4.3 Постоянные ренты
Рассмотрим серию платежей a2,... , anj производимых в t1,t2,...
,tn.Определение 4.15. Приведенной к моменту времени t = 0 стоимость a конечной серии платежей a1,a2,... ,an в моменты времени t1,t2,... ,tn называется число a = ^n=i akvtk¦ Для бесконечной серии a1,a2,... во времена ti,t2,... приведенная t = 0 стоимос ть a определяется формулой a = ^2 +=i akvtk при условии сходимости ряда.
Определение 4.16. Приведенной к моменту времени t > tk стои-мость s серии платежей a1,a2, ...,an, в момен ты t1 ,t2,...,tn называется число s = nk=1 ak(1 + i)t-tk.
Определение 4.17. Серии платежей, производимые через равные промежутки времени и отличающиеся какой-либо однородностью, называются рентами.
Определение 4.18. Серия платежей величиной 1, производимых в моменты времени 0,1, 2, ...,n-1, называется упреждающей рентой. Приведенная стоимость упреждающей ренты обозначается как ац и определяется формулой Иц = n-0 v% = 1 + v + ... + vn-1.
Определение 4.19. Серия платежей величиной 1, производимых в 1, 2, ... , n
денная стоимость запаздывающей ренты обозначается как a-ц и определяется формулой a-ц = v + v2 + ... + vn.
Величину а~г удобно рассматривать как внесенную в пенсионный фонд в t = 0 n
в начале каждого года. Величину a-ц удобно рассматривать как внесенную
t = 0 n
в размере 1 в конце каждого года.
Нетрудно подсчитать, рассматривая a-ц и an как геометрические прогрес-
1 - vn (1 - vn\ v(1 - vn) (1 - vn\ Л
=[— ' = « =[— • <4-зл)
Определение 4.20. Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m, ...,m+n — 1, называется отсроченной упреждающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость m\dn\ отсроченной упреждающей ренты определяется как m\&n\\ = vm + ••• + vm+n—1.
Определение 4.21.
Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m + 1,..,m + n, называется отсроченной запаздывающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость т\ац отсроченной запаздывающей ренты определяется как m\an\\ = vm+1 + ... + vm+n.Нетрудно показать, что
m\an\ = V an\i m\an\ = V an\; m\an\ = an+m\ — am\; m\an\ = an+m\ — am\•
Интересно знать стоимость упреждающей и запаздывающей рент в момент времени t = n. Для этого надо их приведенные к t = 0 стоимости
n наращения (4.2.9). Эти нара-
a
s
an = an(1 + i)n, sn = an(1 + i)n.
n\ n\ n\ n\
Для отсроченных упреждающих и запаздывающих рент их наращенные к моменту m + n стоимости m\ащ и m\sn\ определяются как
mfci = (1 + i)n+mm\ani; m\sn\ = (1 + i)n+m m^. (4.3.2)
m
Определение 4.22. Серия из nm выплат величины mm, произведенных в моменты времени 0, —, —, , nm—1 называется упреждающей рен-
m m m
той, выплачиваемой с частотой m на промежутке [0,n]. Приведенная к t = 0 ее стоимость обозначается а^\ а наращенная к моменту времени
t = n стоимость обозначается s(m').
n\
Определение 4.23. Серия из nm выплат велич ины m, произведенных в моменты времени —, —,nm—1, n, называется запаздывающей рентой,
m m m
выплачиваемой с частотой m на промежутке [0, и]. Приведеныая Kt = 0 ее стоимость обозначается aц \ а наращенная к моменту времени t = n
стоимость обозначается s(m').
n\
Подсчитаем величину d-m\ Для этого рассмотрим упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой m, как обычную серию платежей на промежутке [0, mn] с промежутком конверсии [0,1/т]. По определен ню, а!—Г) =
n\
1 1 1 1 1 nm-1 1 у 1 nm-1 ч . . 1
^ —V m ^ —V m + ... + -!- V m = -А- (1 + V m + ... + V m ) . ПуСТЬ Vl = V m,
m m m m m
_ 1-vnm
Тогда a-m > = m (г + V1 +... + vr'-1) = m-V).
Выражение в первых скобках - это обычная упреждающая рента на промежутке [0,nm] с коэффициентом дисконтарования Vb Соответству-
1 1
1 1 "(m) 1— Vl 1—V m (1+i) m
ющая v1 эффективная процентная ставка и = — = —— = i — =
V1 v m 1"
(1+i) m
значения 1 + v1 + ... + v'm- = d—R@.(M). Дл я d— С учетом двух последних
(1 + i)m - 1. Для того чтобы в приведенной стоимости ренты указать, что она приведена по процентной ставке i, пишут й—щ- ^ учетом этого обо' а г^. .(m). Для о—т nmy&il ^ n\
формул получаем, что а—^^ = md—m^iim). Если использовать номинальную процентную ставку i(m) (4.2.18), то dm = —Й—г©.
n\ mdnm\@i(m)/m'
Аналогично показывается, что ОГ = ГО—г@ .(m), ОГ = ГГo—m@i
) = 1 (m) _
\ = m0nm\@im)> 0—\ = manm\@i(m)/m'