5.4. Соотношение времен t и t'

Выразив время t' из первого уравнения системы (5.8) и подставив в него значение x', взятое по второму уравнению этой системы, получим:

.

(5.12)

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и вынесем за скобки коэффициент a.

.

(5.13)

Используя (5.11), легко показать, что

,

(5.14)

и время в системе K' выражается через время в системе K следующим соотношением:

.

(5.15)

Если из второго уравнения системы (5.8) выразить t, а затем подставить значение x из первого, получим, что время в системе K выражается через время в системе K' следующим соотношением:

.

(5.16)

Чтобы понять смысл полученных соотношений, следует вернуться к рис.5.3, из которого очевидно, что знак скорости относительного движения систем отсчета зависит от того, из какой системы наблюдается это движение. В последних уравнениях положительному знаку скорости соответствует случай, когда наблюдатель находиться в системе K', а не K, как прежде. Это произошло потому, что скорость введена уравнением (5.14), изменившим знак скорости на противоположный.

Оба последних уравнения утверждают, что в той системе, где находится наблюдатель, время в любой точке системы одинаково, не зависит от координаты, что мы обычно и наблюдаем на опыте.

Намного проще и существенно более важно для практики связать не времена, а длительности событий или интервалы времени: Dt = t₂ – t₁. Для этого следует лишь задать приращение временам t и t' в уравнениях (5.15) и (5.16) при постоянных координатах x и x'. Для малых интервалов Dt ® dt получим:

;	(5.17)
.	(5.18)

В первом случае Dt >Dt', во втором – наоборот. Но противоречия в этих выводах нет. Действительно, в (5.17), как и в исходном уравнении (5.15), наблюдатель находится в системе K, и событие происходит там же. Во втором случае событие происходит в системе K' и время его Dt' < Dt. Обобщается все сказанное так: интервал времени минимален в той системе, где происходит событие. Соотношения (5.17) и (5.18) были первыми соотношениями теории относительности, проверенными на опыте.

Среди элементарных частиц имеются так называемые m-мезоны или, по-современному, мюоны. Они обнаружены были в лаборатории, где мюоны образуются из других частиц при распаде последних. Возникнув, они "живут" чрезвычайно мало. Среднее время их жизни Dt » 2 мкc. Кроме того, эти же m-мезоны были обнаружены позднее в космических лучах, то есть в лучах, проникающих на землю из космоса.

Если частица родилась в верхних слоях атмосферы и двигалась со скоростью, близкой к скорости света, то проникнуть в толщу атмосферы она может лишь на глубину, равную произведению этой скорости на время жизни частицы t', что соответствует расстоянию не более 600 метров. В 1939 году мюоны были обнаружены на уровне моря. Значит они прошли путь около двадцати километров, то есть всю толщу земной атмосферы. Объяснить этот факт можно лишь так: время t' есть время жизни, измеренное в лаборатории, когда частица практически покоилась. При ее движении относительно Земли с большой скоростью время ее жизни остается прежним в системе, связанной с ней самой (находясь внутри системы обнаружить ее движение нельзя). Поскольку распад происходит именно в этой системе, оно минимально. В системе связанной с Землей, время жизни частицы можно найти по (5.18), это будет время t, которое оказывается порядка 60 мкс при u = 0,999с. За это время частица успевает пройти толщу атмосферы.