5. Материалы для контроля знаний студентов.
Итоговой формой контроля знаний является экзамен (зачёт) в конце первого семестра обучения. На экзамене (зачёте) студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2 и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.
5.1. Задания для контрольной работы.
Раздел I. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
1 – 10. Вычислить определитель:
а) непосредственным разложением по строке;
б) непосредственным разложением по столбцу.
1. 2.
3.
4. 5.
6.
7. 8.
9.
10.

11 – 20. Найти: а) матрицу , если
;
б) собственные числа матрицы .
11.,
12.
,
13.,
14.
,
15.,
16.
,
17.,
18.
,
19.,
20.
,
.
21 – 30. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти решение системы методом Крамера;
б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31–40. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37.
38.
39. 40.
41 – 50. Даны векторы . Показать, что векторы
образуют базис и найти координаты вектора
в этом базисе.
41.
42.
43.

44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51 – 60. Даны векторы . Требуется:
а) найти векторы и
;
б) вычислить скалярное произведение ;
в) найти проекцию вектора на направление вектора
;
г) найти векторное произведение и его модуль
.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.

60.
61-70. Даны вершины треугольника . Требуется найти:
а) длину стороны ; б) уравнение стороны
;
в) уравнение медианы , проведённой из вершины
;
г) уравнение высоты , проведённой из вершины
;
д) длину высоты
; е) площадь
треугольника
. Сделать чертёж.
61. . 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71 – 80. Даны вершины пирамиды .
а) длины ребер и
; б) угол между ребрами
и
;
в) площадь грани ; г) объем пирамиды
;
д) уравнение плоскости грани; е) длину
высоты
пирамиды.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81–90. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87. 88.
89. 90.
91-100. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).
91.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 10 | 20 | 10 | 60 | 100 |
II | 20 | 30 | 20 | 30 | 100 |
III | 60 | 10 | 20 | 10 | 100 |
Чистый продукт | 10 | 40 | 50 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
92. border=1>
производства
продукт
93.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 10 | 40 | 10 | 40 | 100 |
II | 10 | 20 | 40 | 30 | 100 |
III | 20 | 30 | 30 | 20 | 100 |
Чистый продукт | 60 | 10 | 20 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
94.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 10 | 40 | 20 | 30 | 100 |
II | 50 | 20 | 25 | 5 | 100 |
III | 30 | 20 | 20 | 30 | 100 |
Чистый продукт | 10 | 20 | 35 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
95.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 10 | 40 | 30 | 20 | 100 |
II | 40 | 30 | 20 | 10 | 100 |
III | 30 | 20 | 40 | 10 | 100 |
Чистый продукт | 20 | 10 | 10 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
96.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 15 | 25 | 30 | 30 | 100 |
II | 10 | 40 | 20 | 30 | 100 |
III | 30 | 30 | 30 | 10 | 100 |
Чистый продукт | 45 | 5 | 20 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
97.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 15 | 15 | 25 | 45 | 100 |
II | 15 | 20 | 30 | 35 | 100 |
III | 10 | 25 | 20 | 45 | 100 |
Чистый продукт | 60 | 40 | 25 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
98.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 10 | 20 | 20 | 50 | 100 |
II | 20 | 25 | 25 | 30 | 100 |
III | 25 | 25 | 30 | 20 | 100 |
Чистый продукт | 45 | 30 | 25 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
99.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 25 | 10 | 20 | 45 | 100 |
II | 25 | 20 | 50 | 5 | 100 |
III | 10 | 30 | 20 | 40 | 100 |
Чистый продукт | 40 | 40 | 10 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
100.
Отрасли производства | Отрасти потребления | Конечный продукт | Валовой продукт | ||
I | II | III | |||
I | 15 | 20 | 30 | 35 | 100 |
II | 30 | 15 | 20 | 35 | 100 |
III | 10 | 20 | 30 | 40 | 100 |
Чистый продукт | 45 | 45 | 20 | ||
Валовой продукт | 100 | 100 | 100 |
Раздел II. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
101 – 110. Для указанной функции требуется:
а) найти естественную область определения функции;
б) установить чётность (нечётность) функции;
101. а) б)
102. а) б)
103. а) б)
104. а) б)
105. а) б)
106. а) б)
107. а) б)
108. а) б)
109. а) б)
110. а) б)
111-120. Даны комплексные числа ,
и алгебраическое уравнение
. Требуется: а) вычислить
,
,
,
; б) найти все корни алгебраического уравнения на множестве комплексных чисел.
111. ,
,
.
112. ,
,
.
113. ,
,
.
114. ,
,
.
115. ,
,
.
116. ,
,
.
117. ,
,
.
118. ,
,
.
119. ,
,
.
120. ,
,
.
121-130. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
121. а) б)
в)
г) д)
122. а) б)
в)
г) д)
123. а) б)
в)
г) д)
124. а) б)
в)
г) д)
125. а) б)
в)
г) д)
126. а) б)
в)
г) д)
127. а) б)
в)
г) д)
128. а) б)
в)
г) д)
129. а) б)
в)
г) д)
130. а) б)
в)
г) д)
131-140. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра
функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.
131. а) б)
132. а) б)
133. а) б)
134. а) б)
135. а) б)
136. а) б)
137. а) б)
138. а) б)
139. а) б)
140. а) б)
141-150. Найти производную :
141. а) б)
в)
142. а) б)
в)
143. а) б)
в)
144. а) б)
в)
145. а) б)
в)
146. а) б)
в)
147. а) б)
в)
148. а) б)
в)
149. а) б)
в)
150. а) б)
в)
151-160. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
151. а) б)
в)
152. а) б)
в)
153. а) б)
в)
154. а) б)
в)
155. а) б)
в)
156. а) б)
в)
157. а) б)
в)
158. а) б)
в)
159. а) б)
в)
160. а) б)
в)
161-170. Провести полное исследование функции и построить её график.
161. 162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169. 170.
171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
:
171. ,
172.
,
173. ,
174.
,
175. ,
176.
,
177. ,
178.
,
179. ,
180.
181-190. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке
181. ,
182.
,
183. ,
184.
,
185. ,
186.
,
187. ,
188.
,
189. ,
190.
,
191 – 200. Затраты, необходимые для производства единиц данной продукции задаётся функцией издержек
. Продукция реализуется по фиксированной цене
за единицу. Требуется найти: а) оптимальное значение
выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль; б) средние значения издержек производства и прибыли при
;
в) эластичность издержек производства и прибыли при . Сделать выводы
191. ,
192.
,
193. ,
194.
,
195. ,
196.
,
197. ,
198.
,
199. ,
200.
,