6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

Семестр 1.

Раздел I. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу;

Решение.

Тогда ==

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам

второго столбца: =.

Тогда ==.

Ответ: .

11-20. а) Найти матрицу , если:

, .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :

.

3) Находим матрицу :

.

4) Находим матрицу :

.

б) Найти собственные числа матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : .

Решение:

Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы являются: и .

Ответ: а) ; б), .

21 – 30. Дана система уравнений: . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

.

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы имеет обратную матрицу и единственное решение системы определяется формулой:

или

4б) Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):

.

Тогда .

5б) Находим решение:

.

6б) Выполняем проверку: .

Ответ: .

В) Метод Гаусса.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.

.

Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:.

4в) Выполняем проверку: .

Ответ: .

31-40. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

а) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде: .

4а) Выполняем проверку:

class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/597.gif">.

Ответ: .

б) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами .

Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде:

4б) Выполняем проверку:

Ответ: .

в) .

Решение.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появилась строка , соответствующая уравнению , которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных , что говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Ответ: Система несовместна.

41 – 50. Даны векторы : ; ; ; . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

1) Покажем, что векторы образуют базис . Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

.

Так как , то векторы образуют базис и, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2) Записываем разложение вектора по векторам базиса :

или .

Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисе и записывают: .

3) Записываем векторное уравнение относительно ,, в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:, и находим

единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

, где

,,,.

Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .

Ответ: .

51 – 60. Даны векторы : , , . Требуется: а) найти векторы и ; б) вычислить скалярное произведение ; в) найти проекцию вектора на направление вектора ; г) найти векторное произведение и его модуль .

Решение.

a) Находим векторы и :

=;

=class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/665.gif">.

б) Вычисляем скалярное произведение векторов :

.

в) Находим проекцию вектора на направление вектора :

.

г) Находим векторное произведение векторов :

и вычисляем его модуль: =.

Ответ: а)=; =; б) ; в) ; г) , .

61-70. Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж.

Решение. Сделаем чертёж:

а) Длину стороны находим как длину вектора :

,

.

б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

.

в) Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:

; .

Тогда:

.

г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда

д) Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением :

.

е) Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

71 – 80. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер и ; б) угол между ребрами и ;

в) площадь грани ; г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ; е) длину высоты пирамиды.

Решение.

а) Длины рёбер и находим как длины векторов и :

;

;

;

.

б) Угол между рёбрами и находим как угол между векторами и по формуле: . Учитывая, что: , , получим . Откуда

в) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

, , получим .

г) Объём пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

,

,

получим .

д) Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки , и , и записываем его в виде общего уравнения плоскости:

е) Длину высоты пирамиды находим как расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением :

.

Ответ: а) , ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

81–90. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:

а) ; б) ;

в) .

Решение:

а) Так как , , то уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).

Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..

Рис.1

б) Так как , , , то уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части

уравнения , преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).

Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).

в) Так как , , , то уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси : . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).

Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).

Рис.2. Рис.3.

91-100. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

Решение.

1) Находим матрицу коэффициентов прямых затрат ( - номер отрасли производства, - номер отрасли потребления) и устанавливаем её продуктивность:

, ,

, ,

, , .

Таким образом .

Так как () и , то матрица продуктивна и, следовательно, для любого существует решение уравнения Леонтьева: , записываемое в виде , где - единичная матрица, - матрица коэффициентов полных затрат, и - векторы (матрицы-столбцы) валового выпуска и конечного продукта, соответственно .

2а) Находим матрицу:

.

3а) Находим матрицу , обратную к , методом

присоединённой матрицы, по формуле: ,

где:

,

,

,

.

Тогда .

1б) Находим вектор валового выпуска на вектор конечного продукта в плановом периоде, следующим за отчётным (в предположении, что матрица , называемая также технологической, а, следовательно, и матрица не изменяются, т.е. ) по формуле:

.

2б) Находим по формуле () плановые межотраслевые поставки , округляя полученные значения до целых (с учётом балансовых соотношений , ):

, , ,

, , , , , .

3б) Плановые объёмы выпуска чистой продукции каждой из отраслей находим по формуле :

, ,

.

Ответ: Межотраслевой баланс планового периода имеет вид:

Раздел II. Введение в математический анализ. Дифференциальное

исчисление функции одной переменной.

101-110. Требуется:

а) найти естественную область определения функции ;

б) установить чётность (нечётность) функции .

Решение.

а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргумента функции, для которых формула имеет смысл: . Решив (на числовой прямой) систему неравенств , устанавливаем, что геометрическим образом множества является промежуток .

б) Находим сначала естественную область определения функции : . Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множества является объединение промежутков .

Так как область является симметричной относительно точки , то проверяем выполнение для всех условий: или , учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение .

Если область не симметрична относительно точки , то на этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим . Поскольку для всех , то функция является чётной.

Ответ: а) , ;

б) функция - чётная.

111-120. Даны комплексные числа , и алгебраическое уравнение . Требуется: а) вычислить, , , ; б) найти все корни алгебраического уравнения на множестве комплексных чисел.

Решение.

1а) Вычисляем : .

2а) Вычисляем .

Сначала находим . Тогда

.

3а) Вычисляем .

Сначала находим (учитываем, что ). Тогда

4а) Вычисляем :

(учитываем, что ).

1б) Для нахождения корней алгебраического уравнения , раскладываем его левую часть на множители:

.

2б) Находим корни уравнения на множестве комплексных чисел, приравнивая каждый из множителей нулю (число корней, с учётом кратности, должно равняться порядку уравнения):

1) .

2) .

3) . Так как дискриминант квадратного уравнения , то уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня: .

Корни , можно найти и как корни уравнения , по формуле . Для нахождения комплексных значений корня, число следует представить в виде комплексного числа в тригонометрической форме: , после чего значения корня найти по формуле: ,где

Ответ:

a) , , , ;

б) , , .

121-130. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б) в)

г) д)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , , , которые раскрывают тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы: , , (), , , , , .

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

.

б) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где . 2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

.

В результате получим

.

в) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: ,, ,, где при , используя формулы тригонометрии: , , .

После чего применяют свойства пределов, учитывая, что:

, , , .

.

г) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость .

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражение представляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что =.

Представим в виде , где при ,следующим способом:

=. Тогда учитывая, что ,, получим ==.

д)

Для вычисления предела , где представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой содержат факториалы натурального числа , поступают следующим образом. Выделяют в числителе и знаменателе в качестве общего множителя факториал меньшего натурального числа и сокращают на него. В результате получают выражение, предел которого находят рассмотренными выше способами.

Для вычисления данного предела сначала выразим , , через : , , , после чего сократим числитель и знаменатель на :

.

В результате получили неопределённость . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной числителя и знаменателя), после чего используем свойства пределов. Получим

.

Ответ: а); б); в); г); д).

131-140. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.

а) ; б) .

Решение.

Точками разрыва функции являются точки разрыва функций в промежутках , ,…,, кроме того, точками возможного разрыва функции являются точки в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.

Точка является точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: .

а) Поскольку функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывность функции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .

Определяем значение параметра из условия непрерывности функции в точке : . Вычисляя , , : , , , из условия непрерывности , находим .

График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 4.

б) Функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функция в промежутке имеет точкой разрыва точку , в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точки и , в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.

Исследуем на разрыв точки и установим характер разрыва:

1)

.

Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции .

2)

. Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции .

3)

.

Следовательно, точка - точка непрерывности функции .

График функции имеет вид, изображённый на рис.5.

Ответ: а) Функция непрерывна при (рис.4); б) - точка разрыва 1-го рода, - точка бесконечного разрыва функции (рис.5).

Рис.4 Рис.5

141-150. Найти производную :

а) ; б) ; в).

Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил дифференцирования:

(), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных (приложение 6.3).

Производную функции заданной параметрическими уравнениями находят в параметрическом виде по формуле .

Решение.

а) , где

=;

Тогда .

б) , где

.

.

Тогда

.

в) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле , где

;

.

Тогда .

151-160. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

а); б) ; в) .

Вычисление предела, где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и- функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: ,, сводят к раскрытию неопределенностей вида или .

Решение.

а) , где

,

Тогда .

б) , где

,

.

Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз:, где

,

=.

Тогда .

в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим

=, где

,

.

Тогда .

Применяем правило Лопиталя ещё раз:

, где ,

.

В итоге получим .

Ответ:

а); б); в).

161-170. Провести полное исследование функции и построить её график.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Решение.

1) Находим область определения функции: =).

2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

, .

Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.

3) Функция не является периодической.

Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.

Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.

4) Находим точки пересечения графика с осями координат.

Так как , то точек пересечения графика с осью нет.

Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка- точка пересечения графика с осью .

5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции .

Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

Вычисляем сначала пределы при :

,.

В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:

Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

Аналогично вычисляем пределы при : ,class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/1233.gif"> Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:

и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

;

не существует при и .

Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка .

Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

	+	+
	возрастает	возрастает		убывает	убывает

Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и .

7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которыхилине существует:, так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .

Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.

Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

	+		+
	график вогнутый	график выпуклый	график вогнутый

Точек перегиба нет.

8) На основании полученных результатов строим график функции (рис.6)

Рис.6.

171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке : , .

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.

Решение.

1) Находим первую производную функции:

и определяем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

, точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке является точка .

2) Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .

3) Сравниваем значения , , и находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке :

, .

Ответ: , .

181-190. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке : , .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид: .

Решение.

1) Вычисляем значение функции в точке: .

2) Находим первую производную функции:

и вычисляем её значение в точке : .

3) Составляем уравнение касательной: и записываем его в виде : .

4) Составляем уравнение нормали: и записываем его в виде : .

Если , то уравнение нормали записывается в виде: .

Ответ: - уравнение касательной; - уравнение нормали.

191–200. Затраты, необходимые для производства единиц данной продукции задаётся функцией издержек . Продукция реализуется по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции. Требуется найти: а) оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль; б) средние значения издержек производства и прибыли при ; в) эластичность издержек производства и прибыли при . Сделать выводы.

Прибыль, получаемая производителем при выпуске единиц данной продукции, задаётся функцией , где - выручка от реализации единиц данной продукции по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции, - функция издержек.

Средними издержками называют величину (издержки в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции), а средней прибылью – величину (прибыль в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции).

Эластичностью издержек называют величину (показывает приближённый процентный прирост издержек при изменении на 1%), а эластичностью прибыли – (показывает приближённый процентный прирост прибыли при изменении на 1%).

Решение.

а1) Находим функцию прибыли

.

а2) Находим оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль, т.е. находим при каком значении выпуска продукции функция прибыли примет наибольшее значение на промежутке .

Если функция одной переменной на промежутке имеет единственную точку локального экстремума , являющуюся точкой локального максимума, то в точке функция принимает своё наибольшее значение на промежутке .

Для решения данной задачи находим производную функции :

и определяем её критические точки (точки возможного локального экстремума), принадлежащие промежутку , т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной критической точкой функции на промежутке является точка .

Так как при и при , то точка - является точкой локального максимума и, следовательно, точкой в которой функция на промежутке принимает наибольшее значение .

Итак, оптимальное значение объёма выпускаемой продукции составляет 5 единиц, при этом максимальная прибыль составляет 50 ден.ед.

б) Находим средние издержки производства и среднюю прибыль при : ;

.

Итак, в расчёте на единицу выпускаемой продукции издержки производства составляют 90 ден.ед., а прибыль – 10 ден.ед.

в) Находим эластичность издержек производства и прибыли при :

.

.

Итак, при увеличении объёма выпуска продукции на 1%, издержки производства увеличатся на 1.11%, а прибыль не изменится.

Ответ: а), ; б), ;

в), .