8.7 Симплексный метод планирования экспериментов

Симплексный метод планирования экспериментов по сравнению с методом крутого восхождения при анализе одного параметра оптимизации более громоздкий и менее точен [4, 5, 9, 11].

Сущность симплексного метода состоит в том, что первая серия экспериментов ставится так, чтобы точки, которые отвечают условиям проведения опытов, создавали правильный (регулярный) симплекс в многомерном пространстве.

Правильный симплекс с центром в начале координат в п-мерном пространстве задаётся матрицей:

–k –k₂ … –k_{n – 1} –k_n

R₁ –k₂ … –k_{n – 1} –k_n

0 R₂ … –k_{n – 1} –k_n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8.25)

0 0 … k_{n – 1} –k_n

0 0 … R_{n – 1} –k_n

0 0 … 0 R_n

где ; ; і = 1, 2, …, п.

В матрице каждая строка соответствует одному из опытов серии. В столбцах указаны кодированные значения факторов при единичной длине ребра симплекса. Например, для двухмерного пространства k₁ = 0,5; R₁ = 0,5; k₂ = 0,2887; R₂ = 0,4082. Вершины начального симплекса имеют такие координаты: (0,5; -0,2887); (0,5; -0,2887); (0; 0,4082). Перед проведением экспериментов необходимо выбрать интервал варьирования каждого фактора и принять его равным единице.

Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в точке, которая является зеркальным отражением точки с минимальным значением функции отклика относительно противоположной грани симплекса.

Для определения условий проведения опыта в отражённой точке используют формулу:

, (8.26)

где - координата новой точки; - координата точки, соответствующей худшему результату; - сумма координат всех точек симплекса, кроме худшей.

На рис. 8.6 иллюстрируется движение правильного симплекса к экстремуму поверхности отклика, представленной линиями равного значения критерия эффективности двухфакторного процесса (факторы Х₁ и Х₂).

Опыты, поставленные в вершинах симплекса 1, 2 и 3 показали, что худшим результатом оказался опыт 1. Следующий опыт ставится в вершине 4, которая является зеркальным отражением вершины 1 и создаёт с вершинами 1 и 2 новый симплекс. Далее сопоставляются опыты в вершинах 2, 3 и 4. Худший результат (вершина 2) заменяют новой - вершиной 5, где проводится следующий эксперимент и т.д. При достижении области оптимума размер симплекс уменьшают. Условие достижения оптимума следующее:

, (8.27)

где ε - заданная малая величина; у_т - среднее значение отклика в вершинах симплекса.

Целесообразно в каждой вершине симплекса опыты повторить несколько раз и в дальнейшем учитывать математическое ожидание функции отклика.

К преимуществам последовательного симплексного метода относят достаточную простоту, высокую эффективность (повышается с увеличением числа параметров оптимизации), возможность применения в случае временного дрейфа характеристик объекта и совмещения изучения поверхности функции отклика с движением симплекса к экстремуму. Недостатки данного метода - в невозможности описания поверхности отклика (однако по данным, полученным в результате движения симплексов, можно построить уравнение регрессии) и в невозможности учёта качественных изменений факторов.

Несмотря на преимущества, метод часто характеризуется медленной сходимостью и сравнительно высокой погрешностью определения оптимальных значений факторов в области экстремума целевой функции, которые обусловлены, главным образом, субъективным выбором интервала изменения факторов, а также отражением симплекса без учета поведения целевой функции в исследуемой области.

Пример 8.3. Необходимо с применением симплекс-метода найти оптимальную область флотации угля (табл. 8.6).

Таблица 8.6 - Применение симплекс-метода для оптимизации флотации угля

Двухмерность факторного пространства позволила показать на рис.

После реализации экспериментов в точках А, В, С исходного симплекса, то есть при условиях, которые заданы координатами этих точек, очевидно, что худший технологический результат ε₁ = 80% получен в точке А. На следующем шаге применена операция отображения координат точки А.

Координаты новой точки эксперимента А * рассчитывают по формуле (8.26):

; .

В следующем симплексе с вершинами А *, В, С худший результат в точке С. Для этого симплекса по той же формуле (8.26) определяют координаты точки С * (;). Таким же образом определяют и другие точки симплекс-метода.

Результат опыта в вершине А **: ε = 93. Продолжение исследования показывает, что приращения функции ε практически нет. Можно сделать вывод, что симплекс достиг экстремальной области. Продолжение поиска приводит к «вращения» симплекс. Принимаем координаты максимума:

расходы собирателя Х₁ = 1200 г/т, расходы вспенивателя Х₂ = 65 г/т, при этом извлечение составляет ε = 93%.

Если исследовать исходную модель на максимум, например, с помощью частных производных, то получим координаты экстремума, мало отличающиеся от найденных симплекс-методом. Некоторое расхождение в результатах связано с конечными размерами симплекс, но если принять его меньшим (уменьшить шаги варьирования), точность повысится.