2.4.5. Численные кванторы

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n» («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n», где n – натуральное число.

Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака =, обозначающего тождество (совпадение) объектов.

Пусть n = 1.

Предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством Р» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует объект, обладающий свойством Р», т.е.

$х (Р(х)). (1)

Предложение «Не более чем один объект обладает свойством Р» равнозначно предложению «Если есть объекты, обладающие свойством Р, то они совпадают», т.е.

"х "у ((Р(х) Ù Р(у)) ® х = у). (2)

Предложение «Один и только один объект обладает свойсвом Р» равнозначно конъюнкции предложений (1) и (2), т.е.

$х (Р(х)) Ù "х "у ((Р(х) Ù Р(у)) ® х = у).

Рассмотрим случай n = 2.

Предложение «По меньшей мере два объекта обладают свойством Р» означает то же, что и предложение «Существуют несовпадающие объекты, обладающие свойством Р», т.е.

$х $у (Р(х) Ù Р(у) Ù х ? у). (3)

Предложение «Не более чем два объекта обладают свойством Р» равнозначно предложению «Каковы бы ни были объекты x, y, z, если все они обладают свойством Р, то по меньшей мере два из них совпадают», т.е.

"х "у "z ((P(x) Ù P(y) Ù P(z)) ® (x = y U x = z U y = z)). (4)

Предложение «Два и только два объекта обладают свойством Р» совпадают по смыслу с конъюнкцией предложений (3) и (4).

Совершенно аналогично обстоит дело с численными кванторами при n > 2.

<< | >>
Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 2.4.5. Численные кванторы: