Приложение З.A. Предельный анализ

Для поиска предельного значения функции может быть использовано два метода. Один из них — это табличный метод, который может быть использован независимо от того, известна ли нам данная функция или неизвестна.

Предельное значение определяется как значение изменения, вызванного изменением на единицу значения одной независимой переменной, когда все другие независимые переменные (если они имеются) остаются постоянными. Такое определение четко оговаривает, что выбранные значения независимой переменной должны быть дискретными числами с приращением на 1,0. При таком строгом определении, если АХ= 1, то предельное значение будет выражено наклоном AY/AXсекущей линии между двумя точками Р, и Р2(рис. ЗА 1).

Когда в практике используется табличный метод (обычно тогда, когда функция неизвестна), используются дискретные значения независимой переменной, однако требование, что АХ = 1, снимается. Здесь предельное значение принимается равным А Y/АХ, вне зависимости от значения АХ. Если функция линейная, то это не вызывает трудностей, ибо наклон прямой линии будет константой; Но если функция нелинейная, то при больших значениях АЛ' возможна существенная ошибка. Величина такой ошибки будет зависеть как от наклона кривой, так и от величины АХ.

Если функция известна и неперерывна, то обычно приближенное значение предельной величины можно получить взяв первую производную. Это означает, что предельная величина выражается тангенсом угла наклона касательной к кривой в некоторой ее точке. Как следует из рис. ЗА1, если функция нелинейная, то наклон кривой в точке Р, не будет равен наклону кривой в точке Р2. Следовательно, использование производной в качестве показателя предельного значения нелинейной функции приводит к определенной ошибке, однако ее величина будет невелика и поэтому игнорируется на практике.

Рис. ЗАЛ. Предельное значение

Естественно, для получения предельной величины наклона кривой необходимо взять ее производную (т.е. дифференцировать функцию). Для этого достаточно знать стандартные формулы производных и помнить немногие простые правила, представленные в приложении в конце этой книги.

Что касается принятых обозначений, то, имея функцию Y=f(X), ее первую производную можно выразить какf'(X) (читается «/штрих от Л») или dY/dX (читается «производная от Y по Л»). Первая производная также будет функцией от Л' и может быть продифференцирована для получения второй производной, что записывается как/"(Х) или d2Y/dX2.

Оптимизация функции

Когда функция имеет максимум или минимум, наклон ее кривой в этой точке . будет равен нулю, соответственно, ее первая производная будет равна нулю. Точки максимума или минимума на этой кривой могут быть определены в следующем порядке.

Шаг 1. Найдите первую производную функции и приравняйте полученное выражение к нулю. I.

Шаг 2. Решите полученное выражение для критических значений или значений X, т.е. для тех значений X, при которых данная функция имеет максимум или минимум.

Шаг 3. Найдите вторую производную функции, т.е. ее производную от первой производной.

Шаг 4. Введите критические значения в выражение для второй производной. Если результатом будет положительное число, то функция имеет минимум. Если результат отрицателен, то функция имеет максимум.

Методика предельного анализа многомерной функции служит развитием вычислительного метода. В его основе лежит следующая концепция: для изучения влияния на многомерную функцию изменения одной из ее независимых переменных мы должны считать остальные независимые переменные постоянными. Мы вводим эту концепцию в свои вычисления, когда берем частную производную. Аналогичным правилам дифференцирования следуют, когда берут производную от одной переменной, считая все остальные переменные константами'.

Иллюстративный пример

Предположим, что фирма разработала.новый проект. В первый год после выхода на рынок фирма продала 500 единиц продукции по цене 300 долл, за каждую. Его производственная функция будет линейной, переменные затраты постоянно равны 100 долл, на единицу, постоянные накладные расходы, отнесенные на продукт, равны 40 000 долл. Изменений этих затрат в следующем году не ожидается.

Фирма заключила договор с рекламным агентством на рекламу этого продукта. Агентство предлагает рекламную кампанию, включающую публикацию объявлений на полную полосу в двух распространяемых по всей стране журналах Medium One и Medium Two. Полная полоса в Medium One стоит 6000 долл., Medium Two выходит меньшим тиражом и берет 4000 долл, за полосу.

После проведения соответствующего исследования рынка рекламное агентство сообщило фирме, что эффективность рекламной кампании зависит от количества данных объявлений, и функция спроса соответственно имеет вид [11]

где Q — количество единиц продукции, которое будет продано по цене 300 долл, за единицу, если будет использовано А единиц объявлений. Единица объявления включает одну полосу в Medium One и одну полосу в Medium Two при полной стоимости в 10 000 долл.

Фирма может выбирать между двумя стратегиями маркетинга: одна будет максимизировать прибыль (в ближайшей перспективе), а другая — продажи (что даст ей возможность увеличить долю рынка и, следовательно, максимизировать прибыль в отдаленной перспективе). Аппарату управления фирмой предстоит решить вопрос об объемах финансирования рекламы по каждой из этих стратегий.

Первым шагом в решении этой проблемы должно быть выявление всех ее существенных факторов (постоянных и переменных):

А — количество единиц объявлений по 10 000 долл, каждая (независимая переменная);

Р — цена единицы продукции (константа, равная 300 долл.);

Q - количество произведенных и проданных единиц продукции (зависимая переменная);

ТѴС — общие переменные затраты при данном уровне рекламы, вычисляемые как за- .

TFC — общие постоянные затраты (константа);

ТС — общие затраты (TFC + ТѴС, переменная);

TR — общий доход от продажи Q единиц (переменная);

TCP — общая вложенная прибыль[12] (TR — ТѴС, переменная);

л — доход от основной деятельности фирмы или прибыль (зависимая переменная).

Следующим шагом будет выражение соотношений между этими факторами в виде комплекса уравнений:

На этом этапе для решения задачи можно воспользоваться двумя методами. Первый состоит в построении таблицы, в которой будут выявлены все важнейшие соотношения. Второй метод связан с использованием максимизационных методов вычисле-

ний. Выполнить вычисления быстрее и проще, однако табличный метод выявляет взаимоотношения между переменными и концепцией предельного анализа. Оба этих метода рассматриваются далее.

Табличный метод

Табличный метод предельного анализа требует построения таблицы типа табл. ЗАЛ.

Первый шаг в построении таблицы — это выбор желаемых значений независимой переменной, в данном случае количества приобретаемых объявлений. Обратите внимание, что выбранные значения такой независимой переменной представляют собой дискретный числа, приращиваемые на 1,0. Напомним, что предельное значение по определению — это изменение функции в результате приращения на единицу независимой переменной.

Таблица ЗАЛ

Доходы, переменные затраты н получаемые прибыли как функция рекламной кампании

, Каждое из выбранных значений независимой переменной затем подставляется в соответствующее уравнение, чтобы получить отвечающее ему значение функции. В данном случае уравнения (2), (3) и (4) используются для определения общего дохода, переменных затрат и вложенной прибыли, соответственно, при каждом выбранном количестве купленных объявлений.

3-1854

На рис.

Обратите внимание, что на рис. ЗА.2 середина столбца соответствует дискретному значению независимой переменной, а пределы, или границы, столбцов продолжены вверх для большей наглядности. Также обратите внимание, что через средние точки всех столбцов проведены прямые линии. Для упрощения мы назовем их линиями изменений.

Когда независимая переменная изменяется от одной величины к другой, мы переходим к новому значению функции вдоль линии изменения. Совершая такое движение, мы проходим АХ единиц в горизонтальном и Д У в вертикальном направлениях. Наклон линии изменения характеризуется отношением AY/AX. Поскольку линия изменения представляет прямую линию, ее наклон остается постоянным везде, включая точку, в которой она пересекает границу между/(Л1,) и/(Х2). Поскольку мы ограничили AX значением 1,0, предельное значение по определению будет равно ДY.

Взяв в качестве примера общий доход в табл. ЗАЛ, мы видим, что на границе между 0 и 1 предельный доход будет равен 178,5 - 150,0 = 28,5; между 1 и 2 он равняется 204,0 - 178,5 = 25,5 и т.д.

Рис. ЗА.2. Гистограмма общего дохода, переменных затрат и вложенной нрибыли в зависимости от количества единиц объявлений

Когда мы рассмотрим все данные в столбце «Общий доход», мы увидим, что общий доход будет максимальным при 10 единицах объявлений. Как следует из табл. 34.1, предельный доход между 9 и 10 единицами будет равен + 1,5, а предельный доход между 10 и 11 единицами составит - 1,5. Взглянув на рис. 34.2, мы видим, что такое изменение значений от положительной к отрицательной величине имеет место наверху гистограммы в столбце для 10 единиц объявлений. Аналогично, как следует из той же табл. 34.1, мы видим, что максимум вложенной прибыли имеет место, когда покупается 5 единиц объявлений.

Обратите внимание, что при анализе данных по предельной прибыли мы пренебрегали значениями постоянных затрат и получаемого операционного дохода. Это было возможно, поскольку, как следует из рис. 34.2, постоянные затраты не сказываются на предельных прибылях. Если нам потребуется вычесть постоянные затраты из получаемой прибыли, то достаточно сократить высоту каждого столбца на равную величину. При этом наклон линий изменения остается тем же, что прежде, поскольку предельная прибыль не меняется.

Вычислительный метод

Обращаясь снова к рис. 34.2, мы видим, что хотя линии изменений будут прямыми линиями, соединенные вместе они очень близко следуют плавной кривой, которую мы ассоциируем с непрерывной функцией. Это позволяет использовать дифференциальное исчисление для вычисления предельных величин. Мы предполагаем, что эта функция будет непрерывной, так что вместо многих линий изменений мы будем иметь одну гладкую непрерывную кривую.

Вычислительный метод более результативный, чем табличный, по двум причинам.

1. Поскольку нам известно, что функция будет иметь оптимум[13], когда наклон графика станет нулевым, мы можем получить оптимальное значение независимой переменной, просто взяв первую производную, приравняв ее к нулю и решив относительно X. Так, например, уравнение (2) дает

что мы видели ранее.

2. Вычисления позволяют обрабатывать многомерные функции, что было бы чрезвычайно трудно, если вообще возможно сделать табличным методом. Метод предельного анализа многомерных функций развивает рассмотренный ранее вычислительный метод. Частные производные берутся для каждой независимой переменной, при этом остальные переменные считаются константами. Все частные производные затем приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, в которой количество переменных будет равно количеству уравнений и, соответственно, каждое уравнение может быть решено для каждой переменной. Мы покажем возможности этого метода, продолжив анализ нашего иллюстративного примера.

Предельный анализ многомерной функции

Предположим, что в результате опыта, накопленного в ходе рекламной кампании, рекламное агентство получило новую информацию, позволяющую выявить влияние объявлений, помещенных в каждом из этих двух журналов. Тогда функция спроса приобретет следующий вид:

где М{ - количество полностраничных объявлений, помещенных в Medium One, Мг - количество полностраничных объявлений, помещенных в Medium Two.

Как следует распределить бюджет рекламной кампании между упомянутыми журналами в свете этой дополнительной информации? Для ответа на этот вопрос возьмем частные производные от уравнения (7):

Оптимальные факторы входа. Уравнение (8) гласит, что спрос на выпускаемую продукцию изменяется на (66 - 6Afj) единиц при изменении на единицу Мѵ когда М2 считается константой. Уравнение (9) гласит, что спрос изменится на (34 - 4М2) единиц при изменении на единицу М2, когда М{ считается константой. Эти функции характеризуют предельный продукт М1 и М2 соответственно.

Теперь мы можем применить теорию предельной производительности для определения оптимального сочетания М{ и М2. Теория предельной производительности гласит, что оптимальное распределение факторов производства имеет место, когда соотношение предельного продукта МР к его цене Р будет одинаковым для всех факторов, т.е. >

Решив это уравнение, мы получим, что Mt = М2 + 2,5; т.е. следует всегда давать на 2,5 объявления больше в Medium One, чем в Medium Two. Это еще не говорит о том, какое количество объявлений будет оптимальным, однако свидетельствует о том, что при любом уровне выхода мы получим максимальную отдачу от наших денег, если будем следовать указанному правилу распределения.

Оптимальный уровень выхода. Если под оптимумом мы будем понимать максимум объема продаж, то ответ можно получить, просто приравняв уравнения (8) и (9) к нулю. Тогда мы получим, что М1 должно равняться 11, а М2 — 8,5. Хотя это и соответствует нашему заключению относительно оптимального соотношения объявлений в Medium One и Medium Two, но предполагает, что рационально помещать рекламные объявления на полполосы в Medium Two. Это противоречит заданному условию, что объявления должны быть только на полную полосу. Означает ли это,

что наше предположение о непрерывности функции спроса ведет к ошибочному заключению?

Технически ответ будет утвердительным, однако практически такая ошибка будет несущественной. Если мы подставим значения М{ = 11, а М2 = 8,0, 8,5 или 9,0, то получим следующие результаты.

Поместив объявление на полполосы, мы получим непредсказуемый результат, а изготовление и продажа половины продукта может быть невозможной (в зависимости от продукта), так что принимается простое решение: поместить 11 полнополосных объявлений в журнале Medium One и 8 полнополосных объявлений в журнале Medium Two.

Дадут ли такие расходы на рекламу ожидаемое увеличение объема продаж? При предыдущем распределении 1 : 1 оптимальным было производство 1000 единиц продукции, даюших 300 000 долл, в стоимости продаж при расходах на рекламу 100 000 долл. При новом распределении оптимальный объем производства составит 1007 единиц продукции при стоимости продаж в 302 100 долл, и расходах на рекламу 98 000 долл. Это позволит повысить нашу прибыль на 4100 долл.

Оптимальные прибыли. Если под оптимальной мы будем понимать максимальную прибыль, то мы должны прежде всего использовать уравнение (7), чтобы получить новые уравнения для общего дохода, полных переменных затрат и вложенной прибыли. Такими новыми функциями будут

Q = 500 + 66Af, - ЗМ2 + 34М, - 2М22; (7, повтор)

TR = 300(3 = 150 000 + 19 800М, - 900М,2 + 10 200М2 - 600М22; (10)

ТѴС = 100(3 + 6000М( + 4000М, =

= 50 000 + 12 600М, - 300М,2 + 7400М2 - 200М22; (11)

TCP = TR- ТѴС = 100 000 + 7200М, - 600М,2 + 2800М2 - 400М22. (12)

Для определения рационального распределения объявлений, дающего нам максимальную прибыль, возьмем частную производную от уравнения (12) и приравняем ее к нулю:

Оптимальные расходы на объявления в этих двух журналах составят:

6 ($6000) + 3 ($4000) = $48 000.

При этом уровне расходов на рекламу объем продаж составит:

Q = 500 + 66М{ - ЗМ2 + 34М2 - 2М2 =

= 500 + 66(6) - 3(36) + 34(3) - 2(9) = 872 единицы,

что позволит получить вложенную прибыль

Ограниченный оптимум

В предыдущих рассуждениях мы исходили из подразумеваемого предположения о наличии неограниченных ресурсов; в них не вводились ограничения на производственную мощность предприятия или на объем оборотного капитала, расходуемого на рекламу. В реальной жизни плановики не работают в таких идеальных условиях. Все они вынуждены идти на компромиссы в распределении ограниченных ресурсов с тем, чтобы получить максимально возможный результат при ограничениях, налагаемых или решениями управляющих, или условиями жизнедеятельности. К счастью, им на помощь приходит предельный анализ на базе дифференциального исчисления.

Снова вернемся к примеру с рекламной кампанией, чтобы проиллюстрировать это утверждение. Мы показали, что прибыли будут максимальными, если мы поместим шесть объявлений в Medium One и три объявления в Medium Two, затратив на них в целом 48 000 долл. Как следует их израсходовать, чтобы получить максимальную прибыль?

Применение теории предельной производительности. Из предыдущего примера по максимизации объема продаж при отсутствии ограничения по расходам на рекламу мы получили для оптимального сочетания объявлений уравнение

Если мы можем израсходовать на рекламу только 40 000 долл., то нам известно, что

Подставив уравнение (15) в уравнение (16), получим

Отсюда следует, что нам нужно поместить пять объявлений в Medium One стоимостью в 30 000 долл, и два объявления в Medium Two за 8000 долл., затратив в обшей сложности на рекламу 38 000 долл. На этом уровне рекламы объем продаж, исходя из уравнения (7), будет равен

Вложенная прибыль при этом составит

Множитель Лагранжа. Еще более мошным средством для оптимизации любой многомерной функции при одном или нескольких ограничениях служит множитель Лагранжа. Множитель Лагранжа — это искусственная переменная, обозначаемая греческой буквой «лямбда» (к). Возможности его использования будет легче объяснить на том же примере, для которого мы определили функцию спроса

и ограничение

Функция спроса будет максимизирована, когда мы приравняем к нулю как уравнение ограничения (18), так и частные производные по М{ и Мг в уравнении (17). Мы можем приравнять к нулю уравнение ограничения, тогда оно будет иметь следующий вид:

но киї да мы возьмем частные производные оі уравнения тд /), то в результате получим

систему из трех уравнений, имеющую всего две переменных, которая не имеет решения.

Разрешить эту дилемму можно, умножив уравнение (19) на искусственную переменную и прибавив полученное значение к уравнению (17). Теперь мы имеем функ- , цию из трех переменных:

Когда мы возьмем частные производные по всем переменным (Мѵ Мг, X), мы получим три уравнения для тех переменных, которые доступны решению:

Обратите внимание, что частная производная относительно X также будет ограничением. Решив эту систему, мы получим

Заметим, что исходя из теории предельной производительности М1 и Мг будут иметь те же значения, что мы получили. Значение X, однако, дает нам дополнительную информацию, которую было невозможно получить другим путем. Знак «минус» говорит нам, что значение функции будет увеличиваться при ослаблении эффекта, накладываемого ограничением. Насколько велико будет такое улучшение? В данном случае оно составит примерно 0,006 единиц на каждый доллар, добавляемый к расходам на рекламу. Поскольку каждая проданная единица продукции дает 200 долл, прибыли, предельная прибыль при данном уровне расходов на рекламу составит 200 долл, х 0,006 = 1,20 долл. Поскольку функция прибыли нелинейна и предельная прибыль уменьшается с увеличением расходов на объявления и становится отрицательной, расходы на рекламу превысят 48 000 долл.

Однако в реальных условиях мы часто имеем многомерные функции со многими ограничениями. Для решения таких задач нам достаточно ввести дополнительную искусственную переменную для каждого дополнительного ограничения. Следует заметить, что множитель Лагранжа при решении задач нелинейного программирования (как в нашем примере) служит аналогом двойственных переменных в задачах линей-

ного программирования, рассмотренных в Приложении 3В. Как двойственные переменные, так и множитель Лагранжа выражают изменения целевой функции, ожидаемые при изменении на единицу правой части ограничения.