8.5.2 Дробный факторный эксперимент
При увеличении числа факторов число вариантов варьирования в ПФЭ растёт по показательному закону, например, для исследования 15 факторов с применением ПФЭ нужна постановка как минимум 215 = 32768 опытов.
Реализовать столько экспериментов практически невозможно, в первую очередь из за значительных затрат времени и средств. Но если последние и найдутся, то за время проведения опытов состоятся неконтролируемые изменения сырья, оборудования и других факторов, в результате чего полученные результаты окажутся несопоставимыми. Кроме того, при проведении исследований во многих случаях достаточно получить только линейную аппроксимацию функции отклика без оценки некоторых факторов взаимодействия [5, 9, 11-13].
Уменьшить необходимое число опытов можно введением в план 2п факторов в большем количестве, чем предполагается матрицей планирования, т.е. насыщением плана до числа опытов, кратного двум, например, для трёхфакторного плана нужно поставить четыре опыта (22). Для сокращения числа опытов в матрицу планирования следует ввести дополнительные столбцы, характеризующие эффекты взаимодействия, которыми можно пренебречь. Например, для трёхфакторного плана нужно ввести фиктивный фактор х3 и варьировать его как вектор-столбец х1х2. Таким образом, можно поставить четыре опыта вместо 23 = 8.
Обычно планы дробного факторного эксперимента (ДФЭ) обозначают 2п-р. Из множества п факторов отбирают р вспомогательных и п - р основных факторов, для которых строят полный факторный план. Этот план потом дополняют р столбцами, соответствующими оставшимся факторам.
Способ построения каждого из р столбцов определяется генераторами плана ДФЭ - произведениями основных факторов. В случае плана 2n-p должно быть р генераторов.
В случае ДФЭ с планом 23-1 генератор может быть равен х3 = х1х2.
Полученный план (табл. 8.3) является полурепликой (половиной) полного факторного плана. При этом все свойства полного факторного эксперимента сохранены.Таблица 8.3 - Дробный факторный эксперимент для трёх независимых переменных (планирование типа 23-1)
| № опыта | Факторы | Параметр оптимизации | ||
| х1 | х2 | х3 = х1х2 | У | |
| 1 | - | - | + | у1 |
| 2 | - | + | - | у2 |
| 3 | + | + | + | у3 |
| 4 | + | - | - | у4 |
Матрица ДФЭ представляет собой 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. реплику, в которой столбец одного из эффектов получают перемножением столбцов других эффектов.
При выборе дробных реплик необходимо определить и проанализировать с учётом априорной информации смешивание оценок коэффициентов модели. Для этого рассчитывают определяющий контраст ДФЭ. Поясним его на примере дробной реплики 23-1. Для произведения трёх столбцов матрицы выполняется соотношение х1х2х3 = + 1 - это и есть определяющий контраст. Таким образом, контраст - это произведение левой и правой частей равенства, определяющего генераторы плана. Например, для плана 25-2 в качестве генераторов взяты соотношения х4 = х1х3 и х5 = х1х2х3. Тогда определяющими контрастами являются 1 = х1х3х4 и 1= х1х2х3х5.
Обобщающий контраст плана строится из определяющих контрастов и их произведений во всех возможных сочетаниях п = 2, 3, …, р. Перемножая контрасты и считая, что х2 = 1, получим ещё один контраст х2х4х5.
Таким образом, обобщающий контраст равен х1х3х4 = х2х4х5 = х1х2х3х5.Умножая все составляющие обобщающего контраста на факторы и учитывая, что х2 = 1, получаем правило смешивания коэффициентов:
;
;
;
;
;
;
,
то есть 
и т. д.
В зависимости от выбора генераторов получают дробные факторные планы с различной разрешающей способностью. Число элементов в контрасте определяет разрешающую способность плана.
Следует отдавать предпочтение дробным факторным планам с наибольшей разрешающей способностью - главным дробным факторным планам.
Для оценок коэффициентов и анализа моделей с использованием ДФЭ и ПФЭ применяют одни и те же формулы.