8.6 Метод крутого восхождения
Факторное планирование может успешно применяться только тогда, когда исследователь находится в оптимальной области. Рассмотренное выше факторное планирование, как правило, не позволяет определить рациональные технологические режимы изучаемого процесса.
Однако выбор преимущественных факторов и оценка их значимости по коэффициентам линейной регрессии позволяет спланировать следующие эксперименты для достижения оптимальной области кратчайшим путём.Кратчайшее расстояние до максимума (минимума) непрерывной однозначной функции отклика из любой точки определяется градиентом - прямой, перпендикулярной изолинии параметра оптимизации (рис. 8.2):
, (8.22)
где 
- частная производная функции отклика по i-му фактору; 
- единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства [5, 9, 11].
Оценками частных производных 
являются коэффициенты линейной регрессии bi, следовательно, для движения по градиенту необходимо менять факторы пропорционально их коэффициенту регрессии и в ту сторону, куда указывает знак коэффициента. Это изменение факторов называют шагом крутого восхождения. В большинстве случаев за шаг крутого восхождения каждого фактора можно принимать его коэффициент в модели, выраженный в единицах измерения фактора. Для этого вычисляется произведение коэффициентов на интервале варьирования biΔхi, и фактор с максимальным произведением принимается за базовый biБ. Для него выбирают шаг варьирования ΔхiБ. Пропорционально базовому определяют шаги и по другим факторам:
,
где 
- новый шаг варьирования для i-го фактора.
Шаговый процесс движения по поверхности отклика продолжается до тех пор, пока исследователь не попадёт в экстремальную область, где линейное приближение уже оказывается недостаточным. Момент перехода через экстремум будет сопровождаться ухудшением значения выходного параметра (параметра оптимизации). Таким образом определяется оптимальная область.
Базовый шаг варьирования определяется на основе тех же соображений, что и первоначальный интервал варьирования. На расчёт градиента b0 влияния не оказывает. Для качественных факторов на двух уровнях или фиксируется лучший уровень, или градиент реализуется дважды для каждого уровня отдельно. Незначительные факторы стабилизируются на любом уровне в интервале ± 1. Если нет специальных соображений, выбирают нулевой уровень. Если же, например, по экономическим соображениям целесообразно поддерживать нижний уровень, то выбирают его. В движении по градиенту эти факторы не участвуют.
Движение по градиенту возможно и в случае получения неадекватной модели. В эксперимент могут быть включены и некоторые факторы, коэффициенты при которых оказались незначимыми, но важные по технологическим соображениям, так как причины незначительности коэффициентов могут зависеть от неверного выбора интервалов варьирования.
Пример 8.2. Необходимо определить оптимальные условия флотации цинковой руды.
Факторы, их основные уровни и интервалы варьирования выбирали с учётом условий работы обогатительной фабрики. Изучали влияние шести факторов (х1 - продолжительность перемешивания с медным купоросом, мин; х2 - расход бутилового ксантогената, г/т; х3 - расход медного купороса, г/т; х4 - продолжительность аэрации, мин; х5 - продолжительность флотации, мин; х6 - расход дитиофосфата, г/т) на индекс селективности - параметр у:
, (8.23)
где 
- извлечение полезного компонента в концентрат, доли ед.; 
- содержание металла в исходном продукте и концентрате, доли ед.; 
- выход концентрата, доли ед.; 
- извлечение породного компонента в концентрат, доли ед.
.
Использована 1/4 реплики от факторного эксперимента 26-2, реализовано 16 опытов.
По данным результатов ДФЭ (табл. 8.4) получены оценки коэффициентов регрессии для выбранного параметра оптимизации у. Статистический анализ полученного уравнения регрессии показал, что оно адекватно с надёжностью 95%.
Таблица 8.4 - Результаты проведения ДФЭ
| Фактор |  1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Основной уровень | 3 | 15 | 50 | 7,5 | 8 | 10 |
| Шаг варьирования | – | 10 | – 4 | – 1 | 1 | 3,5 |
| Интервал варьирования | 2 | 10 | 15 | 7,5 | 2 | 6 |
| Коэффициент регрессии | 0,3 | 0,768 | – 0,196 | – 0,197 | 0,31 | 0,44 |
Последовательность применения метода крутого восхождения поясняется табл. 8.5.
Таблица 8.5 - Результаты, полученные при оптимизации цинковой флотации методом крутого восхождения
| № опыта | Факторы | Индекс селективности | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 2 3 4 5 6 | 5 5 5 5 5 5 | 25 35 45 55 65 75 | 46 42 38 34 30 26 | 6,5 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5 | 9 10 11 12 13 14 | 13,5 17,0 20,5 24,0 27,5 31,0 | – 14,86 16,43 17,65 15,83 14,36 |
За базовый принят фактор х2, так как произведение коэффициента b2 на интервал его варьирования (Δх2 = 10) ровно 7,68, то есть максимально.
Фактор х1 в расчётах не учитывается и его уровень зафиксирован:
. Реализация экспериментов в точках 3 - 5 метода крутого восхождения позволила существенно улучшить процесс: достичь индекса селективности 17,65. Таким образом, методом крутого восхождения были определены оптимальные условия процесса флотации цинковой руды: расходы бутилового ксантогената, медного купороса и дитиофосфата - соответственно 55, 34 и 24 г/т; продолжительность аэрации, флотации и перемешивания с медным купоросом - соответственно 3,5; 12 и 5 мин (незначимых фактор). Определение оптимальных условий флотации с учётом шести факторов потребовало постановки 22 опытов (16 опытов по ДФЭ 26-2 и 6 опытов крутого восхождения).