8.6 Расчет защитной надбавки для периодических нетто-премий

Lk = vbw - vcw. (8.6.1)

Пусть

^ = Li + ...

Мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была Q Е (0,1), т.е.

P(S < 0) = Q. (8.6.3)

Перепишем (8.6.3) в виде

P (S^m <-ESL) = R, R = 1 - Q. (8.6.4)

V VD(S) - у/ШJ ' V ^ ;

Считая Li независимыми, гак и ранее находим -E(S)/\JD(S) = Xr, ИЛИ, что то же,

-(E (Li) + ... + E (LN ))/(D(Li) + ... + D(LN ))1/2 = XR. (8.6.5)

Здесь Xr - квантиль числа R.

Эта формула позволяет рассчитать защитную надбавку Рассмотрим произвольный дискретный договор пожизненного страхования (7.1). В этом случае

L = vK (x)+1 - pdx. (8.6.6)

Здесь премия pk — pn + pkS ¦ В простейшем случае защитная надбавка p(s полагается пропорционально нетто-премии p(n\ то ееть p(s — Op(n\ О > 0. Таким образом, полная (нагруженная) премия

p — (1 + 0)p(n). (8.6.7)

О

становке (8.6.7), (8.6.6), в (8.6.5), получается уравнение (для разных видов

О

Полное страхование жизни. В этом случае для одного договора приведенная к t — 0 стоимость выплаты Vb — vK(x)+15 приведенная стоимость потока нагруженных премий p Vc — p(1 - vK(x">+l)d-1. Следовательно, величина убытка на договоре

L — vK(x)+1 - p(1 - vK(x)+1)d-1 — vK(x)+1(1 + pd-1) - pd-1 —

— 7x(1+ pd-1) - pd-1. (8.6.8)

В силу соотношения ax — (1 - Ax)d-1 имеем

E(L) — (1 + pd-1)E(7x) - pd-1 — E(7x) + (E(7x) - 1)pd-1 —

— Ax + (Ax - 1)pd-1 — Ax - pax. Отсюда получаем, что

E(L) — Ax - pax, (8.6.9)

D(L) — (2Ax - A2x)(1+ pd-1)2. (8.6.10)

Так как в нашем случае p(n — Pxj а в силу (8.6.7), p — (1 + 0)Px} то из (8.6.9) и (8.6.5) следует, что

EL — Ax - (1 + 0)Px(x - О Ax. (8.6.11)

DL

1 + pd-1 — 1 + (1 + О) Pxd-1 —

— 1 + (1 + 0)Ax(1 - Ax)(1 - Ax)-1 — (1 + OAx)(1 - Ax) (8.6.12)

Обозначим через потери для не нагруженной премии, то есть для

p — Px

DL(0 — (2Ax - A2x)(1 - Ax)2. (8.6.13)

Из формул (8.6.10), (8.6.11) и (8.6.12) BbIT6K9j6T^ ЧТО

DL = (1 + ОAx)2 DL(°\ (8.6.14)

Воспользуемся формулами (8.6.5), (8.6.11) (8.6.14) для определения О. Пусть x(k) - возраст k-ro клиента. Обозначим

N N

х = ? DL<", м = ? A^DL?,

i=1 i=1

N N

v = E Ali)DLf\ в ^ Ax(i) (8.6.15)

i=1 i=1

Подставляя (8.6.11) (8.6.14) (с соответствующими индексами) в (8.6.5) и пользуясь (8.6.15), имеем

Ов (А + 2^О + vО2)-l/2 = xr. (8.6.16)

Отсюда легко находим

О = (д + (м2 - Av + Ав2x-2)1/^ (в2x-2 - v)-1. (8.6.17)