5.3. Решение типовых задач
Пример 5.1. Среди n лиц разыгрываются т
n выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов.
Решение.
Обозначим через Ak событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после k извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать k+1 гипотез. Пусть гипотеза Hks означает, что из k извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез
причем
.
Так как осталось n—k билетов, из которых т—s выигрышных, то при m
s
.
По формуле полной вероятности находим
,
где 
при s>m.
Данное равенство можно записать также в виде
.
Имеем
,
т. е. справедливо равенство
.
Искомая вероятность Р(Ak)=
при любом k. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения.
Пример 5.2.
Отмеченный шар с вероятностями p и 1—p может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р
1). Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну? Решение.
Пусть событие А — извлечение отмеченного шара.
Гипотезы: H1—шар находится в первой урне, H2—во второй.
По условию P(H1)=p, Р(H2)=1—р.
Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй n—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут
.
По формуле полной вероятности искомая вероятность
.
Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р (А). Дифференцируя Р(A) по т (для нахождения приближенного значения т считаем m непрерывным), получаем
.
Полагая, 
приходим к равенству
.
Поэтому должно быть
.