Конъюнкция
Интуиционистская логика не принимает закона двойного отрицания, или снятия отрицания: -| -| А—>А.
Однако правило так называемого навешивания двойного отрицания (правила, по которому от формулы А можно переходить к формуле -|1 А) интуи- ционисты признают.Что касается законов тождества и противоречия, интуицио- нисты признают их в неограниченном смысле.
Таким образом, интуиционисты исследуют конструктивные объекты, т. е. те, существование которых считается доказанным только тогда, когда указывается способ их построения, конструирования10.
Аксиомы интуитивистской логики:
А^(В^А) A^(AVB)
[А^(В^С)]^[(А^В)^(А B^(AVB) -С)] (А^С)^[(В^С)^((А VB)
А^(В^(АЛВ)) С)]
(АЛВ) —>А (А—>-В)—>-[(А—В)—>(i А)]
(АЛВ) -^В (і А) —>-(А—>В)
А—п А
Такие формулы ими не принимаются:
АЛП А
ЦА-А
((А-В)^-,АЛВ)) -, (АЛВ) —A V-| В) (lA-B) -(-|В^А)
(і А^п В) -(В^А)
Советский логик А.Н. Колмогоров высоко оценивал позитивную сторону интуиционистской логики и говорил, что она упорядочивает и обобщает те приемы, которые употребляют математики любого направления, когда сводят решения одних конструктивных проблем к решению других. Кроме А. Колмогорова, с выводами интуиционистской логики соглашались В.А Гливенко и А.А. Марков. В результате переосмысления интуиционистской логики формируется конструктивная логика.
Против принципа двузначности логики выступает еще одно направление логики XX в., утверждающее необходимость многозначных систем, которые допускают утверждения неопределенного типа. Многозначным называют совокупность логических систем, которые базируются на принципе многозначности и применяют такие значения, как «неопределенно», «бессмысленно», «возможно» и т.
д. Кроме того, в зависимости от множества истинностных значений различают конечнозначные и бесконечнозначные логики.Многозначная логика - это совокупность логических исчислений (исчислений высказывания и предикатов), в которых высказываниям может приписываться более двух истинных значений.
Данное направление логики наряду с «А » и «не-А» допускает «неизвестно А или не-А» и соответственно три логических значения: истина, ложно, неизвестно. Отсюда закон исключенного третьего исключается и появляется закон исключенного четвертого: AV -| А V -,-, А.
Первая система трехзначной логики разрабатывается в 1920 г. польским логиком Яном Лукасевичем (1878-1956). В качестве третьего значения он вводит значение, выражаемое термином «возможно», или «нейтрально». В дальнейшем появляются трехзначные системы Д.А. Бочвара, который обозначил третье значение как «бессмыслицу», и система С. Клини, который в качестве обозначения третьего значения истинности предлагает слова: «неизвестно», «несущественно», «неизвестно, истинно или ложно».
Исчисления Клини-Бочвара советский логик В.А. Шестаков расширил до функционально полного трехзначного исчисления высказываний с помощью функции Вебба. Оно определяется сложной таблицей и особой символикой. В трехзначном исчислении Шестакова слабая дизъюнкция имеет следующие значения: она верна, когда верна Р, каково бы ни было О. или когда верна Q, каково бы ни было значение Р. Она ложна, если ложно Р и ложно Q. Она определена только в указанных случаях и не определена в остальных.