9.3.1. Ошибки определения координат с помощью приборов

Ошибки определения координат полярным способом зависят от ошибок определения положения исходной точки, а также от ошибок измерения угла и расстояния.

Круговую срединную ошибку определения координат полярным способом можно определить по формуле

, (9.25)

где – круговая срединная ошибка в координатах исходной точки,

зависящая от вида используемой исходной основы;

– круговая срединная ошибка определения приращений координат

привязываемой точки относительно исходной.

Выражение для вычисления круговой срединной ошибки определения приращений координат можно представить в виде

, (9.26)

где – срединная ошибка измерения расстояния между привязываемой и

исходной точками (см. 9.1.3);

– срединная ошибка определения дирекционного угла исходного

ориентирного направления, зависящая от применяемого способа

ориентирования (см. 9.2);

– срединная ошибка измерения угла между исходным

направлением и направлением на исходную точку (см. 9.1.1);

Д – расстояние между привязываемой и исходной точками;

– значение одного радиана (3438΄ или 10-00).

В качестве примера подсчитаем круговую срединную ошибку определения координат точки полярным способом относительно контурной точки специальной карты (= 10 м), если полевые работы выполнялись с помощью буссоли, а измеренное расстояния равно 300 м .

Подставляя исходные данные в формулу (9.26), получаем круговую срединную ошибку определения приращений координат, равную примерно 1,6 м.

Суммарная круговая срединная ошибка определения координат привязываемой точки, вычисленная по формуле (9.25), составит примерно 10,1 м.

Из решенного примера следует, что при привязке полярным способом по карте даже крупного масштаба (1:25000) ошибки в координатах привязываемых точек практически определяются ошибками положения контурных точек и местных предметов на карте (0,4 мм в масштабе карты).

Ход представляет собой многократное последовательное применение полярного способа. Поэтому суммарная круговая срединная ошибка определения координат ходом вычисляется так же, как и полярным способом, по формуле (9.25). Но формулы для вычисления ошибок определения приращений координат ходом существенно видоизменяются по сравнению с аналогичными формулами для полярного способа.

Круговая срединная ошибка определения приращений координат при привязке ходом вычисляется по формуле

, (9.27)

где – суммарная срединная ошибка продольного смещения конечной

точки хода, обусловленная ошибками измерения длин сторон;

– суммарная срединная ошибка поперечного смещения конечной

точки хода, обусловленная ошибками измерения углов;

n – число всех измеренных углов и сторон;

– срединная ошибка измерения длины одной стороны хода;

– срединная ошибка измерения одного угла поворота;

– срединная ошибка в дирекционном угле начального

направления;

Рх – периметр хода.

Вычисленная по зависимости (9.27) срединная ошибка определения приращений координат при привязке на геодезической основе ходом протяженностью 10 км при средней длины стороны хода 300 м (следовательно n = 33) в среднем примерно равна 3,7 м.

Как известно, при привязке разомкнутым и замкнутым ходами проводится контроль, который осуществляется сравнением реального расхождения вычисленных и заданных координат конечной точки с допустимыми значениями.

Если привязка разомкнутым или замкнутым ходом производится на геодезической основе, то величина расхождения в координатах контрольной точки будет зависеть главным образом от ошибок определения приращений координат. Ошибки определения приращения координат практически пропорциональны протяженности (периметру) хода. Поэтому допустимое значение расхождения задают не в абсолютных, а в относительных единицах, как отношение абсолютной линейной невязки к периметру хода.

Как было показано на примере, срединная ошибка определения приращений координат ходом при периметре хода 10 км составляет 3,7 м. Переходя к относительным ошибкам, можно установить, что такой абсолютной срединной ошибке соответствует относительная ошибка: .

Допуск на расхождения в координатах контрольной точки устанавливают равным четырем срединным относительным ошибкам: .

При привязке ходом по карте значение абсолютной невязки в значительной степени зависит от ошибок в координатах начальной и коннечной точек. Срединное отклонение рассматриваемой невязки может быть вычислено по формуле

, (9.28)

где и – круговые срединные ошибки в определении координат

начальной и конечной точек, зависящие от масштаба

топографических карт, используемых для привязки

(равны 0,4 мм в масштабе карты);

– круговая срединная ошибка определения приращений

координат конечной точки относительно начальной.

Срединная ошибка определения приращений координат, вычисляемая по формуле (9.27), зависит от вида средств, используемых для измерения расстояний и углов, а также от способа определения дирекционного угла исходного ориентирного направления. Наиболее характерным вариантом привязки ходом по карте является такой, при котором дирекционный угол исходного ориентирного направления определялся с помощью магнитной стрелки буссоли (= 0-04), а расстояния измеряются по дальномерной рейке буссоли (). Среднюю длину стороны хода можно принять равной 300 м. Абсолютная срединная ошибка измерения длины одной стороны хода при этом условии будет составлять 2 м.

С учетом исходных данных вычислены круговые срединные ошибки определения приращений координат при привязке по карте ходом различной протяженности (с периметром 3, 5 и 10 км), которые примерно равны:

для хода с периметром 3 км (число сторон хода n = 10) – 10 м;

для хода с периметром 5 км (число сторон хода n = 16) – 15 м;

для хода с периметром 10 км (число сторон хода n = 33) – 29 м.

Срединные отклонения разности координат контрольной точки, вычисленные по формуле (9.28) для карт различных масштабов и разных периметров хода, приведены в таблице 9.4 (третья колонка).

Таблица 9.4 – Срединные отклонения и допустимые расхождения при определении координат разомкнутым ходом по карте

Исходная основа	Периметр хода, км	Значение расхождения в срединных отклонениях , м		Установленный допуск, м
		1	2
Специальная карта (координаты определены по карте масштаба 1:25 000) Карта 1:50 000 Карта 1:100 000	3 5 10 3 5 10 3 5 10	17 21 33 30 32 41 57 59 64	34 42 66 60 64 82 114 118 128	35 40 70 45 50 80 110 120 130

Как уже отмечалось, задача определения допустимого расхождения даже при известном срединном отклонении не имеет строгого теоретического решения.

Применительно к контролю определения координат при привязке с помощью приборов по карте этот допуск устанавливается равным двум срединным отклонениям (2).

Вероятность того, что при многократном проведении контроля привязки расхождение в координатах не будет превышать установленного допуска, составляет примерно 82% (в полосе шириной от -2до +2).

Назначение более жесткого допуска (два, а не три срединных отклонения) сделано в целях стимулирования строгой и качественной работы личного состава, связанной как с проведением полевых измерений и вычислений, так и с определением координат начальных и контрольных точек по карте.

Допуск на расхождение в координатах контрольной точки при привязке разомкнутым ходом, установленный существующими руководствами, получен путем округления величин, соответствующих двум срединным отклонениям.

Ошибки в координатах точки, привязываемой обратной засечкой, являются следствием ошибок измерения углов и ошибок в определении координат исходных точек.

Суммарная круговая срединная ошибка определения координат привязываемой точки обратной засечкой двух исходных точек вычисляется по формуле

= , (9.29)

где – круговая срединная ошибка определения координат привязываемой

точки, обусловленная ошибкой измерения угла засечки;

– круговая срединная ошибка определения координат привязываемой

точки, обусловленная ошибкой в определении координат исходных

точек;

– срединная ошибка измерения угла засечки;

γ – величина угла засечки;

– круговая срединная ошибка определения координат одной

исходной точки;

Б – расстояние между исходными точками.

Если координаты привязываемой точки определяются обратной засечкой с трех пунктов, то есть. из двух треугольников, а затем усредняются, то с некоторым допущением можно полагать, что ошибки в координатах привязываемой точки уменьшатся в раз по сравнению с ошибками, вычисленными по формуле (9.29).

В качестве примеров рассчитаны круговые срединные ошибки определения координат обратной засечкой для условий привязки на геодезической основе и по карте масштаба 1:50000.

Для расчета принято:

= 2 м при привязке на геодезической основе и = 20 м – при привязке по карте;

= 0,2΄ для теодолита и = 0-00,3 – для буссоли;

расстояния между пунктами геодезической сети равно 3 км, а между контурными точками карты – 1 км.

Результаты расчета срединных ошибок сведены в таблицу 9.5.

Таблица 9.5 – Срединные ошибки определения координат привязываемых точек обратной засечкой, м

П р и м е ч а н и е. В числителе – при засечке с двух, в знаменателе – при засечке с трех исходных точек.

Анализируя данные, приведенные в таблице 9.5 можно установить, что основное влияние на точность определения координат обратной засечкой оказывают ошибки в координатах исходных точек и угол засечки. Ошибки измерения углов влияют на точность привязки только при использовании в качестве исходных точек пунктов геодезической сети, да и то лишь при малых углах засечки.

Из таблицы следует также, что для привязки на геодезической основе засечкой по трем точкам со срединной ошибкой, не превышающей 5 м, угол засечки должен быть не менее 30˚. Допуск на расхождение в координатах привязываемой точки, получаемых из решения двух треугольников, установлен равным четырем срединным ошибкам (для минимального угла засечки 30˚), то есть 20 м – для теодолита и 25 м – для буссоли.

Особенность обратной засечки по измеренным углам заключается в проведении контроля сравниванием дважды вычисленных значений дирекционных углов направления с привязываемой точки на четвертую исходную.

Расхождение в этих дирекционных углах зависит от ошибок в координатах привязываемой и исходной точек и расстояния между ними. Для определения расхождений может быть использована формула

, (9.30)

где – смещение привязываемой точки относительно исходной по

перпендикуляру к направлению на исходную точку;

Дкм – удаление исходной точки от привязываемой в км.

Для конкретного решения задачи, связанной с определением допустимого расхождения в дирекционных углах, необходимо установить предельно допустимое смещение . Срединное отклонение, характеризующее рассматриваемое смещение, может быть вычислено по формуле

, (9.31)

где и – круговые срединные ошибки определения координат

привязываемой и контрольной точек.

Для пунктов геодезической сети не превышает 2 м. Для привязываемых точек величина в значительной степени зависит от угла засечки. Это угол при правильной организации работ по привязке должен быть не менее 30 или не более 150˚. Значение можно взять из таблицы 9.5 для угла засечки 60˚ (среднее значение между 30 и 90˚). Для такого угла засечки =2,0…2,2 м. Подставляя соответствующие значения в формулу (9.31), получаем 2,9 м.

Предельное значение смещения привязываемой точки относительно исходной и в данном случае принимается равным трем срединным отклонениям, то есть. 8,7 м. Подставляя = 8,7 м в формулу (9.30), находим

.

Существующими руководствами рекомендовано определять допустимое расхождение по аналогичной формуле, но при числителе равном 24΄.