7.1.1. Метод главных компонент

Рис. 7.2. Главные компонент

Геометрически это выглядит следующим образом. Для построения первого фактора берется прямая, проходящая через центр координат и облако рассеяния данных. Объектам можно сопоставить расстояния их проекций на эту прямую до центра координат, причем для одной из половин прямой (по отношению к нулевой точке) можно взять эти расстояния с отрицательным знаком. Такое построение представляет собой новую переменную, которую мы назовем осью. При построении фактора отыскивается такая ось, чтобы ее дисперсия была максимальна. Это значит, что данной осью объясняется максимум дисперсии переменных. Найденная ось после нормировки используется в качестве первого фактора. Если облако данных вытянуто в виде эллипсоида (имеет форму «огурца»), фактор совпадет с направлением, в котором вытянуты объекты, и по нему (по проекциям) с наибольшей точностью можно предсказать значения исходных переменных.

Для поиска второго фактора опре-

деляется ось, перпендикулярная первому фактору, также объясняющая наибольшую часть дисперсии, не объясненную первой осью. После нормировки эта ось становится вторым фактором. Если данные представляют собой плоский эллипсоид («блин») в трехмерном пространстве, два первых фактора позволяют в точности описать эти данные.

Максимально возможное число главных компонент равно количеству переменных.

Обозначим Xk объясненную главной компонентой Fk часть суммарной дисперсии совокупности исходных факторов. По умолчанию в пакете предусмотрено продолжение построения факторов до тех пор, пока Хк >1. Напомним, что переменные стандартизованы, и поэтому нет смысла строить очередной фактор, если он объясняет часть дисперсии, меньшую, чем приходящаяся непосредственно на одну переменную. При этом следует учесть, что Х1 > Х2 > Х3, ... .

К сведению читателя заметим, что значения Xk являются также собственными значениями корреляционной матрицы Xl, поэтому в выдаче они будут помечены текстом EIGEN VALUE, что в переводе означает «собственные значения».

Заметим, что техника построения главных компонент расходится с теоретическими предположениями о факторах: имеется m + n независимых факторов (включая уникальные), полученных методом главных компонент в n-мерном пространстве, что невозможно.