1.2 Некоторые сведения из теории групп

Математической основой непрерывного вейвлет-преобразования является теория представлений групп Ли. Основы теории групп Ли и их представлений могут быть найдены в любом стандартном учебнике [171, 92, 223].

Множество G с бинарной ассоциативной операцией • (умножением) называется группой если:

произведение любых двух элементов из G принадлежит G

Vg,g'eG:g-g'ЈG-,

в G существует единичный элемент е Є G, такой что

Уд eG: д-е = е- д = д;

для любого элемента Уд Є G, существует обратный элемент д~1 Є G, такой что

9' 9~l = 9'1' 9 = е.

Группа, которая также является дифференцируемым многообразием называется группой Ли. Непрерывные группы, рассматриваемые в данной работе являются локально-компактными сепарабельными пространствами.

Говорят, что группа G действует транзитивно в гильбертовом пространстве Н, если каждый вектор гр Є Н под действием этой группы отображается в Н: д : тр —> і// є Н. Отображение элементов группы д Є G в пространство унитарных операторов U(Н) называется представлением группы G в гильбертовом пространстве Н если:

U(gg') = U(g)U(g'), Vg,g'eG-,

U(e) = І.

Иными словами, представление группы есть такое отображение элементов группы в операторы, которое сохраняет структуру групповой операции.

Если группа Ли является также измеримым пространством, мы можем интегрировать по многообразию G используя левоинвариантную с1ць(дод) = dfxi(g), или правоинвариантную й[іц(ддо) = йу,ц{д), меру Хаара, соответственно.

18 Фундаментальный результат, позволяющий строить разложение произвольного вектора v Є Н в гильбертовом пространстве по представлениям группы Ли, формулируется в виде следующей теоремы [44, 55].

Теорема 1.1 Пусть U - квадратично интегрируемое унитарное представление сепарабельной локально-компактной группы G действующей в гильбертовом пространстве Ті, пусть d/i^g) - левоинвариантная мера Хаара на группе G; пусть ijj Є Н - допустимый вектор, т.е.

Сф = Шіа1{,ф'и{дШЧі1і{9) < 00 (L3)

(подразумевается || • || - Ь2-норма для векторов гильбертова пространства,

11/Цр = {/ \f(x)\pdx}p). Тогда, для всех v Є Н справедливо следующее разложение (подразумевается слабая сходимость интегралов):

v = С;1 [ (v, U{g)i})V{g)^dliL{g). (1.4)

Jg

Наиболее известным применением этой теоремы является разложение волновой функции по плоскими волнам, используемое в квантовой механике (смотри, например , [157, 218]):

і ф)=J \k)dm. (1.5)

Разложение (1.5), как это непосредственно видно в координатном представлении

(х\ф) = J (x\k)^m = J ехр (-.fcr)^(k),

представляет собой разложение по представлениям группы трансляций

х —> х + Ь, ехр(—гкх) —> ехр(—гкх) ехр(гкЬ).

Вопрос о том, что произойдет, если вместо группы трансляций использовать группу аффиннных преобразований

х' = ах + Ъ (1.6)

ставился различными авторами достаточно давно [30]. После многолетних усилий, это привело к созданию блестящего математического инструмента, который теперь принято называть непрерывным вейвлет-преобразованием (CWT). Наиболее существенный вклад в теорию непрерывного вейвлет-преобразования был внесен французскими математиками Морле, Гроссманом и Добеши [75, 79, 50].

Далее в данной работе мы используем стандартные ди- раковские обозначения, применяемые в квантовой механике:

ф ЄТІ —>\ф) векторы в гильбертовом пространстве

(ket-векторы)

ift —> (ф\ сопряженные им (bra-) векторы

(a,U(g)b) —> (a\U(g)\b) матричный элемент оператора

в гильбертовом пространстве (а\Ь) = (Ь\а) скалярное произведение

Используя дираковские обозначения, легко переписать разложение вектора в гильбертовом пространстве на языке квантовой механики. Действуя таким образом, мы немедленно приходим к известному в квантовой механике разложению единицы

И = [ ит)^-(Ф\иЧд)\у),

Jg w

или в операторной форме

1 = / U(gm^MW(9). (1.7)

Jg w