Модель купли-продажи.

Обозначим: qb - представления покупателя о ценности для него товара (максимальную цену, которую он готов за него заплатить); qs - представления продавца о ценности для него товара (минимальную цену, за которую он готов продать товар); qbs - представления покупателя о представлениях продавца, qsb - представления продавца о представлениях покупателя; qsbs - представления продавца о том, что о его представлениях думает покупатель, и т.д.

в [74]. Будем считать, что qt е , где t - произвольная конечная последовательность индексов (в том числе, пустая) из множества участников сделки {«s»; «b»}. Далее множество всевозможных конечных последовательностей индексов будем обозначать Z+, объединение Z+ с пустой последовательностью будем обозначать

z

Следуя [74], введем аксиому автоинформированности: "i el, "t, s е Z q^s = q^s

Рассмотрим, какими свойствами должны обладать взаимные представления покупателя и продавца для того, чтобы сделка была возможна. Из условия того, что сделка может произойти, только если ценность товара для покупателя не ниже, чем для продавца, получаем следующую систему неравенств:

"tez q^ >qT, q^?qT.

Из (1) следует, что субъективный размер области компромисса может быть представлен в виде:

Dt = q^ - q„, teZ,

причем " t e Z Dt>0.

Обсудим теперь возможные механизмы компромисса. При заданных субъективных представлениях и, следовательно, заданной области компромисса, которая не пуста в силу (1) и (2), возможны различные процедуры дележа «прибыли» D (определения точки компромисса).

Первый вариант (дележ прибыли) заключается в задании ото-бражения п= (п, пъ): Ш+2 ®Ш+2, удовлетворяющего для всех въ > в, следующим свойствам:

п(в, въ) + пъ(в, въ) = 4,

^ (в, А ) ? 0

дв, '

p(в, а ) , 0,

двъ

дръ а А ) ? 0,

дв,

дп^ ^ 0,

двъ

содержательные интерпретации которых очевидны.

Второй вариант (непосредственное определение точки компромисса) заключается в задании отображения п ® Ш+1, удовлетворяющего для всех въ > в, следующим свойствам:

в, <Пв,, въ) <въ,

ПАА) г0>

дв,

дпАА) г 0>

двъ

содержательные интерпретации которых также очевидны. Примером является инвариантный относительно аддитивного сдвига представлений механизм компромисса (11) п= aAj, + (1 - a) в,, где a е [0; 1].

Ясно, что эти два варианта механизмов эквивалентны, поэтому в дальнейшем для определенности будем иметь в виду второй вариант.

Рефлексивную игру продавца и покупателя формализуем следующим образом. Допустимым действием каждого из игроков - продавца и покупателя - является сообщение (одновременно с оппонентом независимо от него) «своей» цены - xs и xb соответственно. На основании сообщений игроков сделка либо не совершается (при xs > xb), либо совершается по цене pxs, xb) (при xs < xb). Функции выигрыша в этой игре имеют следующий вид:

\p(xs , xb )-qs, xs < xb ,

fs q, xs, xb) =

1^1, xs > xb ,

\qb - xs, xb X xs < xb ,

fb (qb , xs, xb ) =

L e2, xs > xb,

где e1 и e2 - произвольные положительные числа (затраты на подачу заявки в случае, если сделка не состоится). Кроме того, будем считать, что каждый из агентов может вообще отказаться от переговоров; при этом сделка не совершается и агент, не подавший заявку, получает нулевой выигрыш.

Опишем теперь информированность участников игры. Будем считать, что допустимые действия и целевые функции являются общим знанием с точностью до величин qs и qb. Пусть, далее, продавец и покупатель обладают точечной структурой информированности конечной сложности [74] следующего вида: Is = (qs , qsb , q.sbs, ...), Ib = ($> , qbs , qbsb , ...) - напомним, что в силу аксиомы автоинформированности индексы «s» и «b» чередуются.

Рассмотрим вопрос о том, каковы возможные информационные равновесия в описанной рефлексивной игре.

Для того, чтобы определить равновесное действие продавца x*, необходимо определить равновесные действия всех фантомных агентов, существующих в его представлении (подробнее о фантомных агентах см [74]). Таким образом, для нахождения x*

*

необходимо найти все х*т, те S. Справедливо следующее утверждение.

*

Лемма 2. Набор действий х,т , Т е S, является (с точки зрения

продавца) информационным равновесием (и продавец не откажет* *

ся от переговоров), если и только если х,т ° x, для любого Т е ?и

в, ? x** ? в, где в, = max qSTS, в, = min ^ .

res res

Доказательство леммы 2. ^ Пусть х*т, те S, - информационное равновесие. Рассмотрим произвольное непустое т и равновесное действие хтЬ . По определению информационного равновесия действие х*т максимизирует по х,т функцию f, (в,т, хт , х*тъ). Иначе говоря, т-агент (продавец) ожидает от ¦тъ-агента (покупателя) действие х*тъ. Далее, соотношение

втт > х*тъ означает, что , т,-агент (продавец) ожидает от оппонента заявки, меньшей его субъективной цены; следовательно, субъективно оптимальным для него будет отказ от переговоров и сделка не состоится, что противоречит предположению. Значит,

в,т ? х*тъ (субъективная цена продавца не превосходит заявленной

**

цены покупателя). Но тогда, очевидно, х,т, = х,т,ъ - для продавца оптимально назвать цену, совпадающую с ценой покупателя.

Аналогично показывается, что, если х,*тъ, - равновесное действие, то в ъ > х*ъ и х*ъ = х*ъ .

Таким образом, для произвольного t справедливы соотношения х*т = Х*, в,, ? Х* ? в,ъ . Поскольку структура информирован-ности имеет конечную сложность, попарно различных элементов втт конечное число. Поэтому из последнего неравенства следует,

ft

что в, ? Х* ? в, .

ft

^ Пусть число х* таково, что 6S < x* < в* . Тогда для любого r е S имеем 0*r < х* < , 0sr* < х** < 0*r . Поэтому набор

* *

действий xsr = xs ,re S, является (с точки зрения продавца) информационным равновесием и продавец не откажется от переговоров (заметим, что соотношения (1) выполнены).

Аналогичный факт, как нетрудно проверить, справедлив и для покупателя. Объединяя эти два факта, получаем следующее утверждение.

Утверждение 7. Набор действий xs, se S+ , является информационным равновесием (и сделка будет совершена), если и только если для любого re S справедливы соотношения x*r = x*,

И г и 1

**

xbr = xb и в* < x* < в* qb < x* < qb где qs = rnax^t*,

res

ft f ft

в* = min^tb, qb = max^brs, q = min.

res res res

Утверждение 7, в частности, показывает, каким образом следует сформировать структуру информированности игры в случае, когда управляющий орган (центр), во-первых, имеет возможность формировать любую структуру, и, во-вторых, стремится обойтись наиболее простой.

Пусть, например, центр стремится обеспечить заключение сделки по цене, где ds < в <вb, т.е. сделать в единственной равновесной ценой. Тогда достаточно сформировать у агентов структуры информированности следующего вида: I* = (в*, в, в, в, ...),

Ib = (вь , в, в, в, ...). Нетрудно видеть, что при этом f ft f ft = = въ = въ = в . Поэтому, согласно утверждению, единственным информационным равновесием будет то, для которого x* = xb = в . Заметим, что это информационное равновесие является стабильным т.е. сделка будет заключена именно по той цене, на которую рассчитывали агенты, делая свои заявки.

Сделаем следующее важное замечание: мы исходим из предположения о том, что центр может сформировать у агентов любую структуру информированности. В рамках этого предположения нас

интересует следующий вопрос: какой должна быть эта структура. Вопрос о том, как центру надлежит ее формировать, выходит за рамки настоящей работы и требует особого рассмотрения с привлечением данных психологии, социологии и пр.

Рассмотрим следующий пример: пусть субъективная цена продавца составляет 20, покупателя - 50, и центр стремится обеспечить совершение сделки по цене 40. Тогда ему следует сообщить продавцу следующее: «покупатель считает: субъективные цены покупателя и продавца равны 40, и это - общее знание», а покупателю - следующее: «продавец считает: субъективные цены продавца и покупателя равны 40, и это - общее знание». Тем самым, формируются следующие структуры информированности агентов: I, = (20, 40, 40, 40, ...), 1ъ = (50, 40, 40, 40, ...). Оба агента подадут заявки 40, и сделка состоится.