<<
>>

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

Семестр 1.

Раздел I. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу;

Решение.

а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.

Тогда ==

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам

второго столбца: =.

Тогда ==.

Ответ: .

11-20. а) Найти матрицу , если:

, .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :

.

3) Находим матрицу :

.

4) Находим матрицу :

.

б) Найти собственные числа матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : .

Решение:

Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы являются: и .

Ответ: а) ; б), .

21 – 30. Дана система уравнений: . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

.

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы имеет обратную матрицу и единственное решение системы определяется формулой:

или

4б) Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):

.

Тогда .

5б) Находим решение:

.

6б) Выполняем проверку: .

Ответ: .

В) Метод Гаусса.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.

.

В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду . Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.

Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:.

4в) Выполняем проверку: .

Ответ: .

31-40. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

а) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде: .

4а) Выполняем проверку:

class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/597.gif">.

Ответ: .

б) .

Решение.

1а) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами .

Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3б) Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде:

4б) Выполняем проверку:

Ответ: .

в) .

Решение.

1в) Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

При выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появилась строка , соответствующая уравнению , которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных , что говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Ответ: Система несовместна.

41 – 50. Даны векторы : ; ; ; . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

1) Покажем, что векторы образуют базис . Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

.

Так как , то векторы образуют базис и, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2) Записываем разложение вектора по векторам базиса :

или .

Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисе и записывают: .

3) Записываем векторное уравнение относительно ,, в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:, и находим

единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

, где

,,,.

Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .

Ответ: .

51 – 60. Даны векторы : , , . Требуется: а) найти векторы и ; б) вычислить скалярное произведение ; в) найти проекцию вектора на направление вектора ; г) найти векторное произведение и его модуль .

Решение.

a) Находим векторы и :

=;

=class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/665.gif">.

б) Вычисляем скалярное произведение векторов :

.

в) Находим проекцию вектора на направление вектора :

.

г) Находим векторное произведение векторов :

и вычисляем его модуль: =.

Ответ: а)=; =; б) ; в) ; г) , .

61-70. Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж.

Решение. Сделаем чертёж:

а) Длину стороны находим как длину вектора :

,

.

б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

.

в) Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:

; .

Тогда:

.

г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда

д) Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением :

.

е) Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

71 – 80. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер и ; б) угол между ребрами и ;

в) площадь грани ; г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ; е) длину высоты пирамиды.

Решение.

а) Длины рёбер и находим как длины векторов и :

;

;

;

.

б) Угол между рёбрами и находим как угол между векторами и по формуле: . Учитывая, что: , , получим . Откуда

в) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

, , получим .

г) Объём пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле . Учитывая, что:

,

,

получим .

д) Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки , и , и записываем его в виде общего уравнения плоскости:

е) Длину высоты пирамиды находим как расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением :

.

Ответ: а) , ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

81–90. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:

а) ; б) ;

в) .

Решение:

а) Так как , , то уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).

Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..

Рис.1

б) Так как , , , то уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части

уравнения , преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).

Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).

в) Так как , , , то уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси : . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).

Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).

Рис.2. Рис.3.

91-100. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

Отрасли

производства

Отрасти потребления Конечный продукт Валовой

продукт

I II III
I 20 25 105 50 200
II 60 75 70 45 250
III 60 50 140 100 350
Чистый продукт 60 100 35
Валовой продукт 200 250 350

Решение.

1) Находим матрицу коэффициентов прямых затрат ( - номер отрасли производства, - номер отрасли потребления) и устанавливаем её продуктивность:

, ,

, ,

, , .

Таким образом .

Так как () и , то матрица продуктивна и, следовательно, для любого существует решение уравнения Леонтьева: , записываемое в виде , где - единичная матрица, - матрица коэффициентов полных затрат, и - векторы (матрицы-столбцы) валового выпуска и конечного продукта, соответственно .

2а) Находим матрицу:

.

3а) Находим матрицу , обратную к , методом

присоединённой матрицы, по формуле: ,

где:

,

,

,

.

Тогда .

1б) Находим вектор валового выпуска на вектор конечного продукта в плановом периоде, следующим за отчётным (в предположении, что матрица , называемая также технологической, а, следовательно, и матрица не изменяются, т.е. ) по формуле:

.

2б) Находим по формуле () плановые межотраслевые поставки , округляя полученные значения до целых (с учётом балансовых соотношений , ):

, , ,

, , , , , .

3б) Плановые объёмы выпуска чистой продукции каждой из отраслей находим по формуле :

, ,

.

Ответ: Межотраслевой баланс планового периода имеет вид:

Отрасли

производства

Отрасти потребления Конечный продукт Валовой

продукт

I II III
I 20 27 97 60 204
II 61 80 65 60 266
III 61 53 130 80 324
Чистый продукт 62 106 32
Валовой продукт 204 266 324

Раздел II. Введение в математический анализ. Дифференциальное

исчисление функции одной переменной.

101-110. Требуется:

а) найти естественную область определения функции ;

б) установить чётность (нечётность) функции .

Решение.

а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргумента функции, для которых формула имеет смысл: . Решив (на числовой прямой) систему неравенств , устанавливаем, что геометрическим образом множества является промежуток .

б) Находим сначала естественную область определения функции : . Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множества является объединение промежутков .

Так как область является симметричной относительно точки , то проверяем выполнение для всех условий: или , учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение .

Если область не симметрична относительно точки , то на этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим . Поскольку для всех , то функция является чётной.

Ответ: а) , ;

б) функция - чётная.

111-120. Даны комплексные числа , и алгебраическое уравнение . Требуется: а) вычислить, , , ; б) найти все корни алгебраического уравнения на множестве комплексных чисел.

Решение.

1а) Вычисляем : .

2а) Вычисляем .

Сначала находим . Тогда

.

3а) Вычисляем .

Сначала находим (учитываем, что ). Тогда

4а) Вычисляем :

(учитываем, что ).

1б) Для нахождения корней алгебраического уравнения , раскладываем его левую часть на множители:

.

2б) Находим корни уравнения на множестве комплексных чисел, приравнивая каждый из множителей нулю (число корней, с учётом кратности, должно равняться порядку уравнения):

1) .

2) .

3) . Так как дискриминант квадратного уравнения , то уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня: .

Корни , можно найти и как корни уравнения , по формуле . Для нахождения комплексных значений корня, число следует представить в виде комплексного числа в тригонометрической форме: , после чего значения корня найти по формуле: ,где

Ответ:

a) , , , ;

б) , , .

121-130. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б) в)

г) д)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , , , которые раскрывают тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы: , , (), , , , , .

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

.

б) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где . 2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

.

В результате получим

.

в) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: ,, ,, где при , используя формулы тригонометрии: , , .

После чего применяют свойства пределов, учитывая, что:

, , , .

.

г) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость .

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражение представляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что =.

Представим в виде , где при ,следующим способом:

=. Тогда учитывая, что ,, получим ==.

д)

Для вычисления предела , где представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой содержат факториалы натурального числа , поступают следующим образом. Выделяют в числителе и знаменателе в качестве общего множителя факториал меньшего натурального числа и сокращают на него. В результате получают выражение, предел которого находят рассмотренными выше способами.

Для вычисления данного предела сначала выразим , , через : , , , после чего сократим числитель и знаменатель на :

.

В результате получили неопределённость . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной числителя и знаменателя), после чего используем свойства пределов. Получим

.

Ответ: а); б); в); г); д).

131-140. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.

а) ; б) .

Решение.

Точками разрыва функции являются точки разрыва функций в промежутках , ,…,, кроме того, точками возможного разрыва функции являются точки в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.

Точка является точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: .

а) Поскольку функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывность функции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .

Определяем значение параметра из условия непрерывности функции в точке : . Вычисляя , , : , , , из условия непрерывности , находим .

График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 4.

б) Функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функция в промежутке имеет точкой разрыва точку , в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точки и , в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.

Исследуем на разрыв точки и установим характер разрыва:

1)

.

Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции .

2)

. Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции .

3)

.

Следовательно, точка - точка непрерывности функции .

График функции имеет вид, изображённый на рис.5.

Ответ: а) Функция непрерывна при (рис.4); б) - точка разрыва 1-го рода, - точка бесконечного разрыва функции (рис.5).

Рис.4 Рис.5

141-150. Найти производную :

а) ; б) ; в).

Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил дифференцирования:

(), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных (приложение 6.3).

Производную функции заданной параметрическими уравнениями находят в параметрическом виде по формуле .

Решение.

а) , где

=;

Тогда .

б) , где

.

.

Тогда

.

в) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле , где

;

.

Тогда .

151-160. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

а); б) ; в) .

Вычисление предела, где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и- функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: ,, сводят к раскрытию неопределенностей вида или .

Решение.

а) , где

,

Тогда .

б) , где

,

.

Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз:, где

,

=.

Тогда .

в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим

=, где

,

.

Тогда .

Применяем правило Лопиталя ещё раз:

, где ,

.

В итоге получим .

Ответ:

а); б); в).

161-170. Провести полное исследование функции и построить её график.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Решение.

1) Находим область определения функции: =).

2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

, .

Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.

3) Функция не является периодической.

Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.

Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.

4) Находим точки пересечения графика с осями координат.

Так как , то точек пересечения графика с осью нет.

Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка- точка пересечения графика с осью .

5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции .

Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

Вычисляем сначала пределы при :

,.

В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:

Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

Аналогично вычисляем пределы при : ,class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1418/image/1233.gif"> Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:

и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

;

не существует при и .

Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка .

Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

+ +
возрастает возрастает убывает убывает

Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и .

7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которыхилине существует:, так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .

Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.

Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

+ +
график вогнутый график выпуклый график вогнутый

Точек перегиба нет.

8) На основании полученных результатов строим график функции (рис.6)

Рис.6.

171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке : , .

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.

Решение.

1) Находим первую производную функции:

и определяем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

, точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке является точка .

2) Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .

3) Сравниваем значения , , и находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке :

, .

Ответ: , .

181-190. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке : , .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид: .

Решение.

1) Вычисляем значение функции в точке: .

2) Находим первую производную функции:

и вычисляем её значение в точке : .

3) Составляем уравнение касательной: и записываем его в виде : .

4) Составляем уравнение нормали: и записываем его в виде : .

Если , то уравнение нормали записывается в виде: .

Ответ: - уравнение касательной; - уравнение нормали.

191–200. Затраты, необходимые для производства единиц данной продукции задаётся функцией издержек . Продукция реализуется по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции. Требуется найти: а) оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль; б) средние значения издержек производства и прибыли при ; в) эластичность издержек производства и прибыли при . Сделать выводы.

Прибыль, получаемая производителем при выпуске единиц данной продукции, задаётся функцией , где - выручка от реализации единиц данной продукции по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции, - функция издержек.

Средними издержками называют величину (издержки в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции), а средней прибылью – величину (прибыль в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции).

Эластичностью издержек называют величину (показывает приближённый процентный прирост издержек при изменении на 1%), а эластичностью прибыли – (показывает приближённый процентный прирост прибыли при изменении на 1%).

Решение.

а1) Находим функцию прибыли

.

а2) Находим оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль, т.е. находим при каком значении выпуска продукции функция прибыли примет наибольшее значение на промежутке .

Если функция одной переменной на промежутке имеет единственную точку локального экстремума , являющуюся точкой локального максимума, то в точке функция принимает своё наибольшее значение на промежутке .

Для решения данной задачи находим производную функции :

и определяем её критические точки (точки возможного локального экстремума), принадлежащие промежутку , т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной критической точкой функции на промежутке является точка .

Так как при и при , то точка - является точкой локального максимума и, следовательно, точкой в которой функция на промежутке принимает наибольшее значение .

Итак, оптимальное значение объёма выпускаемой продукции составляет 5 единиц, при этом максимальная прибыль составляет 50 ден.ед.

б) Находим средние издержки производства и среднюю прибыль при : ;

.

Итак, в расчёте на единицу выпускаемой продукции издержки производства составляют 90 ден.ед., а прибыль – 10 ден.ед.

в) Находим эластичность издержек производства и прибыли при :

.

.

Итак, при увеличении объёма выпуска продукции на 1%, издержки производства увеличатся на 1.11%, а прибыль не изменится.

Ответ: а), ; б), ;

в), .

<< | >>
Источник: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н.. Математика. Часть 1: Учебно-методический комплекс для студентов заочной и дистанционной форм обучения по экономическим специальностям. / Составители: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н. Набережные Челны: Изд-во: ИНЭКА, 2006, 125 с.. 2006

Еще по теме 6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.:

  1. Решение логических задач
  2. Методологической основой решения поставленных задач…
  3. 2.2 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРОЦЕССА НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
  4. 2.1 РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  5. 2.2 АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  6. Решение вспомогательных задач.
  7. 2.1П РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  8. 2.2П АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  9. 17.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ
  10. 11.2. Методы решения оптимизационных задач
  11. Социально-психологические факторы эффективности группового решения творческих задач.  
  12. Этап развития команды как фактор успешного группового решения творческих задач.  
  13.   3.2. Эмпирическое исследование влияния индивидуальной готовности к риску на эффективность группового решения творческих задач 3.2.1. Программа первого этапа исследования
  14. 6.6. Решение мыслительных задач