<<
>>

8.7 Симплексный метод планирования экспериментов

Симплексный метод планирования экспериментов по сравнению с методом крутого восхождения при анализе одного параметра оптимизации более громоздкий и менее точен [4, 5, 9, 11].

Сущность симплексного метода состоит в том, что первая серия экспериментов ставится так, чтобы точки, которые отвечают условиям проведения опытов, создавали правильный (регулярный) симплекс в многомерном пространстве.

Правильный симплекс - это множество п + 1 равноудалённых друг от друга точек в п-мерном пространстве. Для п = 2 это равносторонний треугольник, для п = 3 - тетраэдр и т.д.

Правильный симплекс с центром в начале координат в п-мерном пространстве задаётся матрицей:

–k –k2 … –kn – 1 –kn

R1 –k2 … –kn – 1 –kn

0 R2 … –kn – 1 –kn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8.25)

0 0 … kn – 1 –kn

0 0 … Rn – 1 –kn

0 0 … 0 Rn

где ; ; і = 1, 2, …, п.

В матрице каждая строка соответствует одному из опытов серии. В столбцах указаны кодированные значения факторов при единичной длине ребра симплекса. Например, для двухмерного пространства k1 = 0,5; R1 = 0,5; k2 = 0,2887; R2 = 0,4082. Вершины начального симплекса имеют такие координаты: (0,5; -0,2887); (0,5; -0,2887); (0; 0,4082). Перед проведением экспериментов необходимо выбрать интервал варьирования каждого фактора и принять его равным единице.

После построения исходного симплекса и проведения опытов результаты анализируют и выбирают вершину симплекса, в которой получено наименьшее значение целевой функции (при поиске максимума).

Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в точке, которая является зеркальным отражением точки с минимальным значением функции отклика относительно противоположной грани симплекса.

Для определения условий проведения опыта в отражённой точке используют формулу:

, (8.26)

где - координата новой точки; - координата точки, соответствующей худшему результату; - сумма координат всех точек симплекса, кроме худшей.

На рис. 8.6 иллюстрируется движение правильного симплекса к экстремуму поверхности отклика, представленной линиями равного значения критерия эффективности двухфакторного процесса (факторы Х1 и Х2).

Опыты, поставленные в вершинах симплекса 1, 2 и 3 показали, что худшим результатом оказался опыт 1. Следующий опыт ставится в вершине 4, которая является зеркальным отражением вершины 1 и создаёт с вершинами 1 и 2 новый симплекс. Далее сопоставляются опыты в вершинах 2, 3 и 4. Худший результат (вершина 2) заменяют новой - вершиной 5, где проводится следующий эксперимент и т.д. При достижении области оптимума размер симплекс уменьшают. Условие достижения оптимума следующее:

, (8.27)

где ε - заданная малая величина; ут - среднее значение отклика в вершинах симплекса.

Целесообразно в каждой вершине симплекса опыты повторить несколько раз и в дальнейшем учитывать математическое ожидание функции отклика.

К преимуществам последовательного симплексного метода относят достаточную простоту, высокую эффективность (повышается с увеличением числа параметров оптимизации), возможность применения в случае временного дрейфа характеристик объекта и совмещения изучения поверхности функции отклика с движением симплекса к экстремуму. Недостатки данного метода - в невозможности описания поверхности отклика (однако по данным, полученным в результате движения симплексов, можно построить уравнение регрессии) и в невозможности учёта качественных изменений факторов.

Несмотря на преимущества, метод часто характеризуется медленной сходимостью и сравнительно высокой погрешностью определения оптимальных значений факторов в области экстремума целевой функции, которые обусловлены, главным образом, субъективным выбором интервала изменения факторов, а также отражением симплекса без учета поведения целевой функции в исследуемой области.

Пример 8.3. Необходимо с применением симплекс-метода найти оптимальную область флотации угля (табл. 8.6).

Таблица 8.6 - Применение симплекс-метода для оптимизации флотации угля

опыта

симплекс Расход Извлечение ε, %
координаты вершина собиратель вспениватель
кодир.

ед.

г/т кодир.

ед.

г/т
1

2

3

4

5

6

7

8

9

АВС

АВС

АВС

АВС

А*ВС

А*ВС*

А*В*С*

А**В*С*

А**В*С**

А

В

С

А*

С*

В*

А**

С**

В**

– 0,5

0,0

– 0,5

0,0

1,5

1,5

2,0

2,0

2,5

900

1000

900

1000

1100

1100

1200

1200

1300

0,0

0,5

1,0

1,5

1,0

2,0

1,5

2,5

2,0

50

55

60

65

60

70

65

75

70

80

83

82

86

89

91

93

92

91

Двухмерность факторного пространства позволила показать на рис.

8.7 схему движения симплекса в процессе поиска. Факторами оптимизации х1 и х2 являлись расходы собирателя и вспенивателя, соответственно. В качестве целевой функции было принято извлечение горючей массы в концентрат ε. Интервалы изменения расхода собирателя и вспенивателя составляют, соответственно, 200 г/т и 10 г/т. Центр плана - х1 = 1000 г/т и х2 = 50 г/т.

После реализации экспериментов в точках А, В, С исходного симплекса, то есть при условиях, которые заданы координатами этих точек, очевидно, что худший технологический результат ε1 = 80% получен в точке А. На следующем шаге применена операция отображения координат точки А.

Координаты новой точки эксперимента А * рассчитывают по формуле (8.26):

; .

В следующем симплексе с вершинами А *, В, С худший результат в точке С. Для этого симплекса по той же формуле (8.26) определяют координаты точки С * (;). Таким же образом определяют и другие точки симплекс-метода.

Результат опыта в вершине А **: ε = 93. Продолжение исследования показывает, что приращения функции ε практически нет. Можно сделать вывод, что симплекс достиг экстремальной области. Продолжение поиска приводит к «вращения» симплекс. Принимаем координаты максимума:

расходы собирателя Х1 = 1200 г/т, расходы вспенивателя Х2 = 65 г/т, при этом извлечение составляет ε = 93%.

Если исследовать исходную модель на максимум, например, с помощью частных производных, то получим координаты экстремума, мало отличающиеся от найденных симплекс-методом. Некоторое расхождение в результатах связано с конечными размерами симплекс, но если принять его меньшим (уменьшить шаги варьирования), точность повысится.

<< | >>
Источник: В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский. Теория и техника физического эксперимента при обогащении полезных ископаемых: учебное пособие / В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский.– Донецк: ООО «Технопарк ДонГТУ «УНИТЕХ»,2016. – 205 с.: ил., табл.. 2016

Еще по теме 8.7 Симплексный метод планирования экспериментов: