<<
>>

Перечень вопросов к экзамену на первом курсе

1. Формулировка основной теоремы алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

2. Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств.

Непрерывные отображения метрических пространств.

3. Сходимость в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Полные пространства. Понятие о принципе сжатых отображений.

4. Определение и примеры топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Понятие о компактности.

5. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы.

6. Предел функции в точке, односторонние пределы. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства. Основные теоремы о пределах.

7. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

8. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность суммы, произведения, частного и суперпозиции непрерывных функций.

9. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

10. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточного значения.

11. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, произведения и частного.

12. (6.1.3.) Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

13. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применения дифференциала к приближенным вычислениям.

14. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

15. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

16. Многочлен и формула Тейлора. Представление функций по формуле Тейлора.

17. Монотонные функции. Теоремы о возрастании и убывании функции на интервале.

18. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

19. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

20. Асимптоты кривых: вертикальные и наклонные.

21. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и физический смысл.

22. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

23. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Понятие о формулах Френе.

24. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной) и по частям.

25. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

26. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

27. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

28. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.

29. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

30. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой.

31. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

32. Несобственные интегралы I и II рода.

33. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и тел площадей поверхностей вращения.

34. Функции нескольких переменных; область определения, способы задания. Предел функции в точке. Непрерывность.

35. Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

36. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

37. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

38. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.

39. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия. Формулировка достаточных условий.

40. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

41. Производная по направлению и градиент; их связь. Геометрический и физический смысл градиента.

42. Кратные интегралы: задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах.

43. Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим.

44. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

45. Элементы комбинаторики. Конечные множества и операции над ними. Подмножества данного множества. Число подмножеств данного множества (сочетания). Упорядоченные множества. Перестановки и размещения. Бином Ньютона и полиномиальная формула.

46. Предмет логики высказываний. Логические операции над высказываниями. Понятие формулы алгебры высказываний. Равносильность и классификация формул. Логические эквивалентности.

47. Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные. Логические отношения. Проверка правильности рассуждений.

48. Алгебра предикатов. Кванторы.

49. Алгоритм. Алфавит. Простейшие функции. Рекурсивные функции. Тезис Черча. Нормальные алгоритмы Маркова.

50. Конечные автоматы. Способы их написания. Эквивалентные состояния. Минимальные автоматы. Алгоритм минимизации детерминированного конечного автомата.

51. Орграфы. Основные определения. Матрицы орграфов. Орцепи и орциклы.

52. Неориентированные графы. Основные определения. Полный граф Kn. Матрицы графов. Циклы, цепи. Достижимость. Связность.

53. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Задача Эйлера.

54. Деревья, лес. Остовное дерево графа. Цикломатическое и хроматическое числа графа.

55. Построение остовного дерева минимальной длины. Алгоритм Краскала построения минимального дерева.

56. Понятие об операции. Математическое моделирование операций. Проблема моделирования и оптимизации.

57. Линейное программирование: предмет линейного программирования, геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, графический метод её решения.

58. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Достаточные условия оптимальности опорного решения.

59. Двойственность в линейном программировании. Теоремы двойственности. Алгоритм двойственного симплекс–метода.

60. Транспортная задача, математическая модель закрытой транспортной задачи, существование оптимального плана, условия оптимальности плана, открытые транспортные задачи. Методы северо–западного угла, наименьшей стоимости, потенциалов.











<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Перечень вопросов к экзамену на первом курсе:

  1. IV. Состояние науки уголовного права к началу шестидесятых годов XIX в.
  2. 2.1. Теоретические и методологические аспекты формирования имиджа образовательного учреждения
  3. Мысленный эксперимент
  4. 11. Технологии дистанционного образования Основные принципы и аспекты дистанционного образования
  5. Парадоксы медицинского образования
  6. Республика Казахстан
  7. 3.7. Поликодовые тексты в учебно-педагогическом дискурсе
  8. УЧИЛИСЬ МЫ В СИБИРИ, НАД ТОМЬЮ, НАД РЕКОЙ...
  9. Содержание
  10. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  11. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  12. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
  13. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
  14. Глава 11 РЕКЛАМА: ПАРАМЕТРЫ ОПТИМАЛЬНОГО ТЕКСТА
  15. Глава I Микаэль Агрикола (ок. 1510 - 1557)