8.8 Ротатабельное центрально-композиционное планирование экспериментов
Для получения статистической модели при планировании эксперимента в области оптимальных значений параметров необходимо детально изучить функцию отклика [4, 5, 11]. С этой целью её обычно задают в виде полинома второй, а иногда и большей степени.
На основе полиномиальной модели можно решить различные задачи:- интерполяционные - прогнозирование значения функции отклика в середине исследуемого факторного пространства в любой его точке;
- экстраполяционные - прогнозирование функции отклика для точки, расположенной вне факторного пространства;
- оптимизационные - определение оптимальных значений параметров на основе максимизации или минимизации целевой функции.
Полиномиальная модель позволяет оценить степень влияния на функцию отклика различных факторов, минимизировать ресурсы и построить различные графики и диаграммы. Математическая модель почти стационарной области помогает образно представить и исследовать более точно экстремальную поверхность отклика. В большинстве случаев экстремальную область можно описать полиномами второго порядка.
Рассмотренное раннее факторное планирование типа ПФЭ 2n не позволяет оценить коэффициенты при квадратичных членах модели. Нужно использовать планирование типа 3n, но оно сложно и требует большого числа опытов. Для достижения этой цели существует несколько методов планирования экспериментов - ортогональное центрально-композиционное, ротатабельное центрально-композиционное и др. Последнее предпочтительнее, так как позволяет получить одинаковую точность модели во всех направлениях. В основе этих методов лежит факторное планирование типа ПФЭ 2n, матрица которого дополняется так называемыми «звёздными точками» (a) и нулевыми (центральными) точками. Метод позволяет получить модель в виде:
(8.28)
где b0 - свободный член, bi - коэффициенты при линейных членах, bij - коэффициенты при взаимодействиях, bii - коэффициенты при квадратичных членах модели, Хi - факторы.
Новый план экспериментов разбивается как бы на 2 части, первая из которых (ПФЭ) позволяет найти коэффициенты bo, bj и bji, вторая - при квадратичных членах.
Характеристика ротатабельного центрально-композиционного планирования приведена в табл. 8.7.
Таблица 8.7 - Характеристика ротатабельного центрально -композиционного планирования
| Число факторов | Число точек | a | |||
| ПФЭ | звёздных | центральных | общее | ||
| 2 | 4 | 4 | 5 | 13 | 1,414 |
| 3 | 8 | 6 | 6 | 20 | 1,682 |
| 4 | 16 | 8 | 7 | 31 | 2,000 |
| 5 | 32 | 10 | 10 | 52 | 2,378 |
Размер плеча звёздных точек рассчитывается по выражению:
a = 2n / 4, где n - число факторов.
Центральный ротатабельний композиционный план второго порядка для трёх факторов приведен в табл. 8.8.
Таблица 8.8 - Ротатабельный центрально-композиционный план для трёх факторов
| Матрица планирования | Матрица вычисления | |||||||||
| Х1 | Х2 | Х3 | Х12 | Х22 | Х32 | Х1Х2 | Х1Х3 | Х2Х3 | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| +1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| -1 | +1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | ||
| +1 | +1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | ||
| -1 | -1 | +1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | ||
| +1 | -1 | +1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | ||
| -1 | +1 | +1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| +1 | +1 | +1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| -1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| +1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | -1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | +1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | -1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | +1,682 | 0 | 0 | 2,828 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
В первой части матрицы представлен план ПФЭ 23, во второй - звёздные точки, а в третьей части - нулевые центральные точки. Расчёт коэффициентов модели производится по формулам:
(8.29)
(8.30)
(8.31)
(8.32)
где 
Регрессионный анализ модели осуществляется аналогично планированию ПФЭ 2n, но дисперсии коэффициентов модели рассчитываются по другим формулам:
; (8.33)
; 
; (8.34)
; 
; 
; (8.35)
(8.36)
; (8.37)
; (8.38)
.
Ротатабельное центрально-композиционное планирование экспериментов рационально использовать только при условии получения однородной дисперсии оценки целевой функции.