<<
>>

5.3. Решение типовых задач

Пример 5.1. Среди n лиц разыгрываются тn выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов.

Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих? Когда выгоднее тащить билет?

Решение.

Обозначим через Ak событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после k извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать k+1 гипотез. Пусть гипотеза Hks означает, что из k извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез

причем

.

Так как осталось n—k билетов, из которых т—s выигрышных, то при ms

.

По формуле полной вероятности находим

,

где при s>m.

Данное равенство можно записать также в виде

.

Имеем

,

т. е. справедливо равенство

.

Искомая вероятность Р(Ak)= при любом k. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения.

Пример 5.2.

Отмеченный шар с вероятностями p и 1—p может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р 1). Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну?

Решение.

Пусть событие А — извлечение отмеченного шара.

Гипотезы: H1—шар находится в первой урне, H2—во второй.

По условию P(H1)=p, Р(H2)=1—р.

Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй n—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут

.

По формуле полной вероятности искомая вероятность

.

Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р (А). Дифференцируя Р(A) по т (для нахождения приближенного значения т считаем m непрерывным), получаем

.

Полагая, приходим к равенству

.

Поэтому должно быть

.

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 5.3. Решение типовых задач:

  1. Решение логических задач
  2. Методологической основой решения поставленных задач…
  3. 2.1 РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. 2.2 АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
  5. Решение вспомогательных задач.
  6. 6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
  7. 2.1. Численный метод решения многокритериальной задачи дискретного нелинейного программирования
  8. 1.3. Решение типовых задач.
  9. 2.3. Решение типовых задач
  10. 3.3. Решение типовых задач
  11. 4.3. Решение типовых задач
  12. 5.3. Решение типовых задач
  13. 6.3. Решение типовых задач
  14. 7.3. Решение типовых задач
  15. 8.3. Решение типовых задач
  16. 9.3. Решение типовых задач
  17. 10.3. Решение типовых задач
  18. 11.3. Решение типовых задач
  19. 12.3. Решение типовых задач