3z3u3v(P(t, z, u) & P(t, z, v) & —E(u, v)&

&3w3s(P(u, w, x) V P(w, u, x)) & (P(v, s, y) V P(s, v, y))) & —M(x).

3t3z3u3v3w3s(P(t,z,x) & (P(t,z,u) & —E(x,u) & (P(u,v,w) V V P(v, u,w))& (P(w, s, y) V P(s, w, y))) & M(x).

(в) С помощью элементарных предикатов примера 2 записать предложение «Никто не может быть своим собственным дедушкой».

Присоединив к элементарным предикатам примера 2 предикат C(х, у), означающий «х и у —супруги», выразить (в том же смысле, что в задаче (2) (а)) следующие термины родства через брак: тесть, теща, свекор, свекровь, зять, сноха, шурин, деверь, золовка, свояченица, свояк, мачеха.

Выразить предикат Р(х, у, z) из примера 2 через элементарные предикаты примера 3.

С помощью элементарных предикатов примера 4 записать предложения: (а) «Не существует наибольшего натурального числа»; (б) «Никакое натуральное число, отличное от единицы, не является наименьшим».

Выразить через элементарные предикаты примера 5 одномест-

х

хх содержит (ровно) два вхождения гласных».

С помощью предиката V(х, у), означающего «х —вассал у'а», записать замкнутую формулу, выражающую предложение «Вассал моего вассала — не мой вассал».

Пусть M(х, у, z) —предикат, заданный на множестве натураль-

ху = z

местные предикаты, означающие: (а) у делится на х; (б) у = х ; (в) у =

х3

Пусть двуместный предикат I(х, у), в котором первая переменная пробегает множество точек плоскости и вторая — множество прямых

ху сать с помощью этого предиката замкнутую формулу, выражающую предложение «Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой».