8.5.2 Дробный факторный эксперимент

При увеличении числа факторов число вариантов варьирования в ПФЭ растёт по показательному закону, например, для исследования 15 факторов с применением ПФЭ нужна постановка как минимум 2¹⁵ = 32768 опытов.

Реализовать столько экспериментов практически невозможно, в первую очередь из за значительных затрат времени и средств. Но если последние и найдутся, то за время проведения опытов состоятся неконтролируемые изменения сырья, оборудования и других факторов, в результате чего полученные результаты окажутся несопоставимыми. Кроме того, при проведении исследований во многих случаях достаточно получить только линейную аппроксимацию функции отклика без оценки некоторых факторов взаимодействия [5, 9, 11-13].

Уменьшить необходимое число опытов можно введением в план 2^п факторов в большем количестве, чем предполагается матрицей планирования, т.е. насыщением плана до числа опытов, кратного двум, например, для трёхфакторного плана нужно поставить четыре опыта (2²). Для сокращения числа опытов в матрицу планирования следует ввести дополнительные столбцы, характеризующие эффекты взаимодействия, которыми можно пренебречь. Например, для трёхфакторного плана нужно ввести фиктивный фактор х₃ и варьировать его как вектор-столбец х₁х₂. Таким образом, можно поставить четыре опыта вместо 2³ = 8.

Обычно планы дробного факторного эксперимента (ДФЭ) обозначают 2^п-р. Из множества п факторов отбирают р вспомогательных и п - р основных факторов, для которых строят полный факторный план. Этот план потом дополняют р столбцами, соответствующими оставшимся факторам.

Способ построения каждого из р столбцов определяется генераторами плана ДФЭ - произведениями основных факторов. В случае плана 2^n-p должно быть р генераторов.

В случае ДФЭ с планом 2^3-1 генератор может быть равен х₃ = х₁х₂.

Таблица 8.3 - Дробный факторный эксперимент для трёх независимых переменных (планирование типа 2^3-1)

Матрица ДФЭ представляет собой 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. реплику, в которой столбец одного из эффектов получают перемножением столбцов других эффектов.

При выборе дробных реплик необходимо определить и проанализировать с учётом априорной информации смешивание оценок коэффициентов модели. Для этого рассчитывают определяющий контраст ДФЭ. Поясним его на примере дробной реплики 2^3-1. Для произведения трёх столбцов матрицы выполняется соотношение х₁х₂х₃ = + 1 - это и есть определяющий контраст. Таким образом, контраст - это произведение левой и правой частей равенства, определяющего генераторы плана. Например, для плана 2^5-2 в качестве генераторов взяты соотношения х₄ = х₁х₃ и х₅ = х₁х₂х₃. Тогда определяющими контрастами являются 1 = х₁х₃х₄ и 1= х₁х₂х₃х₅.

Обобщающий контраст плана строится из определяющих контрастов и их произведений во всех возможных сочетаниях п = 2, 3, …, р. Перемножая контрасты и считая, что х² = 1, получим ещё один контраст х₂х₄х₅.

Умножая все составляющие обобщающего контраста на факторы и учитывая, что х² = 1, получаем правило смешивания коэффициентов:

;

;

;

;

;

;

,

то есть и т. д.

В зависимости от выбора генераторов получают дробные факторные планы с различной разрешающей способностью. Число элементов в контрасте определяет разрешающую способность плана.

Следует отдавать предпочтение дробным факторным планам с наибольшей разрешающей способностью - главным дробным факторным планам.

Для оценок коэффициентов и анализа моделей с использованием ДФЭ и ПФЭ применяют одни и те же формулы.