9.3. Решение типовых задач
Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.
Решение.
Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:
Вероятности того, что X принимает данное значение , равны (см. пример 8.1)
(1, 2, 3, 4, 5, 6).
Искомое математическое ожидание
.
Так как есть коэффициент при в произведении , то есть коэффициент при в выражении
.
Следовательно,
, а
Пример 9.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения 1, 2, 3, … ,.Выразить математическое ожидание случайной величины через производящую функцию
.
Решение.
По определению математического ожидания случайной величины
.
С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при , равно
.
Следовательно,
.
Пример 9.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 —р.
Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна
.
Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.
Решение.
Обозначим вероятность достижения намеченного результата при опытах. Если — вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности
Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р, то
.
Подставляя в формулу для значения и Р(т), получим
.
Для достижения намеченного результата потребуется ровно п опытов, если при п-м опыте он будет достигнут.
Вероятность последнего события равна . Следовательно, математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата,
Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством
,
справедливым при . Полагая в данном случае , получим
.
Пример 9.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание числа перегрузок , после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?
Решение.
Обозначим математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными предохранителей.
Для вычисления воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными предохранителей, то для повреждения одного из них потребуется очередная перегрузка.
В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.При очередной перегрузке могут произойти два события:
— сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего ;
— сгорел замененный предохранитель, вероятность чего .
Если при очередной перегрузке произойдет событие , то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех предохранителей, не замененных до очередной перегрузки, будет равно . Если же при очередной перегрузке произойдет событие А2, то это математическое ожидание будет равно . На основании формулы полного математического ожидания имеем
или, после несложных преобразований,
.
Если, т. е. остался лишь один незамененный.предохранитель, то вероятность его замены равна. Следовательно, на основании примера 9.3 будем иметь
Итак, имеем цепь равенств:
суммируя которые, получим
или
.
Пример 9.5. В результате испытаний двух приборов (А и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).
Таблица 6.
Уровень помех | 1 | 2 | 3 | |
Вероятность появления помех данного уровня | Прибор А | 0,20 | 0,06 | 0,04 |
Прибор В | 0,06 | 0,04 | 0,10 |
По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.
Решение.
Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А
балла.
Для прибора В
балла.
Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:
балла,
балла.
Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.