2.2.4 Коррекция определения числа и аксиома бесконечности
Формулировка парадокса затрагивает не только противоречивость рассуждения, но и другой важный аспект логицистской программы Г.Фреге, который связан с определением арифметических понятий в логических терминах.
Определение числа по Фреге, как оно было сформулировано выше, требует рассматривать классы, состоящие из элементов, принадлежащих к различным типам. Например, уже определение числа два предполагает класс, образованный из нуль-класса и класса, элементом которого является сам нуль-класс. Однако именно это и содержит парадокс, который обнаружил Рассел. Рассел сохраняет логицистскую установку на то, что арифметика сводима к логике, но в свете установленного противоречия определение числа должно быть модифицировано таким образом, чтобы исключить смешение типов.Рассел выходит из затруднения следующим образом . Он сохраняет общий фрегеанский подход к числу с точки зрения классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии. Сохраняет он и определение нуля как класса неравных самим себе объектов. Модификация определения начинается с числа один. Число один соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, содержащим один объект. Число два соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, который состоит из объекта, использованного при определении числа один, плюс новый объект и т.д. Определение, построенное таким способом, избегает парадокса, поскольку соблюдает требование теории типов. Объекты, используемые при определении чисел, принадлежат одному и тому же типу. Однако оно требует введения дополнительного постулата. Определение каждого последующего числа в последовательности натуральных чисел требует нового объекта. Но поскольку натуральный ряд бесконечен, постольку должно предусматриваться и бесконечное количество объектов. Так в логической системе Рассела возникает аксиома бесконечности, а именно допущение о том, что любому заданному числу n соответствует некоторый класс объектов, имеющий n членов .
Еще по теме 2.2.4 Коррекция определения числа и аксиома бесконечности:
- Теорема 16. Из необходимости божественной природы должно вытекать бесконечное множество вещей бесконечно многими способами (т.е. все, что только может представить себе бесконечный разум).
- О природе определения и аксиомы
- с) Бесконечность определенного количества (Die Unendlichkeit des Quantum)
- 1.3. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Предел функции на бесконечности.
- Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
- Теорема 4. Идея бога, из которой вытекает бесконечно многое бесконечно многими способами, может быть только одна.
- 7. Пять категорий, входящих в определение числа
- 8. Необходимые разъяснения к данному определению числа
- Геометрична інтерпретація комплексного числа. Аргумент та модуль комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- Теорема 11. Бог, или субстанция, состоящая из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность, необходимо существует.
- Теорема 21. Все, что вытекает из абсолютной природы какого-либо атрибута бога, должно обладать вечным и бесконечным существованием, иными словами, через посредство этого атрибута все это вечно и бесконечно.