7.1. Факторный анализ

Х1 Х2 Хп F1 ... Fm

I 1 1 1 1 1 I 1 1 1

I I I I I I I I I I X = ? alkFk + Ut

к=1

! I ! I I I I I I I

Рис. 7.1. Сжатие признакового пространства с применением факторного анализа

Факторы F построены так, чтобы наилучшим способом (с минимальной погрешностью) представить X. В этой модели «скрытые» переменные Fk называются общими факторами, а переменные Ul - специфическими факторами («специфический» - это лишь одно из значений используемого в англоязычной литературе слова unique, в отечественной литературе в качестве определения Ut встречаются также слова «характерный», «уникальный»). Значения atk называются факторными нагрузками.

Обычно (хотя и не всегда) предполагается, что Xt стандартизованы (CTt = 1, Xt = 0), а факторы F1, F2, ..., Fm независимы и не связаны со специфическими факторами Ut (существуют модели, выполненные в других предположениях). Предполагается также, что факторы Fl стандартизованы.

В этих условиях факторные нагрузки alk совпадают с коэффициентами корреляции между общими факторами и переменными Xt. Дисперсия Xt раскладывается на сумму квадратов факторных нагрузок и дисперсию специфического фактора:

2 2 2 2 2

Sxt = Ht + Sut , где Ht =Z atk .

l l k

22

Величина H l называется общностью, Sul - специфичностью. Другими

словами, общность представляет собой часть дисперсии переменных, объ-

ясненную факторами, специфичность - часть не объясненной факторами дисперсии.

В соответствии с постановкой задачи необходимо искать такие факторы, при которых суммарная общность максимальна, а специфичность - минимальна.