Пакеты для инженерных и научных расчетов

Идея трансляции математической формулы в машинный язык, например, лежит в основе языка программирования FORTRAN. В раз­ное время было разработано много пакетов прикладных программ, в которых реализовывалась метафора формулы.

Рис. 6.10. Общий вид экрана при работе с пакетом Mathcad

Представлены результаты вычисления неопределенного интеграла в символьном виде, затем полученное выражение продифференцировано и, наконец, рассчитано значение определенного интеграла, тоже запи­санного в символьном виде. Mathcad допускает возможность комбини­рования на экране дисплея математических выкладок, текста и графи­ки. Так, при взятии неопределенного интеграла исходная формула бы­ла набрана с помощью панелей инструментов, которые видны в правой части экрана на рис. 6.10, значение интеграла в символьной форме бы­ло получено в результате работы программы, а поясняющий текст был набран, как в обычном текстовом редакторе.

Возможности символьных вычислений пакета Mathcad, кроме интегрирования и дифференцирования, включают решение алгебраи­ческих уравнений и алгебраические преобразования, а также матрич­ные преобразования - обращение и транспонирование матриц и вы­числение их определителей. При проведении символьных вычислений исходное выражение и результат представляются в символьной форме. При численных вычислениях только исходное выражение представля­ется в численном виде, а результат отображается в виде набора чисел или с помощью графиков.

- решение систем уравнений и неравенств,

- вычисление сумм, рядов, произведений и функций,

- решение обыкновенных дифференциальных уравнений и диф­ференциальных уравнений в частных производных,

- вычисление производных и интегралов,

- вычисление тригонометрических, гиперболических, экспонен­циальных и бесселевых функций,

- вычисление статистических функций, включая линейную рег­рессию и функций вероятностных распределений,

- быстрые преобразования Фурье, одномерные и двумерные,

- аппроксимация кривых кубическими сплайнами.

В пакете предусмотрена возможность проведения вычислений с комплексными числами, переменными и функциями, а также с векто­рами и матрицами, включая операции матричного умножения, обра­щения матриц, транспонирования, вычисления определителя матрицы, скалярное и векторное умножение. Результаты вычислений могут быть представлены в виде разнообразных графиков:

- функции в декартовых и полярных координатах, с линейными и логарифмическими осями,

- линии уровня,

- трехмерные функции (поверхности уровня) и др.

Функции нормального распределения. Стандартная нормальная

функция распределения (интеграл вероятности) cnorm(x) в пакете

Mathcad эквивалентна функции pnorm(x, 0, 1) c аргументами: m = 0 — среднее арифметическое значение, s = 1 — среднеквадратическое от­клонение. Обратная функция существует для pnorm(x, m, s) — это qnorm(p, m, s), где аргумент p — вероятность. Обратной функции для cnorm(x) не предусмотрено. Кроме функции для расчета интеграла вероятности cnorm(x) в пакете Mathcad существует функция для расче­та интеграла ошибок — erf(x). Расчет с помощью функций Mathcad может быть реализован следующим образом:

cnorm(1.000) = 0.841345

pnorm(1.000, 0, 1.0) = 0.841345.

Для нормального отклонения 1.000 интеграл вероятности

Обратная величина: для P = 0.841345 нормальное отклонение

qnorm(0.841345, 0.0, 1.0) = 1.0

Интеграл ошибок: erf( 1.000) = 0.842701

Графики интегралов вероятностей и ошибок:

Здесь выведено 3 зависимости:

- график интеграла вероятности cnorm(x) — красная линия;

- график интеграла ошибок erf(x) — синяя линия;

- значения интеграла вероятности в точках -2, -1, 0, 1, 2 -- точ­ки, обозначенные зелеными квадратами.

Условные знаки для этих зависимостей можно сменить, если вызвать форму Formatting Carrently Selected X-Y Plot (правой кнопкой по графику, а потом Формат -- След. или в меню: Формат -- График - - X-Y Зависимость -- След.). Там же можно подключить легенду.

График строится следующим образом: Вставка -- График -- X- Y Зависимость. Для того чтобы построить 3 графика (в данном случае 2 линии и точки), надо задать переменные по осям абсцисс и ординат. В данном случае по каждой из осей используются 3 переменные. Для того чтобы ввести вторую переменную, после первой переменной не­обходимо поставить запятую (cnorm(x),) и т. д. Здесь надо быть внима­тельным -- курсор должен относиться ко всей переменной, а, напри­мер, не к нижнему индексу. Если все сделано правильно, по оси орди­нат появляющееся окошко ввода должно перескочить на следующую строчку. Можно отображать не только линии (lines), но и точки (points), отрезки, показывающие ошибки (error), и др. Для этого в фор­ме Formatting Carrently Selected X-Y Plot надо сменить тип графика. Например, для 2-й зависимости тип lines заменен на points и выбран символ Box. Для того чтобы увидеть график, надо закончить ввод -­щелкнуть мышкой вне области графика. До этого график не виден.

Метта k, показанная на графики вертикальной пунктирной ли­нией и обозначающая точку, в которой значения интегралов вероятно­сти и ошибок равны с точностью до 6-го знака, подключается в столб­це Оси X-Y формы Formatting Carrently Selected X-Y Plot. После этого у соответствующей оси появятся два окошка, в которые можно ввести имена меток (естественно соответствующие переменные должны быть определены заранее).

Распределение хи-квадрат. Квантили распределения хи-квадрат рассчитываются с помощью функции qchisq(P, f) где P -- доверитель­ная вероятность, а f -- число степеней свободы. Доверительная веро­ятность рассчитывается с помощью функции pchisq(chi, f). Плотность доверительной вероятности определяется выражением dchisq(chi, f). Расчет с помощью функций Mathcad может быть реализован следую­щим образом:

Графики доверительной вероятности pchisq(chi,f) и плотности доверительной вероятности dchisq(chi,f) представлены ниже.

Распределение Стьюдента. Квантили распределения Стьюден- та рассчитываются с помощью функции t = qt(P. f). где P -- довери­тельная вероятность. а f -- число степеней свободы. Существует об­ратная функция для расчета доверительной вероятности P = pt(t. f). а также функция для расчета плотности доверительной вероятности dP = = dt(t. f). Для значений доверительной вероятности (P = 0.95) и числа степеней свободы (f = 10) имеем:

t: = qt(P.f) t = 1.812.

P1: = pt(t.f) P1 = 0.9. dP1: = dt(t.f) dP1 = 0.082.

Те же значения для доверительной вероятности P1 и для плотности доверительной вероятности dP1 можно получить. используя выраже­ния

Графики доверительной вероятности pt(x, f) и плотности дове­рительной вероятности dt(x, f) представлены ниже.

Распределение Фишера. Квантили распределения Фишера рас­считываются с помощью функции qF(P, f1, f2) где P — доверительная вероятность, а f1, f2 — степени свободы. Доверительная вероятность рассчитывается с помощью функции pF(F, f1, f2). Плотность довери­тельной вероятности определяется функцией dF(F, f1, f2), которая оп­ределяется отношением плотностей доверительной вероятности двух распределений хи-квадрат.

и

Графики доверительной вероятности pF(F, f1, f2) и плотности довери­тельной вероятности dF(F, fl, f2) представлены ниже.

Распределение Кокрена. Для числа степеней свободы f1 = 9, до­верительной вероятности P = 0.95 и числа сравниваемых дисперсий n =

= 4, использованных для тестирования, получим

Это совпадает с табличным значением квантиля распределения Кокре­на с точностью до четырех значащих цифр.

Линейный регрессионный анализ без повторных наблюдений. Для тестирования функций линейного регрессионного анализа исполь­зовался тот же массив данных, что и ранее. Этот массив данных запи­сан в два неструктуированных файла data1X.dat и data1Y.dat (табл.6.2).

Таблица 6.2

Массив данных

Эти данные читаются в два массива, и на этой основе рассчи­тывают коэффициенты b0, b1, значение остаточной диспресии S2Y0 и расчетные значения yci:

Для того чтобы построить 2 зависимости (в данном случае точ­ки и линия), надо задать 2 переменные по оси ординат (yi и yci) и одну по оси абсцисс xi.

В заключение следует сказать об ограничениях пакета Mathcad. Основным ограничением при сложных научно-технических рассчетах является отсутствие собственного языка программирования. Пакет Mathcad ориентирован на сравнительно простые задачи, в более слож­ных случаях следует использовать такие пакеты, как MATLAB.

6.3.3.