4.2 Теория сложных процентных ставок

C (t) = (1 + i)t. (4.2.1)

Определение 4.5. Число i называется эффективной процентной ставкой.

Определение 4.6.

t=0

лентна (1 + i) при t > 0. Другая формула банковской ставки (4.2.1) имеет

C (t) = est, 5 = ln(1 + i). (4.2.2)

Определение 4.7. Число 5 = ln(1 + i) называется интенсивностью

i

Для сложного банковского процента задача наращения решается с помощью вытекающих из (4.2.1) формул

S (t2) = (1 + i)(t2—tl) S (t1), (4.2.3)

S (t2) = e6{t2-t1 S (t1). (4.2.4)

Соответственно, задача дисконтирования решается с помощью формул

S (t1) = (1+ i)~(t2-tl)S (t2), (4.2.5)

S (t1) = e-6(h-tl)S (t2). (4.2.6)

Определение 4.8. Число

v = (1 + i)-1 (4.2.7)

называется коэффициентом дисконтирования (для процентной ставки i

Очевидно, что

1v

i = . (4.2.8)

v

Формулы (4.2.5) (4.2.6) могут быть переписаны в виде

S (t1) = v (t2-tl)S (t2). (4.2.9)

В рассчетах часто имеют дело со временем t1 = 0 и t2 = t. Тогда, если S(0) t1 = 0

t > 0

S (t) = (1 + i)tS (0). (4.2.10)

S(t) t > 0

S(0)

S (0) = vtS (t). (4.2.11)

Определение 4.9. Эффективной ставкой дисконтирования называется число

d = iv. (4.2.12)

1 + i ¦ ;

Смысл d - это выплата в момент t = 0 эквивалентной величины для i

Разобьем отрезок [0,1] на m чаетей [0, Щ, Щ щ-11 Выберем за единицу времени [0, Щ] и будем на 1 у.е. начислять проценты в момент 1/m. Эта процедура порождает банковский счет

C1(r ) = (1 + i(T))T (4.2.13)

с эффективной процентной ставкой im и периодом конверсии 1/т. Если

t

1 у.е. равна C(t) = (1 + i)^ Если мы возьмем новый счет C1 (t) с периодом

1 (m)

конверсии m и ставкой il , то на промеж утке [0, t] промежуток конверсии [0, mm] укладывается tm раз, и стоимость 1 у.е.

(m)

чтобы начисленная по

новому и старому счету суммы совпадали. Тогда должно быть C1(mt) = C(t) или (1 + i)t = (1 + ilT^)tm¦ Полагая t = 1, имеем (1 + i) = (1 + iln^)m. Отсюда легко следует, что

i(m) = (1 + i) ^ — 1. (4.2.14)

Определение 4.10. Число im) = (1 + i) ™ — 1 называется эффективной

т

Переписав (4.2.13) в виде

C1(T) = e5* T, (4.2.15)

и полагая т = т, имеем C1 (m) = e5* m = e5 = C(1), откудa 5(m) = 5/m.

Определение 4.11. Интенсивностью процентной ставки, выплачиваемой с частотой т, называется число

5 lm) = 5/т. (4.2.16)

Аналогично ставке дисконтирования d, определенной через (4.2.12) на промежутке [0,1], вводится ставка дисконтирования на [0,1/т].

Определение 4.12. Эффективной ставкой дисконтирования на промежутке [0,1/т] называется число

i(m)

^ = -fm (4-2Л7)

1 + i l

В страховой математике для удобств записи формул используют не только эффективные, т.е. реальные, но и номинальные ставки.

Определение 4.13. Номинальной процентной ставкой называется число

i(m) = mi(m). (4.2.18)

Определение 4.14. Номинальной ставкой дисконтирования называется число

d(m) = md(m). (4.2.19)

Замечание 4.1. Поясним, откуда появляются номинальные процентные ставки. При периоде конверсии 1/m эффективная процентная ставка равна iт = (1 + i)M — 1. Так как по формуле Тейлора

(1 + i)M = 1 + ^i +1—mi2(1 + Qi)M—2, о < @ < 1,

m m2

то

im) = mi(m) = i — m— i2(1 + Qi)M—2 « i.

m

Отсюда видно, что при малых i Е (0,1) велнчпна i(m приблизительно i

Замечание 4.2. Все выведенные выше определения основываются на

i

i

чины любую из выведенных, мы можем через нее выразить все остальные.

В заключение приведем сводку основных формул.

d 1 v

5 = ln(1+ i); i = es — 1; i = -; i = ; (4.2.20)

1 — d v

1

v = ; v = e— ; (4.2.21)

1 + i ¦ ;

i

d ; d =1 — v; d =1 — e— ; (4.2.22)

i *m) = (1 + i)M — 1; i ={1 + i m — 1; (4.2.23)

-(m)

7 1

dm = ; dm = 1 — (1 — d)M; (4.2.24)

1 + i *

d(m) = m (1 — (1 — d)M) ; i(m) = ((1 + i)M — 1) m. (4.2.25)