8.1 Традиционный и статистический методы планирования экспериментов
Существует два метода планирования эксперимента: классический (метод Зайделя-Гаусса) и статистический [5, 4, 11, 13].
При классическом методе поочерёдно меняется каждый фактор до определения частичного максимума при постоянном значении всех факторов.
Число опытов, необходимое для нахождения оптимальных условий процесса, зависит от числа факторов, взаимного влияния факторов и числа вариаций каждого из них. Минимальное число опытов будет соответствовать предположению, что взаимодействие факторов отсутствует, а максимальное число опытов будет соответствовать предположению, что оптимальное значение любого фактора будет существенно меняться в зависимости от взаимодействия всех остальных. Например, при четырёх факторах и пяти вариациях минимально необходимое число опытов будет 54 = 625.При исследовании сложных руд делают выборочную постановку отдельных серий опытов. При этом в большинстве случаев удаётся подобрать не оптимальный режим обогащения, а только некоторое приближение к нему. Постановка же полного эксперимента для учёта взаимодействия факторов, если и возможна, то мало полезна, потому что до окончания экспериментов результаты первых окажутся несопоставимы с результатами последних, так как происходят неконтролируемые изменения свойств исходных материалов, оборудования и т.д. Большинство результатов, полученных в таких громоздких экспериментах, не представляют интереса, так как нет необходимости знать зависимость параметра оптимизации в области, которая находится далеко от оптимальных условий исследуемого процесса.
Область применения классического метода ограничивается нахождение частных зависимостей между двумя-тремя параметрами. Эти зависимости представляют интерес, главным образом для теоретической интерпретации, особенно в случае наличия двух или нескольких экстремумов. В этом случае необходимо получить экспериментальные точки во всем диапазоне изменения параметра.
Если целью исследования является нахождение оптимальных условий процесса, классический метод оказывается неэффективным. Кроме того, сложные системы, например флотационные, часто вообще не допускают изменения одного фактора вследствие их внутренней взаимосвязи. Изменение одного фактора может служить причиной изменения других.
Методы статистического планирования экспериментов основаны на одновременной смене многих факторов, при этом планы экспериментов допускают такую следующую статистическую обработку данных, которая позволяет выделить влияние каждого отдельного фактора и их совокупности на изменение исходных параметров процесса. Метод статистического планирования можно применять при таких ограничивающих условиях:
- существует выходной параметр (функция цели) процесса, который количественно и однозначно определяет его эффективность (возможно при ограничениях, налагаемых на другие выходные параметры);
- функция отклика непрерывная, то есть при изменении значений факторов функция цели изменяется непрерывно;
- функция отклика имеет один экстремум, то есть существует одно оптимальное соотношение факторов, при котором функция цели имеет максимальное (минимальное) значение;
- известны все факторы, существенно влияющие на процесс, и эти факторы управляемые, то есть возможно изменять их значения по предварительно составленному плану;
- результаты экспериментов воспроизводимые: ошибка воспроизводимости существенно меньше изменения выходного параметра под влиянием заданного изменения значений факторов с учётом ошибки, вносимой точностью поддержания факторов на заданном уровне.
Экспериментально-статистические методы позволяют даже при низком уровне теоретических знаний о механизме процесса получить математическую модель, которая включает все существенные факторы независимо от их физического смысла. Эти методы позволяют при значительном сокращении количества опытов получить больше информации, чем при классическом методе. Статистика позволяет оценить надёжность полученных результатов рассчитать доверительные интервалы отдельных опытов, экстремальных точек и коэффициентов уравнений.
Предположим, что на процесс влияет только один фактор, тогда изменение параметра оптимизации у в зависимости от фактора х может быть представлено графически в виде кривой ab (рис. 8.1) и аналитически:
. (8.1)
 |
Такая функция называется функцией отклика, экстремуму которой соответствуют координаты хопт и уопт. При планировании первой серии опытов уровень фактора х0 называется нулевым уровнем; Δх - интервал варьирования xн, - нижний уровень (кодируется «-»), xв - верхний уровень (кодируется «+»). В результате первых двух опытов можно сделать вывод, что значение x необходимо увеличивать.
При двух факторах функция отклика графически может быть представлена как поверхность в трёхмерном пространстве или уравнением:
. (8.2)
На рис. 8.2 нанесены кривые равного значения параметра оптимизации для двух переменных Х1 и Х2.
 |
При классическом методе сначала исследователь фиксирует переменную Х1, движется из точки О в направлении переменной Х2 и определяет точку Р, соответствующую экстремальному значению параметра оптимизации. В точке Р фиксируется переменная Х2 и начинается движение в направлении оси Х1, что позволяет найти точку Q. Опять фиксируется Х1 и продолжается движение по Х2 и т.д. до достижения оптимума. Очевидно, что более эффективен план, по которому первоначально определяется направление Q, а детальное изучение поверхности отклика осуществляется в оптимальной области.
В случае большого числа факторов графическое представление функции невозможно, а аналитическое уравнение будет иметь вид:
. (8.3)
Эффективность планирования тем выше, чем больше факторов влияет на процесс.
Опыты должны быть рандомизированы, то есть они должны проводиться в последовательности, устанавливаемой с помощью таблицы случайных чисел, или любой другой процедурой, обеспечивающей случайный характер проведения опытов. Рандомизация позволяет нивелировать систематические (например, периодические) влияния неконтролируемых факторов.