<<
>>

2.5 Метод главных компонент.

Здесь мы должны выбрать такие комбинации показателей, которые имеют наибольшую изменчивость при переходе от объекта к объекту. Часто это действительно возможно. Например, при снятии мерки с клиента портной

снимает 11 показателей, тогда как при покупке готовой одежды мы довольствуемся двумя - тремя (размер, рост, полнота).

Формально: пусть X - р-мерый вектор, р - вектор его средних, Ь - р х p - ковариационная матрица, критерий оптимальности задан формулой

j Dz(j) 'q = j Dx(i) ^ max,

где Z = L(X — р), L — q х р-матрнца с ортогональными строками (подбирается из условия оптимальности).

Итак, первая главная компонента - такая центрированно - нормирован-

X

средн всех таких комбинаций, ..., k-я главная компонента - такая центрированно - нормированная комбинация, которая некоррелирована с к— 1 предыдущими главными компонентами и среди всех таких комбинаций обладает наибольшей дисперсией. Зачит, элементы матрицы L для первой главной компоненты подбираем из условий

< m „ или > . . ЬЛА/> —> max,

I V^//(1)\2 _ 1 3 г 3 г з '

/DE Zfaj

іЕоГ)2

что в матричной записи имеет вид

< Ь/(1), /(1) > —> max, Ц/1 II = 1,

1

и аналогичных условии для остальных компонент, откуда /(з) - j-й собственный вектор матрицы Ь, имеющий единичную длину, и дисперсия j-й главной компоненты равна собственному числу Аз-. Решение этой задачи возможно всегда, т.к. Ь - симметричная положительно определенная матрица. При этом, если все параметры измерены в единицах одного масштаба, то

Lq

л А'

А1 + ... + Ар

иначе параметры следует предварительно нормировать.

Рассмотрим числовой пример. По данным измерений в миллиметрах длины Ж1, ширины Х2 и высоты хз панциря 24 особей одного из видов черепах определена выборочная ковариационная матрица

451,39 271,17 168,70 Ь = | 271,17 171,73 103,29 168, 70 103, 29 66, 65

Для нахождения собственных чисел решаем кубическое характеристическое А1 = 680, 40, А2 = 6, 50 Аз = 2, 86.

собственные векторы:

0, 81 \ / —0, 55 \ / —0, 21

0, 50 I , /2 = | 0,83 I , /3 = | —0, 25 0,31 / \ 0,10 І \ 0.95

Отсюда при г = 1,2,3 получаем z(j) = < Zj, X >, ще X - вектор отклонений Xj от соответствующих средних значений.

Z

При этом

А — = 0, 9864,

А1 + А2 + Аз

т.е. более 98 процентов информации о всех трех размерах содержится в первой главной компоненте - а значит, ее и нужно использовать для классификации.

<< | >>
Источник: ОУНЮА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в психологии. 2001

Еще по теме 2.5 Метод главных компонент.:

- Акмеология - Введение в профессию - Возрастная психология - Гендерная психология - Девиантное поведение - Дифференциальная психология - История психологии - Клиническая психология - Конфликтология - Математические методы в психологии - Методы психологического исследования - Нейропсихология - Основы психологии - Педагогическая психология - Политическая психология - Практическая психология - Психогенетика - Психодиагностика - Психокоррекция - Психологическая помощь - Психологические тесты - Психологический портрет - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология девиантного поведения - Психология и педагогика - Психология общения - Психология рекламы - Психология труда - Психология управления - Психосоматика - Психотерапия - Психофизиология - Реабилитационная психология - Сексология - Семейная психология - Словари психологических терминов - Социальная психология - Специальная психология - Сравнительная психология, зоопсихология - Экономическая психология - Экспериментальная психология - Экстремальная психология - Этническая психология - Юридическая психология -