5.2 Вопросы и упражнения при подготовке к экзамену

1. По уравнению физического сплайна Эйлера–Бернулли написать его математическое уравнение в виде кубического полинома.

2. Перечислить достоинства и недостатки кубических сплайнов.

3. Дать теоретическое обоснование вывода уравнения одного кубического параметрического сегмента сплайна, проходящего через заданные две точки.

4. Выполнить вывод уравнения сегмента эрмитовой кривой в матричном виде.

5. Выполнить компьютерную реализацию сегмента эрмитовой кривой с применением любого программного обеспечения (ПО).

6. Дать анализ применимости для интерполяции построенного семейства сегментов эрмитовой кривой по одним и тем же двум точкам, не меняя направления касательных в них, а только величину векторов.

7. Дать геометрическое обоснование моделирования сплайна эрмитовой кривой, проходящей через заданные точки .

8. Какое граничное условие необходимо в точках соединения сегментов эрмитовой кривой?

9. Дать алгоритм построения сплайна эрмитовой кривой, проходящей через заданные точки .

10. Реализовать алгоритм п. 9 в произвольном ПО.

11. Перечислить и охарактеризовать виды граничных концевых условий при моделировании сплайнов кривыми Эрмита.

12. Построить в произвольном ПО замкнутые сплайны эрмитовых кривых с циклическим и ациклическим граничными концевыми условиями, сравнить их.

13. В чем выражается основная идея параболической интерполяции, каковы ее достоинства?

14. Раскрыть геометрическую сущность моделирования сегмента кривой Безье и принцип управления ее формой и порядком.

15. Перечислить свойства кривой Безье, привести примеры.

16. Какое из приведенных ниже двух уравнений, соответствует уравнению кривой Эрмита и кривой Безье? Какой порядок этих кривых?

,

.

17. Построить сегмент кривой Безье третьего порядка максимально соответствующей кривой Эрмита.

18. Можно ли построить замкнутый сегмент кривой Безье и кривой Эрмита?

19. Раскрыть основную идею моделирования сплайна кривой Безье.

20. Какой смысл заложен, в свойстве глобальности сплайна кривой Безье и почему?

21. Выполнить необходимые действия для перехода от матричного представления кривой Безье

к ее параметрическому заданию

, .

22. Относительно каких преобразований инвариантна кривая Безье и в чем геометрическая сущность построений? Приведите примеры.

23. В чем заключается основная идея алгоритма де Кастелье? Дать вывод определения точки разбиения.

24. Объяснить, почему В-сплайны неглобальны?

25. Объяснить понятие и назначение узлового вектора, необходимого для моделирования В-сплайна.

26. Определить количество узловых значений , минимальное и максимальное значения параметра, порядок кривой , число вершин характеристического многоугольника для каждого непериодического узлового вектора непериодического однородного В-сплайна:

а) ;

б) ;

в) .

27. Сформировать для непериодического однородного В-сплайна узловой вектор по следующим исходным данным: – заданные точки; – порядок кривой.

28. По данным п. 27 определить функции сопряжения и записать уравнение В-сплайна в матричной форме.

29. По данным п.п. 27, 28 составить алгоритм и выполнить визуализацию В-сплайна.

30. Сформировать узловой вектор объединенных двух непериодических однородных В-сплайнов третьего порядка с заданными точками и , где .

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)