6.3. Решение типовых задач
Пример 6.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире».
Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:
а) принят сигнал «точка»;
б) принят сигнал «тире».
Решение.
Пусть событие А—принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире».
Можно сделать две гипотезы: Н1 — передан сигнал «точка», Н2 — передан сигнал «тире».
По условию Р(Н1):Р(Н2) = 5:3.
Кроме того, P(Н1) + P(Н2) = l.
Поэтому P(Н1) = 
, P(Н2) = 
.
Известно, что
Вероятности событий A и В находим по формуле полной вероятности:
Искомые вероятности будут:
Пример 6.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.
Решение.
Введем событие А, состоящее в том, что первая деталь доброкачественная.
Гипотезы:
H1 — взята партия с недоброкачественными деталями,
H2 — взята партия доброкачественных деталей.
По условию задачи
Р(H1) = Р(H2) = 
,
Р (A| H1) = 
,
Р (A| H2) = 1.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет
.
После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна
Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные детали,
Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности.
Если 
и 
— вероятности гипотез H1 и H2 после испытания, то согласно предыдущим вычислениям
, 
.
Кроме того,
,
.
Поэтому искомая вероятность
