5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).

Раздел I. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений СЛУ. Совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса. Преобразования прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ.

9. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

10. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

11. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

12. Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛУ.

13. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

14. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

15. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

17. Понятие векторного пространства ,евклидова пространства class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/416.gif">. Базис и ранг . Разложение вектора в по векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие ортогональной системы векторов, ортогонального базиса. Нахождение координат вектора в ортогональном базисе.

19. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и значения линейных операторов, их нахождение.

20. Понятие квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Матрица квадратичной формы и её главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.

22. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число.

23. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости ; базис и канонический базис пространства . Координаты вектора.

24. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

26. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

27. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

28. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

29. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

30. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия и ½½ прямых.

31. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка.

32. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

33. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

34. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

35. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

36. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости и его нахождение. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

37. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями и его вычисление, условия и ½½ плоскостей.

38. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Понятие прямой линии в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой и его нахождение.

39. Каноническое уравнение прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две точки; параметрические уравнения прямой. Приведение общего уравнения к каноническому.

40. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия и ½½ двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

41. Сфера. Эллипсоид. Канонические уравнения и графики.

42. Гиперболоиды (однополостной и двуполостной). Канонические уравнения и графики.

43. Параболоиды (эллиптический и гиперболический). Канонические уравнения и графики.

44. Цилиндры (эллиптический, гиперболический, параболический), их уравнения и графики.

45. Область решений линейного неравенства, системы линейных неравенств в , в .

Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

46. Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Равенство и эквивалентность множеств. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение). Диаграммы Эйлера-Венна.

47. Множества чисел. Счётные и несчётные множества. Множество действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Модуль действительного числа и его свойства.

48. Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая). Множество комплексных чисел, его геометрическая интерпретация.

49. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической и тригонометрической формах.

50. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

51. Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения на множестве комплексных чисел.

52. Числовые множества. Верхняя и нижняя грани, наибольший и наименьший элементы числовых множеств. Числовые промежутки. Окрестность конечной точки и бесконечности.

53. Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явная, неявная и параметрическая формы аналитического задания функции. График функции.

54. Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).

55. Основные элементарные функции (степенные:, , , , ; тригонометрические:, , , ; обратные тригонометрические: , , , ; показательная , логарифмическая ), их свойства и графики.

56. Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции, их классификация. Преобразование графиков элементарных функций.

57. Простейшие элементарные функции: , , , их свойства и графики.

58. Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции комплексного переменного.

59. Понятие числовой последовательности, арифметические операции над ними. Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

60. Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

61. Монотонная последовательность и признак её сходимости. Число . Задача о непрерывном начислении процентов по банковским вкладам.

62. Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности, их геометрический смысл. Односторонние пределы. Условия существования предела функции в конечной точке.

63. Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.

64. Функции, ограниченные при . Взаимосвязь между функциями, имеющими предел и ограниченными при .

65. Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе элементарной функции). Предельный переход в неравенствах.

66. Первый и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.

67. Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.

68. Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Условия непрерывности функции в точке. Непрерывность элементарных функций.

69. Понятие непрерывности на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, об обращении функции в нуль, о наибольшем и наименьшем значениях функции). Метод половинного деления нахождения корней нелинейных уравнений.

70. Точки разрыва функции, их классификация и нахождение.

71. Приращение функции. Определение производной. Правая и левая производные. Условия существования конечной производной в точке.

72. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой в данной точке, их уравнения.

73. Понятие дифференцируемости функции в точке. Взаимосвязь понятий: дифференцируемость в точке, непрерывность в точке, существование в точке конечной производной.

74. Непосредственное нахождение производной. Простейшие правила дифференцирования (постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций).

75. Дифференцирование сложной функции. Логарифмическая производная.

76. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

77. Дифференциал функции. Правила вычисления дифференциалов. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

78. Производные и дифференциалы высших порядков, их нахождение.

79. Теорема Ферма. Геометрический смысл теоремы.

80. Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы.

81. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы. Формула конечных приращений Лагранжа.

82. Теорема Коши.

83. Формулы Тейлора и Маклорена, их применение в приближённых вычислениях.

84. Правило Лопиталя и его применение для раскрытия неопределённостей:

85. Достаточный признак монотонности функции. Стационарные и критические точки. Нахождение интервалов монотонности функции.

86. Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции.

87. Глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции на отрезке, их нахождение.

88. Понятия выпуклости и вогнутости функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости) функции на интервале. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции.

89. Точка перегиба графика функции, условия её существования и нахождение.

90. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты, условия их существования и нахождение.