6.3. Решение типовых задач

Пример 6.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире».

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал «точка»;

б) принят сигнал «тире».

Решение.

Пусть событие А—принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: Н₁ — передан сигнал «точка», Н₂ — передан сигнал «тире».

По условию Р(Н₁):Р(Н₂) = 5:3.

Кроме того, P(Н₁) + P(Н₂) = l.

Поэтому P(Н₁) = , P(Н₂) = .

Известно, что

Вероятности событий A и В находим по формуле полной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Пример 6.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что первая деталь доброкачественная.

Гипотезы:

H₁ — взята партия с недоброкачественными деталями,

H₂ — взята партия доброкачественных деталей.

По условию задачи

Р(H₁) = Р(H₂) = ,

Р (A| H₁) = ,

Р (A| H₂) = 1.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет

.

После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна

Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные детали,

Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности.

Если и — вероятности гипотез H₁ и H₂ после испытания, то согласно предыдущим вычислениям

, .

Кроме того,

,

.

Поэтому искомая вероятность