Глава 3. Расчёт пьезоэлектрических параметров для элементов фильтра

Пьезокерамические фильтры для частотного диапазона 450÷500 кГц характеризуются большим набором параметров: ширина полосы пропускания по уровню 6 дБ от 3 до 40 кГц, хорошая температурная стабильность, низкие значения группового времени задерживания и малые объемы и др.

Рис. 3.1. Схемы замещения полосовых фильтров, а) фильтр нижних частот; б) фильтр высоких частот; в) полосовой фильтр; г) режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра изображена на рис.3.2. На рисунке использованы следующие обозначения:

A₁₁₁- минимальное вносимое затухание фильтра, потери вносимые фильтром;

α_ιmx- максимальное вносимое затухание фильтра;

∆α - неравномерность затухания фильтра (разность между максимальным и минимальным вносимым затуханием в полосе пропускания фильтра);

Ct₁- нижний уровень относительного затухания фильтра;

α₂- верхний уровень относительного затухания фильтра;

- гарантированное затухание, ослабление за полосой пропускания;

- относительное затухание в побочной полосе пропускания фильтра;

- затухание передачи фильтра;

- средняя частота полосы пропускания фильтра;

- номинальная частота фильтра (частота фильтра, установленная в нормативно-технической документации);

- частоты среза по первому заданному уровню (3 дБ, 6 дБ);

- частоты среза по второму заданному уровню (20,30,40 дБ);

- нижняя и верхняя частоты среза полосы задерживания фильтра;

- полюса характеристики затухания фильтра (частоты, на которых затухание фильтра в полосе задерживания достигает максимума);

- полоса пропускания по первому уровню;

- полоса пропускания по второму уровню;

- ширины нижней и верхней полос задерживания фильтра;

- побочная полоса пропускания фильтра;

- коэффициент прямоугольности фильтра, определяемый отношением полос пропускания по второму и первому уровням [1, 16].

Пьезоэлектрический элемент или резонатор можно определить как колебательную систему с резко выраженными резонансными свойствами, обусловленными совпадением частот электрического сигнала с частотой собственных механических колебаний. Резонатор работает на частотах, которые совпадают с частотой собственных механических колебаний.

При изготовлении пьезоэлементов возможны различные механические повреждения в виде сколов, пор, трещин, которые образуются на протяжении всего технологического процесса [16]. Подобные повреждения выражаются в появлении нежелательных дополнительных резонансных всплесках на частотной характеристике элемента. При влиянии внешних факторов, в том числе и температуры, эти всплески могут увеличиваться и сдвигать рабочую

частоту, т.е. вносить значительный вклад в ухудшение рабочих характеристик устройства.

Рис.3.2. Типичная амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра

Для аналитических расчётов круглых резонаторов используют цилиндрические координаты г, θид, которые связаны с декартовыми координатами следующим образом:

Ось 3 (Z), как правило, совмещают с осью поляризации.

Компоненты тензора механических напряжений, выраженные в цилиндрических координатах, связаны с компонентами тензора в прямолинейных координатах формулами:

Уравнения состояния для пьезокерамики, поляризованной в

направлении 3 (ось Z), в цилиндрической системе координат имеют вид:

Уравнения движения в цилиндрических координатах имеет вид:

65

Рис.3.3 Колебания тонких дисковых резонаторов:

θ - полярная координата точки; R - радиус диска, H - толщина диска, плоские поверхности диска металлизированы, R » H

При решении задач о собственных колебаниях тонких дисковых пьезоэлементов уравнения (3.2) - (3.7) следует дополнить граничными условиями [10, 12].

На боковых поверхностях пьезоэлемента граничные условия заключаются в том, что боковые поверхности должны быть свободны от механических напряжений, т.е.:

Если пьезоэлемент тонкий, т.е. его толщина Hменьше длины волны, определяемой радиальным размером R, то в этом случае механические напряжения T_tzявляются функциями, мало изменяющимися вдоль оси г. Но поскольку механические напряжения равны 0 прито с

большой точностью можно принять, что

По этой же причине (малая толщина) тангенциальные компоненты поля E_rи E_θравны нулю приПоскольку поле обращается в

нуль на металлических поверхностях электродов и мало меняется вдоль координаты z, то можно заключить, что:

Пренебрежимо малыми оказываются компоненты u_z, S_rz, S_θz, D_θ, D_r

Учитывая только существенные компоненты, получим, полную систему уравнений и граничных условий, описывающих колебания тонких пьезокерамических элементов, которая будет иметь вид:

Для тонких пьезоэлементов со сплошными электродами резонансные частоты и формы мод колебаний могут быть определены из решения чисто

упругой задачи. Положив E_z=Onподставив 3.9 в 3.8, получим основную систему уравнений движения в виде:

Система 3.12 не даёт возможность непосредственно определить вид решения, поэтому во многих источниках вводятся в качестве новых неизвестных объемное расширение ∆_nи С7_и - частоту локального вращения:

После этого уравнения 3.12 можно записать в виде:

Вторые производные по времени от объёмного расширения A_nи локального вращения ш_п имеют вид:

Для стационарного режимаможно получить, подставив в 3.8

и из выражения 3.13 A_nи ю_п.

Полученная эквивалентная система уравнений 3.17 имеет решения функции Бесселя:

После введения новых переменных 3.18 и 3.19 система 3.17 принимает эквивалентный вид, для которой известны элементарные решения. Зависимости ДЛЯ смещений U_mИ м^имеют ВИД U_mИ U∩_n'.

Неизвестные постоянные A_nи B_nможно найти из граничных условий. Для этого и_т и u_θnиз 3.20 необходимо поставить в 3.15, после чего будем иметь:

Система 3.21 имеет ненулевое решение в точках, где её определитель обращается в ноль.

Таким образом, аналитическое решение уравнений состояния для пьезокерамического диска, металлизированного по плоскостям и поляризованного в направлении оси Z (рис.3.3), достаточно сложно и описывается с помощью функций Бесселя.

Как правило, основной модой колебаний резонатора является мода (Rl).Остальные резонансы являются паразитными, побочными, вредными. В случае идеального дискового тонкого пьезоэлемента при сплошных электродах спектр возбуждаемых резонансов достаточно редок. Но достаточно нарушить осевую симметрию резонатора или электродов и густота спектра побочных частот резко увеличивается.

Второй причиной появления дополнительных резонансов являются механические связи между различными модами колебаний. Эти механические связи между различными модами колебаний возникают при появлении механических локальных дефектов и (или) физических неоднородностей. Эти связи, как правило, достаточно малы, потому что пьезоэлементы с большими неоднородностями (дефектами), отбраковывают.

Помимо резонаторов круглого сечения широко используются пьезоэлементы квадратного сечения для фильтров поверхностного монтажа на частоты 450 кГц, 455 кГц и 500 кГц [87]. Пьезоэлементы в виде пьезокерамических пластин квадратной формы размерами 4?4?0,3 мм, которые имеют более высокий коэффициент заполнения объёма корпуса фильтра и позволяют создавать миниатюрные фильтры.

Уравнения состояния для «квадратных» резонаторов (рис.3.4а) из пьезокерамики, поляризованной в направлении 3 (ось Z), в декартовой (прямоугольной) системе координат имеют вид:

Вышеприведенные уравнения состояния относятся к каждому малому элементу объёма пьезоэлемента, в пределах которого значения независимых переменных не изменяются.

Для описания системы в целом, приведенные выше уравнения состояния необходимо дополнить уравнениями движения сплошной среды, а так же учесть начальные и граничные условия.

Без учёта объёмных сил в декартовых координатах уравнения движения сплошной среды имеют вид:

В обобщённом виде описание колебательного процесса в резонаторе должно базироваться на анализе электромагнитного поля в пьезокерамике и связанных с ним механических колебаний (на основе уравнений Максвелла для электродинамики). Для записи уравнений Максвелла для пьезокерамики целесообразно учитывать упрощения, справедливые для диэлектриков и связанные с отсутствием свободных объёмных зарядов: магнитными эффектами целесообразно пренебречь [15].

Для описания электрического поля удобно вместо напряженности использовать «электростатический» потенциал ср

Данные уравнения относятся к малому элементу объема, в пределах которого значения независимых переменных не изменяется.

Аналитическое решение уравнений состояния и движения для пьезокерамических резонаторов в виде тонких квадратных пластин («квадратных» резонаторов), металлизированных по плоскостям и поляризованных в направлении оси Z, еще более сложно и громоздко, нежели для круглых резонаторов.

Для упрощения расчёта колебательных процессов используют математическое моделирование методом конечных элементов, которое позволяет учитывать не только уравнения состояния, но граничные и другие условия.

Рис.3.4, а) тонкий «квадратный» резонатор: а - сторона квадрата, H- толщина квадрата, а »Я; б) АЧХ резонатора без моночастотности

Нарушения симметрии 4-го порядка пьезокерамического твердого тела или электродов квадратных резонаторах приводят к появлению в спектре дополнительных, нежелательных мод колебаний и дополнительных резонансов в АЧХ. Например, нарушение в виде скола угла пьезоэлемента приводит к появлению нежелательного пика в полосе между частотами резонанса и антирезонанса [13].

Сколы и другие нарушения симметрии 4-го порядка (дефекты) при производстве квадратных пьезоэлементов практически неизбежны. Дополнительные, (нежелательные) резонансы, соответствующие каждому из видов нарушения симметрии, могут располагаться в разных частях рабочей области спектра. Их расположение и величины определяются, соответственно, упругими постоянными керамики и величинами дефектов. Как правило, дополнительные, нежелательные резонансы располагаются в рабочем диапазоне, между значениями частот резонанса и антирезонанса.

Если резонансную частоту резонаторов круглого сечения шлифованием по окружности можно только увеличивать, то увеличения частот резонанса и антирезонанса резонаторов квадратного сечения можно осуществить уменьшением размеров резонатора, например, проводя шлифовку каждой из сторон.

Известно [15, 17], что уменьшение частот резонанса и антирезонанса квадратного резонатора можно осуществить, если сделать симметричные прорези середины сторон квадрата.

Величина понижения частот зависит от ширины и глубины прорезей (пропилов) и рассчитывается методом конечных элементов.

Дальнейшие исследования АЧХ резонаторов с пропилами и дефектами показали, что дополнительные, нежелательные резонансы от одного из основных видов дефектов - сколов имеют частоты, находящиеся вне рабочего диапазона частот [14, 17].

Таким образом, изменение конструкции резонаторов, введение пропилов в пьезоэлементы квадратного сечения позволяет изменять частоты резонаторов в сторону понижения и, что не менее важно, нежелательные резонансы, возникающие при наличии наиболее распространенных дефектов, располагаются в этом случае вне «рабочего» частотного диапазона.

Более сложной задачей является при помощи математического моделирования определить изменение пьезопараметров устройства в

диапазоне температур. Однако, зная зависимость изменения величины относительной диэлектрической проницаемости

от температуры

синтеза пьезокерамического материала можно провести моделирование

зависимости частоты от

Моделирование производилось с использованием пакета программного комплекса конечно-элементного расчёта SAMCEF Field - OOFELIE (внедрённом на предприятии АО «НИИ «Элпа»), позволяющего решать структурные и мультифизические задачи путём линейного и нелинейного анализа, который включает функции CAD системы, наглядного представления данных, построение конечно-элементной модели для элементов первого и второго порядка и последующую обработку полученных результатов. Для решения задач по расчётам

процессов в пьезоэлектриках и устройств на их основе, задаются следующие параметры, определяющие материал:

- Модуль Юнга - коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации.

- Коэффициент Пуассона - отношение поперечной деформации к продольной у образцов, нагруженных вдоль оси.

- Плотность (в задачах по механике всегда считается постоянной величиной).

- Теплопроводность.

- Коэффициент теплового расширения.

К методам, реализуемым при решении задач механики сплошных сред относят: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объёмов, метод граничных элементов. Для расчёта пьезокерамических элементов используется метод конечных элементов (рис. 3.5).

Рис.3.5. Метод конечных элементов, реализуемый в программе OOFELIE

Метод конечных элементов позволяет получить аппроксимацию исследуемого тела некоторой моделью, которая представляет собой совокупность элементов с конечным числом степеней свободы. Эти 75

элементы взаимосвязаны только в узловых точках, куда прикладываются фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов. Параметры приведенной идеализированной системы определяются исходя из соответствующих вариационных решений.

Для разбиения балочного биморфного элемента для датчиков угловых скоростей использовались квадратичные конечные элементы, так как квадратичное разбиение имеет промежуточные узлы на серединах ребер. Разбиение более чем на 2000 конечных элементов приводит к неоправданному увеличению времени расчета, а при разбиении менее чем на 1000 элементов не позволяет произвести расчёт более точно.

Граничными условиями для балочного элемента являются параметры пьезокерамики:

При подачи возбуждающего сигнала, программа позволяет в интерактивном режиме наблюдать колебания элемента и определить рабочие частоты датчика (рис.3.6).

Рис.3.6. Пример модели балочного элемента:

а) - колебание по оси Y

б) - колебание по оси X

в) - колебание отсутствует

Исходя из известных положений [4], целью проводимой работы было получение образцов пьезоэлементов с оптимальными значениями резонансного промежутка, при приемлемом значении диэлектрической проницаемости.

Для расчёта оптимальных характеристик пьезокерамических элементов для устройств частотной селекции была построена конечноэлементная модель параметров, для двух разных габаритных размеров пьезоэлементов:

1) 4,0?4,0?0,55 мм, электрод - металлизация частичная 2,0?2,0 мм (рис. 3.7),

2) 4,0?4,0?0,3 мм, электрод - металлизация сплошная 4,0?4,0 мм (рис.3.8),

и заданы упругие константы керамики ЦТС-40 [13, 19, 95], представленные в таблице 3.1. Результаты моделирования представлены на рис. 3.9 - 3.12.

Таблица 3.1 - Основные электрофизические ПКМ ЦТС-40

Рис.3.7. Колебания пьезоэлемента квадратного сечения с частичной металлизацией

Рис. 3.8. Колебания пьезоэлемента квадратного сечения с полной металлизацией

Рис. 3.9. Зависимость частоты колебаний от относительной диэлектрической проницаемости пьезоэлемента толщиной 0,55 мм

относительная диэлектрическая проницаемость, отн. ед.

Рис. 3.10. Зависимость частоты колебаний от относительной диэлектрической проницаемости пьезоэлемента толщиной 0,3 мм

В ходе проведенных экспериментов показано, что повышение температуры спекания от 1000 до 1200 ⁰C приводит к понижению относительной диэлектрической проницаемости ⅛∕ε₀, что, по всей видимости, обусловлено увеличением размера зерен с увеличением температуры спекания [105]. Таким образом, на основе зависимостей частоты резонанса и антирезонанса от относительной диэлектрической проницаемости (рис. 3.9, 3.10) можно сделать предположение, что при необходимости получения относительного частотного промежутка равного 30-32 кГц необходимо выбирать керамику с ⅛∕ε₀равной от 1000 до 1100, а промежутка равного 20 кГц - от 1200 до 1500.

Рис.3.11. АЧХ пьезоэлемента, толщина 0,55 мм

82

Рис.3.12. АЧХ пьезоэлемента, толщина 0,3 мм

Математический расчёт и эксперимент по влиянию температуры синтеза на параметры пьезоматериала позволяют предположить, что оптимальные для практического применения свойства пьезокерамического элемента должны иметь место при температуре спекания более 1200 ⁰C и выдержке при данной температуре 3-4,5 часа. При этом достигается значение

от 1200 до 1500.