<<
>>

4.3 Постоянные ренты

Всюду ниже предполагается, что имеется банковский счет C(t) = (1 + i)f} относительно которого происходят расчеты.

Рассмотрим серию платежей a2,... , anj производимых в t1,t2,...

,tn.

Определение 4.15. Приведенной к моменту времени t = 0 стоимость a конечной серии платежей a1,a2,... ,an в моменты времени t1,t2,... ,tn называется число a = ^n=i akvtk¦ Для бесконечной серии a1,a2,... во времена ti,t2,... приведенная t = 0 стоимос ть a определяется формулой a = ^2 +=i akvtk при условии сходимости ряда.

Определение 4.16. Приведенной к моменту времени t > tk стои-мость s серии платежей a1,a2, ...,an, в момен ты t1 ,t2,...,tn называется число s = nk=1 ak(1 + i)t-tk.

Определение 4.17. Серии платежей, производимые через равные промежутки времени и отличающиеся какой-либо однородностью, называются рентами.

Определение 4.18. Серия платежей величиной 1, производимых в моменты времени 0,1, 2, ...,n-1, называется упреждающей рентой. Приведенная стоимость упреждающей ренты обозначается как ац и определяется формулой Иц = n-0 v% = 1 + v + ... + vn-1.

Определение 4.19. Серия платежей величиной 1, производимых в 1, 2, ... , n

денная стоимость запаздывающей ренты обозначается как a-ц и определяется формулой a-ц = v + v2 + ... + vn.

Величину а~г удобно рассматривать как внесенную в пенсионный фонд в t = 0 n

в начале каждого года. Величину a-ц удобно рассматривать как внесенную

t = 0 n

в размере 1 в конце каждого года.

Нетрудно подсчитать, рассматривая a-ц и an как геометрические прогрес-

1 - vn (1 - vn\ v(1 - vn) (1 - vn\ Л

=[— ' = « =[— • <4-зл)

Определение 4.20. Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m, ...,m+n — 1, называется отсроченной упреждающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость m\dn\ отсроченной упреждающей ренты определяется как m\&n\\ = vm + ••• + vm+n—1.

Определение 4.21.

Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m + 1,..,m + n, называется отсроченной запаздывающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость т\ац отсроченной запаздывающей ренты определяется как m\an\\ = vm+1 + ... + vm+n.

Нетрудно показать, что

m\an\ = V an\i m\an\ = V an\; m\an\ = an+m\ — am\; m\an\ = an+m\ — am\•

Интересно знать стоимость упреждающей и запаздывающей рент в момент времени t = n. Для этого надо их приведенные к t = 0 стоимости

n наращения (4.2.9). Эти нара-

a

s

an = an(1 + i)n, sn = an(1 + i)n.

n\ n\ n\ n\

Для отсроченных упреждающих и запаздывающих рент их наращенные к моменту m + n стоимости m\ащ и m\sn\ определяются как

mfci = (1 + i)n+mm\ani; m\sn\ = (1 + i)n+m m^. (4.3.2)

m

Определение 4.22. Серия из nm выплат величины mm, произведенных в моменты времени 0, —, —, , nm—1 называется упреждающей рен-

m m m

той, выплачиваемой с частотой m на промежутке [0,n]. Приведенная к t = 0 ее стоимость обозначается а^\ а наращенная к моменту времени

t = n стоимость обозначается s(m').

n\

Определение 4.23. Серия из nm выплат велич ины m, произведенных в моменты времени —, —,nm—1, n, называется запаздывающей рентой,

m m m

выплачиваемой с частотой m на промежутке [0, и]. Приведеныая Kt = 0 ее стоимость обозначается aц \ а наращенная к моменту времени t = n

стоимость обозначается s(m').

n\

Подсчитаем величину d-m\ Для этого рассмотрим упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой m, как обычную серию платежей на промежутке [0, mn] с промежутком конверсии [0,1/т]. По определен ню, а!—Г) =

n\

1 1 1 1 1 nm-1 1 у 1 nm-1 ч . . 1

^ —V m ^ —V m + ... + -!- V m = -А- (1 + V m + ... + V m ) . ПуСТЬ Vl = V m,

m m m m m

_ 1-vnm

Тогда a-m > = m (г + V1 +... + vr'-1) = m-V).

Выражение в первых скобках - это обычная упреждающая рента на промежутке [0,nm] с коэффициентом дисконтарования Vb Соответству-

1 1

1 1 "(m) 1— Vl 1—V m (1+i) m

ющая v1 эффективная процентная ставка и = — = —— = i — =

V1 v m 1"

(1+i) m

значения 1 + v1 + ... + v'm- = d—R@.(M). Дл я d— С учетом двух последних

(1 + i)m - 1. Для того чтобы в приведенной стоимости ренты указать, что она приведена по процентной ставке i, пишут й—щ- ^ учетом этого обо' а г^. .(m). Для о—т nmy&il ^ n\

формул получаем, что а—^^ = md—m^iim). Если использовать номинальную процентную ставку i(m) (4.2.18), то dm = —Й—г©.

n\ mdnm\@i(m)/m'

Аналогично показывается, что ОГ = ГО—г@ .(m), ОГ = ГГo—m@i

) = 1 (m) _

\ = m0nm\@im)> 0—\ = manm\@i(m)/m'

<< | >>
Источник: В.П.Орлов. ОСНОВЫ СТРАХОВАНИЯ. 2004

Еще по теме 4.3 Постоянные ренты:

  1. П.), либо страхование плательщиком в пользу получателя ренты риска ответственности. Отдельные виды ренты
  2. 11. Договор ренты: понятие, виды, признаки, элементы. 12.Постоянная рента: понятие, особенности
  3. Г. Мирабо, маркиз М. Ж. Лафайет, аббат Э. Ж. Сиейес, ученый-астроном Ж. Байи и др.). Испытывая на себе постоянное
  4. 4.3 Постоянные ренты
  5. §1. Общие положения о ренте и пожизненном содержании с иждивением Статья 583. Договор ренты
  6. §2. Постоянная рента Статья 589. Получатель постоянной ренты
  7. Статья 591. Сроки выплаты постоянной ренты
  8. §3. Пожизненная рента Статья 596. Получатель пожизненной ренты
  9. § 1. Общие положения о ренте и пожизненном содержании с иждивением
  10. ФИКСИРОВАННАЯ РЕНТА
  11. Модель расчёта земельной ренты
  12. Земельная рента или контрибуция?
  13. Вопрос 2. Рынок земли. Экономическая рента.
  14. 4. Договор ренты (ст. 583-605 ГК)
  15. 36.Понятие, характеристика и существенные условия договора купли-продажи ренты.