9.4 Расчет резерва по ретроспективной формуле (договор полного страхования жизни)

Из формулы (9.3.4) видно, что tVx величина не отрицательная. Ясно, что Px+t > Px, поскольку в возрасте x + t вероятность умереть больше,

x Px+t

Px

Н6ДОС'1'0)'1'ОЧно для будущих С Т р cLXO В ЫХ В Ы П Л cLT.

(9.4.1)

:t \'

tSC Px Sx:t\

Здсс ь

ахЩ = 'axt\ A(x,t). (9.4.2)

Актуарная приведенная к t стоимость обязательств компании есть

tSb = A1^ A(x, t) = Л1хщ / tEx. (9.4.3)

Таким образом,

tSc - tSb = Px ахщ — Alx-\ / tEx, (9.4.4)

Выше A(x,t) и tEx - актуарные коэффициенты накопления и дисконтирования соответственно на промежутке [0,t]. Покажем, что лбвО)Я часть (9.4.4) на деле равна tVx. Для этого умножим (9.3.3) на tEx. Мы получим

tVx tEx = Ax+t tEx — Px ax+t tEx¦ (9.4.5)

Так как

Ax+ttEx = 11 Ax, ax+ttEx = 11 axi (9.4.6) то из (9.4.5) следует, что

tVxtEx = t | Ax — Pxt I'x+ttEx• (9.4.7)

Ax = Px a' x

tVxtEx = Px ('x — t\'x) — (Ax — tAx) . (9.4.8)

Из соотношений

ax — t'x = ахц, Ax — ^ Ax = Alx- (9.4.9)

вытекает, ч'i'о

tVxtEx = Px ахщ — Alx~y (9.4.10)

Отсюда в силу (9.4.4) следует, что tVx = tsc — tSb.