1.3 Разложение по представлениям аффинной группы

Идея непрерывного вейвлет-преобразования состоит в разложении любого вектора в гильбертовом пространстве Н, используя единственный вектор ф Є Ті, обычно называемый затравочным (fiducial), и представление аффинной группы, построенное с помощью затравочного вектора.

Рассмотрим действие изотропной аффинной группы на пространстве компле- кснозначных квадратично интегрируемых функций L2(Rd). Для простоты, мы рассматриваем изотропную аффинную группу, т.е. исключаем 50(сі)-вращения в евклидовом пространстве - в этом случае действие аффинной группы определяется двумя параметрами - параметром растяжения а и параметром сдвига Ь:

х' = ах + Ь. (1.8)

Жирным шрифтом мы обозначаем вектора в евклидовом пространстве Rd.

Аффинная группа (1.8), в отличие от группы трансляций, не является абе- левой группой, поскольку масштабные преобразования (растяжения и сжатия) не коммутируют со сдвигами. Групповой закон композиции для преобразований (1.8) имеет вид

д-д' = (а, Ь) • (а', Ъ') = (aaf, аЪ' + Ь). (1.9)

Используя единственный затравочный вектор ф, который мы, следуя общепринятой терминологии, далее будем называть базисным вейвлетом, можно определить унитарное представление группы G в L2'

и(аМФ(х)] = \аГЧ(^У (1-Ю)

Используя (1.9) легко проверить, что мера Хаара

является левоинвариантной мерой для всех аф0.

Подставляя выражения (1.10) и (1.11) в Теорему 1.1, мы сразу же получаем явную формулу непрерывного вейвлет-преобразования в пространстве L2(Rd)

Щ(а,ЬМ = J Н~Ч fWdx (1.12)

Дх) = (1-13)

Условие допустимости, накладываемое на базисный вейвлет ф, обеспечивающее существование обратного вейвлет-преобразования (1.13), может быть легко получено подстановкой Фурье-образа выражения (1.10) в условие допустимости (1.3):

r\mldaJ-00 lal

Для изотропных базисных вейвлетов ф

= {1Л5)

Фактор SJ1 появляется вследствие инвариантности относительно SO(d). Кроме того, для вещественных базисных вейвлетов ф(х) можно, используя симметрию относительно отражения, интегрировать лишь по области положительных частот Сц

ш2Г№Ъа. (U6)

Jо а В случае произвольного базисного вейвлета, непрерывное вейвлет-преобразование (1.12) не является вращательно инвариантным.

R-\d)-

(1.17)

х' = aR(9)x + b, фа,ъ,в (х) = a U где R(e) Є SO(d).

В случае вейвлет-преобразования общего вида (1.17), обратное преобразование включает интегрирование по единичной сфере в d-измерениях (интегрирование по SO(d)):

Дх) = С;1 J ФамШ^ЬМ^ЛМг (1.18)

\?ф(а,ъ,в)[1] = У^а,ь,б(х)/(х)^, (1.19)

с* = 00. (1.20)

Левоинвариантная мера Хаара на группе вращений SO(d) обычно записывается в терминах углов Эйлера

ф(0) = 2тгД Гзіпк6^вк. (1.21)

k=iJo

За исключением того, что группа сдвигов, лежащая в основе преобразования Фурье, является коммутативной, а аффинная группа (1.8), на которой основано

вейвлет-преобразование некоммутативна, построение вейвлет и Фурье преобразований полностью идентично. Пожалуй единственной качественной особенностью построения вейвлет-преобразования является свобода выбора базисной функции ф, материнского вейвлета, тип которого не связан с самой группой Ли. Такая свобода выбора требует от пользователя самостоятельного выбора "апертуры ми-кроскопа", который он намеревается использовать для анализа интересующих его полей и сигналов. Общих рецептов для выбора материнского вейвлета не существует, однако есть наиболее популярные типы функций, используемые для определенных задач. Конкретный выбор этих функций будет рассмотрен далее в связи с конкретными физическими задачами.