2 Необходимые сведения из теории вероятностей

Тогда на совокупности Е всех подмножеств множества Q определена неотрицательная функция P(A), A Е Е, причем соотношение P(UAi) = Ei P (Ai), Ai П Aj = 0 выполняется для любой (конечной или, счетной) совокупности попарно пересекающихся множеств. При этом P(Q) = 1,

P (0) = 0.

Определение 2.1. Тройка (Q, E,P) называется вероятностным пространством. Элементы w множества Q называются элементарными событиями, подмножества A из Q, принадлежащие Е, называют случайными событиями, а число P(A) для A Е Е называется вероятностью A

Определение 2.2. Пусть A, D Е Е. Условной вероятностью P(A/D) события A при условном наступлении события D называется число

P(A/D) = P(AD)/P(D).

В нашем случае справедливо назвать случайной величиной прозвольную X(w) Q

X

если она принимает не более чем счетное число значений x1,x2,... xn,....

Очевидно, что нашем случае любая случайная величина является дискретной.

Определение 2.4. Таблица вида

Xi Х2 "' Xn "' (2.0.2) Pi P2 ... Pn ...

называется распределением случайной величины X. Здесь pk = P(w : X (w) = Xk).

Определение 2.5. Функцией распределения F(t) случайной величины X (w) называется определенная при t Е Я1 функция

F(t) = P{w : X(w) < t}. (2.0.3)

Отметим основные свойства функции распределения: 1.0 < F(t) < 1;

F (t) непрерывна справа, то есть lim F (t) = F (to) для любо го to Е R1, lim F(t) = 1 lim F(t) = 0;

F (^неубывающая no t функция.

Функция распределения F (t) для дискретной случайной величины X будет кусочно-постоянной, имеющей скачки величиной pk в точках t = Xk-

Для случайной величины X(w) очень важным являются следующие характеристики, характеризующие ее в среднем. Это математическое ожидание - ее среднее значение на Q и дисперсия - среднее отклонение X(w) от

X

следующие формулы:

E(X) = J2 XiPi, (2.0.4)

i=i

' rp .

I Л),

i=i

D(X) = - E(X))2p, (2.0.5)

2

D(X) = YJ(xifpi - ^ xipA . (2.0.6)

i=i \i=i /