<<
>>

4.3 Постоянные ренты

Всюду ниже предполагается, что имеется банковский счет C(t) = (1 + i)f} относительно которого происходят расчеты.

Рассмотрим серию платежей a2,... , anj производимых в t1,t2,...

,tn.

Определение 4.15. Приведенной к моменту времени t = 0 стоимость a конечной серии платежей a1,a2,... ,an в моменты времени t1,t2,... ,tn называется число a = ^n=i akvtk¦ Для бесконечной серии a1,a2,... во времена ti,t2,... приведенная t = 0 стоимос ть a определяется формулой a = ^2 +=i akvtk при условии сходимости ряда.

Определение 4.16. Приведенной к моменту времени t > tk стои-мость s серии платежей a1,a2, ...,an, в момен ты t1 ,t2,...,tn называется число s = nk=1 ak(1 + i)t-tk.

Определение 4.17. Серии платежей, производимые через равные промежутки времени и отличающиеся какой-либо однородностью, называются рентами.

Определение 4.18. Серия платежей величиной 1, производимых в моменты времени 0,1, 2, ...,n-1, называется упреждающей рентой. Приведенная стоимость упреждающей ренты обозначается как ац и определяется формулой Иц = n-0 v% = 1 + v + ... + vn-1.

Определение 4.19. Серия платежей величиной 1, производимых в 1, 2, ... , n

денная стоимость запаздывающей ренты обозначается как a-ц и определяется формулой a-ц = v + v2 + ... + vn.

Величину а~г удобно рассматривать как внесенную в пенсионный фонд в t = 0 n

в начале каждого года. Величину a-ц удобно рассматривать как внесенную

t = 0 n

в размере 1 в конце каждого года.

Нетрудно подсчитать, рассматривая a-ц и an как геометрические прогрес-

1 - vn (1 - vn\ v(1 - vn) (1 - vn\ Л

=[— ' = « =[— • <4-зл)

Определение 4.20. Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m, ...,m+n — 1, называется отсроченной упреждающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость m\dn\ отсроченной упреждающей ренты определяется как m\&n\\ = vm + ••• + vm+n—1.

Определение 4.21.

Серия платежей величиной 1, сделанных в моменты m + 1,..,m + n, называется отсроченной запаздывающей рентой. Приведенная к t = 0 стоимость т\ац отсроченной запаздывающей ренты определяется как m\an\\ = vm+1 + ... + vm+n.

Нетрудно показать, что

m\an\ = V an\i m\an\ = V an\; m\an\ = an+m\ — am\; m\an\ = an+m\ — am\•

Интересно знать стоимость упреждающей и запаздывающей рент в момент времени t = n. Для этого надо их приведенные к t = 0 стоимости

n наращения (4.2.9). Эти нара-

a

s

an = an(1 + i)n, sn = an(1 + i)n.

n\ n\ n\ n\

Для отсроченных упреждающих и запаздывающих рент их наращенные к моменту m + n стоимости m\ащ и m\sn\ определяются как

mfci = (1 + i)n+mm\ani; m\sn\ = (1 + i)n+m m^. (4.3.2)

m

Определение 4.22. Серия из nm выплат величины mm, произведенных в моменты времени 0, —, —, , nm—1 называется упреждающей рен-

m m m

той, выплачиваемой с частотой m на промежутке [0,n]. Приведенная к t = 0 ее стоимость обозначается а^\ а наращенная к моменту времени

t = n стоимость обозначается s(m').

n\

Определение 4.23. Серия из nm выплат велич ины m, произведенных в моменты времени —, —,nm—1, n, называется запаздывающей рентой,

m m m

выплачиваемой с частотой m на промежутке [0, и]. Приведеныая Kt = 0 ее стоимость обозначается aц \ а наращенная к моменту времени t = n

стоимость обозначается s(m').

n\

Подсчитаем величину d-m\ Для этого рассмотрим упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой m, как обычную серию платежей на промежутке [0, mn] с промежутком конверсии [0,1/т]. По определен ню, а!—Г) =

n\

1 1 1 1 1 nm-1 1 у 1 nm-1 ч . . 1

^ —V m ^ —V m + ... + -!- V m = -А- (1 + V m + ... + V m ) . ПуСТЬ Vl = V m,

m m m m m

_ 1-vnm

Тогда a-m > = m (г + V1 +... + vr'-1) = m-V).

Выражение в первых скобках - это обычная упреждающая рента на промежутке [0,nm] с коэффициентом дисконтарования Vb Соответству-

1 1

1 1 "(m) 1— Vl 1—V m (1+i) m

ющая v1 эффективная процентная ставка и = — = —— = i — =

V1 v m 1"

(1+i) m

значения 1 + v1 + ... + v'm- = d—R@.(M). Дл я d— С учетом двух последних

(1 + i)m - 1. Для того чтобы в приведенной стоимости ренты указать, что она приведена по процентной ставке i, пишут й—щ- ^ учетом этого обо' а г^. .(m). Для о—т nmy&il ^ n\

формул получаем, что а—^^ = md—m^iim). Если использовать номинальную процентную ставку i(m) (4.2.18), то dm = —Й—г©.

n\ mdnm\@i(m)/m'

Аналогично показывается, что ОГ = ГО—г@ .(m), ОГ = ГГo—m@i

) = 1 (m) _

\ = m0nm\@im)> 0—\ = manm\@i(m)/m'

<< | >>
Источник: В.П.Орлов. ОСНОВЫ СТРАХОВАНИЯ. 2004

Еще по теме 4.3 Постоянные ренты: