ПРИЛОЖЕНИЕ.

§ X. Алгебра

1 Степени и корни.

-fa" для п чётных,

= НО" = { п . „

v J 1 —а для п нечетных;

а° = 1 для а^О.

Условная запись:

со _

а

О, если 0 < а < 1,

оо, если а >

.

а —

оо} если 0 < а < 1,

0t если а > 1;

„я „т

а - о.

- а*4"171! С = (О* - а™!

Ct !

Пі Л»

Q fi = дпЕ:

iV^tn

— а п ;

{а ± б)2 = а2 ± 2аЬ + (а + t)(a - І>) о? - Ь2\ (а ± і>)3 = а3 ± За2Ь + ЗаЬ2 ± Ь3; а3±Ь*~ (а±Ь)(а2^аЬ + Ъг). (а + Ь + с)3 = а2 + Ь2 + с2 + 2 ab + 2 ас + 2Ьс; а2 і-Ь2 = (а + ї'Ь)[а-ій), і =

а" = (о - + ап~2Ь + + -f bn~L)h где rt — любое

натуральное число;

^(ц + б)^™-1 + +йЬ^2 - где п — чётное

положительное число;

ап-ЬУ1 = {а +Ь){ап^ - ап~Ч 4-... - abn~2 + Р"1), где п — нечётное положительное число;

(1+ХГ-1 + «Г + "(Я - ff" - ^ + ... 4-ї".

Средняя арифметическая п величин Ап\

Ап — - (ai 4- flj + . + On).

JTb

Средняя геометрическая п величин Вп:

Ви ^ a2 аз . . an .

Средняя гармоническая н величии

On Н CL2. йа

Средняя арифметическая некоторого числа положительных эеличин больше или равна их средней геометрической, которая, в свою очередь, больше или равна их средней гармонической: Ап ^ ^ Сп<

Средняя квадратическая п величии Мп (Мп ^ А„ ^ Вп ^ Сп)

А*

ГП= у/^ (ajf + aj+ «! + ...+ці).

„ad Если v - то

' ma + nb mc -f тій!

. р а

pc + vb1 и — Ь _ с — d

a + 4 ~~ с+ d'

дмі vb a і Ь d

11. Уравнения первойN второй, третьей и четвёртой степени, а) Уравнение первой степени (линейное) оэт + fi — 0, йс = — —. 6J Уравнения второй степени (квадратные)

—b ± \ftf- 4 ас

ах2 4- Ьх -г с = 0,

2а

Ь с

її + Х2 — —, Жі ¦ а?а = -

а а.

С- У ¦

і'Жі 'I

х2 + px±q =0,^1,2 = ± \J- xi + $2 = —її, xi - Х2~ q в) Уравнения третьей степени (кубические)

ах* 4- Ьх2 + сх -!- d — 0.

2Ь3 bc_ d ' Заа V а'

Разделив это уравнение на коэффициент а, сделан замену у = х + н обозначив (см § 55)

3 ас~Ь*

q Ш

р «

Д=(!)Ч§)">

получим уЛ -I-ру + q — О,

Решение этого уравнения есть (р и <{ -^действительные числа)

А + В , -А— В

—г ± I

Л,

у і — Л + В, у2> з -

в = y-f-vS,

Бели Д > О, уравнение имеет одно решение действительное и два мнимых, сопряжённых при р > 0, а если р < 0, то дьа комплексных сопряжённых.

Если Д = 0, уравнение имеет три действительных решении, деа из которых совпадают

Если Д < 0, уравнение имеет три действительных разных ре-шения.

г) Уравнение четвёртой степеии {биквадратное уравнение)

пх4 4- bx2 -f с = О,

его решение есть

—Ь ± \ПР - 4аС

2й

Отметим, если левую часть решаемого уравнения можно разложить на простые множители, то решение находится тривиально. Если ах3 -Ъ + bx~ + сх + d = а(х — ог)(х — р)(,х - 7) - 0, то корни xi = а, =

ЇЗ = причём Xi + Х'2 Ч-ЯЗ = , — + — — — X1X2XZ — -—.

a я; і Ли а а

ПІ. Прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии:

— яі 4- (п - I)cf: сумма первых п членов арифметической прогрессии;

— ft = L L щ

где (і — разность; «j — первый член прогрессии.

ОбіДНЙ член геометрической прогрессии: цп = щqn~\

Сумма первых п членов геометрической прогрессии:

"і " ъпд _ 1 - q _ d-l

—- ад;-—І- ~ ui———,

I—17 1 — q q- 1

где Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

(М < i>-

5П =

1-Я

1 + 2 + 3 + 44-,.. + гс = ^ п(п + 1),

Х2 + + з2 + 42 + ... + гг2 = ± + 1}(2п + 1),

_ 1

ЇЇ І лі і г. ЛЗ-ЛЙ _ л Ґ-, і_ і

(n + lJfSn + l),

2+4 4- . -, + =4(1+2^ + ... +гО

I3 + 23 + З3 +4а + + ?і3 - \ п2(п + I}2

1Э + З3 + 53 + + (2п - 1)э - п2(2л2 - 1) 14 + 2* + з4 + 4Ч + ..* +Л* = і (n + l)(2n + 1)(3п2 + 3n -1)

1+3 + 5+ 7 + 9 + .- - + (2n — 1} —

l2 + 32 + 52+ 73 + ...

J- + J- + + + 1 = f 1 1 > =

l-2T'2-3 3-4 ' n(« + l] ^r»(n+l) іг n + lj

n

n—1 n+I

IV. Логарифмы.

Если у = л36, то loga 3/ = г {а > а ^ 1). Основное логарифмическое тождество;

Свойства логарифмов: loge(a ¦ 6} = )oge а + bgc f>; logc an = n logc a; loga* fr = ~ loga 6;

loga I - log, I - Iogc a - logc fe;

Iq^ ^log^a* = tofcfc-

logo 1 — так как a0 - 1; 655

При больших И {ЇЇ — > оо), ТІ! JSS — формула Стирлинга и

Г, Соотношения между тригонометрическими функциями одного и

cos a sin а3

§2J

657

Тригонометрия

1 раЛиан = „ = 5Г %Г 45", ТГ 3jM

Формула для перевода градусного измерения угла в ради а иное

7Г

а = -т^хйР, 0 — заданный угол в градусах, і 1о0

Формула для перевода раднанного измерения в градусное: л 180°

р = a — заданный угол в радианах.

тг

ІГ. Формулы двойных и тройных углов.

sin 2а = 2 sin а cos а; зіл(аа) ~ 2 sin ^ - cos

2 '

Формулы сложения и вычитания аргументов.

sinfa і Р) — sin a ¦ cos/3 ± sin ft ¦ cos or; cos(a ± 0) = cos a * cos 3 ^ sin a ¦ sin

t$t(a ±в)~ аг/а ± m =

l4.tga(e0. ctg^±ctga ¦

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

я о - a + ff . a - /? cos a — cos 0 — — 2 sin ¦ ^ - sin —-—;

a cos $ + Ь sin = t кІп(лг + ip\} — r cos(x — ^2)1

где

b

r

г — і/a2 + Ь2 , sin^i = cos^i ¦=

a

COS= —І 657

sina ± cos а = \/2 sin ± = ±%/2 cos ^ с^) ;

tga ± tgР - — і tgft + ctg0 = —;

cos Й cos f3 - cos a sm в 1

ctea±<лж0 = —іИіЗІ- tffQ - СШЙ ~ +

ctgaitctgp sillQ3ift/3 ^ ego ctgp-

sin a sin 0 = ^ [cos{q: — 0) - cos(a 4- j8))i cos a cos ? = | [cos(a 4- 0} + cos(a - 0)};

sin a cos ^ = ^ [sin(a 4* 0) 4- sm(a - /?)];

sin2 x — sin2 у = сое2 у — cos^ x sin(s 4- y) sin(ar — y); sin3 x — cos2 у — — cos(:r 4 y) cos(a? - y)\ sec2 x + С05ЄС2 x — see2 x ¦ cosec2 x. V, Формулы приведения 0= Ш* ±Q 3 =» 180° і й ? = 270° ± a 0 = 360* ± a sin 0 cos а ^f sin a -coao: ±sinct cos0 — COSCt ± sill a COB Of ctg Of i: tga if ctg a ±tga Ctg/? T tga d= ctga ± ctg Л

sin тїтг — 0, sin(a?±nir) 55 l)nsinar, sin (x ± nJ = ±(^l)ncoss, cos TTU = l)n, cos(a; ± тг) = СОЗйГ,

cos (r ± — * 1tA = sin x,

tg 717V — 0| tg{x±rnr) = tgx, = -Ctg®,

± ctg X '

VI.

Г) 0 30 45 60 90 120 135 150 ISO Угль] (рад) 0 7Г 0 тг 4 17

3 2 2я

т 4 5ч" ТГ sin а О 1 УЗ v/3 1 Уз v/2 1 о 2 2 2 2 2 2 COS Of 1 Уз Уа 1 1 Уз 2 2 2 и 2 2 2 і tg а 0 1

Уз 1

1- ¦¦ V3 vT О ctg a оо У5 J 1

уз 0 і

Уз -1 -Уз —оо 1

Углы

О 210 225 240 270 300 315 330 360 Углы (рад) 7-17 G T Ліг

T 2 Sir її 4 11* 2-jr sin а 1 - Уз -1 Уз У5

L 0 2 2 2 1 2 2 СОЭО? ^

2 2 I 0 1 2 ¦2 УЗ 2 I tgo 1 1 УЗ -co -Уз -1 1

Уз 0 CtgC* УЗ ' 1 1

v3 0 і -1 -Уз oo

VII. Знаки тригонометрических функций по четвертям: Функция Четверть 1 11 Ill IV sin X + + — - cos a; + — — , tgx + — + — ctgx 4- — + —

VIIL Решение тригонометрических уравнений.

Приведём в виде таблиц решения простейших тригонометрических уравненнй.

a) sin х = а; \а\ < 1. а л; а arcsin a 4- к Z 0 -tzk 1 1 21 г {—I)* ^ -hirJfc, | + 1Г* у/1 ¦ 2 f 2 ¦ j c-i>fe+i ¦ і + wfc у/З 2 ' 2 I, -1 - +27Г*:, 2 2 б) cos я' = л; ]а.\ 1. а ЯГ а 2?rA: dh arccos ат A: € 0 2 1 _ 1 2 ' 2 =Ь - -t- 7Г 4- 2тгЛ:

J V у/2 у/2 2 " 2 4 4 л/3 V"3 2 ' 2 dt- -4- эг 4- 2тгк 6 Є 1. -1 2тг?. тг 4- к в) tg з: — а; а Є D, а x а arctg a 4- к є 0 І ЇҐА: <./3 Уз 3 1 3 J 4- тк* — J 4- Trfc Ц u 1 —1 ~ 4- тгА;* — ^ 4- ч/З —ч/З ^ + тгА\ — ^ 4- 7ГІ r) ctga; — а; о, є О. а X а arcctg а 4- nrfcj к Є Z

Продолжение на следующей странице

a X 0 2 V3 3 5 3 ^ + 7Г fc, jj IT +7Tjt — +¦ irfc, - T 4- TT к 4 4 - + nk, - IT + Ttk 6 G

Уравнение Корни НІГі"* X — Qj 0 ^ л ^ I a; = ктт ± art-sin ^fa cos3x — a, O^a^l t — ± arccos ^/a tg* x — a, 0 < ft x = fcir ± arctg^/a ctg1 ї = 0 ^ a x = ктг ± aroctg ,/д

где А; — любое целое число.

IX. Обратные тригонометрические функции.

Обратными тригонометрическими функциями от х называются величины уt определяемые равенствами

если х — sin зу, то у = Arcsin х -- mir 4- arcsin х\

если х — cos у, то у = Arccos х " 2m7г ± агсооз х;

если x=tgx, то у — Arctgх — mir 4-arctg л;;

если х = ctg xt то у = Arcctg х = ттг 4* arcctga:,

где т — любое целое число {положительное, отрицательное или нуль).

Главные значения обратных тригонометрических функций (обозначаются; arcaiiiar, arccosx, arctg ж, arcctga?} определяются следующими соотношениями:

1);

— ^ < arcsin j ^ 4-—, 0 < arccos х ^ тг

j?ж ?г

— ™ ^ arctg х < + 0 ^ arcctg х < (—оо < х < со}.

Графики обратных тригонометрических функций см.

arcsin(—я) = — arcsin xt arccos(—z) = т — лхссмх,

arctg(—я) — ~ arctg xt arcctg(—x) = ff — arctg я,

sm(arcsm i) = x, cns(ajccos —

tg (arc tg a) - хл ctg( агс ctg x) = x 661

Формулы для справок

tu'c:sm(siti а:) = х — 2vnt (2тг — ^ < т. < 2пя + .

= -х + (2п [(2пН- 1)г - | ^ х < 2(тН-1)іГ + | ;

iirccos(cos lt) = л: — 2птг, (2птг {2n + l)tr),

= — (2тг + 1)7г, [(2ft +1 )тг < x ^ 2(n- l)n]\

f] -

arctg(tg = a.1 — nir,

7Г

mi — -у < x < /гт +

aroctg(ctg a:) — a: — іиг, [лтг < x < (n + 1)jt],

lirn arctg x = <

Я—*±W

Ту Я ~' +00, ТГ

— *

r 0, і — +QO,

hm arcctgic = і

1Г 2

" [it, Ї —oo;

arcsin sc + fir с cos x nxctga; -f arcctga;

л

arcsin. x =

-- агссозл,

A

= atccos yf\ — r2 (0 < t ^ 1), = — arccos Vl — я;2 (—1 < о: < 0),

x

C®1 <

— arctg

= arcctg 4/1 t (0 < a; ^ 1),

J5

ч/Г

— it

X

= aicctg

= і игсеш (зтх/їь^) < I) , .

= § - 5 arcsin < * < l) ¦

7Г 1

зіп VT— J ^ x <

агсзш

arccos я: =

— — arcsin 2:,

?

— агсзіті у 1 — x2 (0 ^ л; ^ 1) t 662

Формулы для справок

і arcsin * X + x

*= arc со а т ^ 0),

2 1 4- х

тг

arcctga; =

~ - arctg х,

— arcsin

\Л 4- х*

(я > 0),

V'TT

= ir — arcsin

= агссоэ

v'T-T

— arctg ™ {x > 0),

= ir + arctg- (я<0). x

arcsin x + arcsin у ™

arcsin (хл/ї — у2 4-

(s^ ^ 0 или :r2 4- J/2 ^ 1) > = ж — arcsin _ Vі + Vl/Ї )

(i>0t у > Ой >1),

Ж —ТГ — arcsin ҐІЛ/І — VА + I/V1 " ^ ^

(a: < 0, у < 0 на:2 4y2 > t), ~ arccos ^i/l —"ж® \fl — у2 — xy^j

{x > 0, у ^ O) = — arccos я2 yf\ — y2 — xyj

(a: < 0, у < 0)

- arctg

T\/l - у3 + ул/l - з;3 у/І — у3 — ху

(ху^О или х2 + у2 < 1),

= arctg

V 2 - дН у/1 - у2 — яу

(а; > 0, у > О и х2 -Ь у2 > 1}>

- у* + W і — Д2

— 7Г

— arctg

у/Т—яР 1 Уэ — зд

(т < Ot у < О и х2+у2 > І),

агсаіпа: — arcsin ^ — arcsin (ху/ї — у2 - y\fl~x^ )

(л^ > О или х2 + у2 < 1)

іг — arcsin - у1 - у\/\ — іс2 ^

{х > 0, у < 0 и j:2 + > 1),

—тг — arcsin (xy^l — у2 — у\/ї — х^ ^

(і < Qt у > О и я1 + у2 > 1), = arccos УГ-У + zj/J

(з < у)>

— — arccos ^ у/і —хг у/1 — у2 + xyj arccos х 4- arccos у = arccos ^зд - \/l — х2 yfl — у2 ^

(х + у ^ 0),

= 27Г - arccos MCJ - \/l — X2 y'l j

(х + у < G),

(з > У),

— arccos (^су + у/Ї^Цр \/l — у2 )

arccos ^ху 4 у2 )

< ї)

и* Н-" "ti

arctg я 4- arctga — arctg — (^і/ < 1),

і и

= тг + arctg (д; >0, ху > 1),

і ху

і + у

= -т 4" arctg

(а: < 0, > 1),

-ху

arctg:*; — arctg і/ = arctg -¦ - {ху > -1),

X і

— тг + arctg —— [х > 0, ху > — 1), і +

= -7Г 4* arctg —™ (а; <0, < -1).

L Г rjf

X.

? — Є

sli а; — сіід: = th х =

2

4 й" 2

ah х

гиперболический синус,

Г —ІГ

в — Є

ch я; е* 4 е

— X

гиперболический косинус, гиперболический тангенс.

. сЬ л г е* + е я й „ ,

cthx — —— = — ™ гиперболическим котангенс,

shx е* — є *

sell X =

— гиперболический секанс.

ch і

С Т С

eschar =¦ — = — гиперболический косеканс.

sha; є* —

б) Основные соотношения,

ch2x -~sh2x = lt

cth2 x — 1 ~ — I—, sh 2® = 2 sh x ch x, sh x

«

ch 2x я» ch2 x 4 sh2 з: s= 2sh3 x + 1^2 ch2 x - 14 2 tli x

= eth 2x ts

2cth я

I + cUi* x th2 X 4-1

X

2th.'

lithrthj,1 «І** ± fl- ettniclhv 1 sh a: sh у = ^ [ch(s + у) - ch(x - j)],

eh x ch у — - [ch(x 4- y) + eh(a: -

char shy = ^ [sh(r-i-y) - sh(x -y)],

sh л: ch у ~ і (sh (г + у) -+ sh(x - я)],

3ha:4!>hy = 25h^di^1 ehs ^shy= 2sh^-^ch^tEt

ch a: 4- chff = 2 ch ch ЗЦр, chi - chy = 2shsh

thxithy-^^, cthsictb y =

сЬлсКу * shxshy У J

dt x \ \ // ahx thx thx ^^^ 0 я * sh x \

d_

dx

ch x = sh x;

— sh x — ch x\ dx

^ thx —

d и 1

cthx - —-j-

dx skf x

j chxdx — shx 4- C; Jsh xdx = chx 4- C]

[ thxdx — lnchr 4-C; f-^- = thx4-C; J J ch x

+ uthsdx = Inj sh + C\

J SIT ¦

ch x — соя(га:); shx = ch(rx) = соягс; аЬ(?ф) = ізіпз;

оо ^Sfc-t- І зо Х2К

Хі. Комплексные числа.

Выражение Z = х + ту назыьается комплексным числом, где х н j действительные числа, символ г = у/^Л (і2 — —1) называется мннмои единицей, к = TTeZ называется действительной ЧЛСТЬЮі А у = 1т2 мнимой. Комплексное число х — гу ~ Z* называется сшряжёниык комплексному числу Z —x-hiy, причём \/ZZ* — у/х2 -Ь у2 ~ г называется модулем комплексного числа Z.

Алгебраическая форма записи комплексного числа Z:

Z = х 4- iy.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа Z:

Z = 1Zj(cos ір + їяіпу?),

\Z\ = VZZ~* = \fx* +y* rt - ccs^? ™ sinip —

Показательная форма записи комплексного числа Z:

Z =l?|(cos<^*sin^) - = ¦ е™ =

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — действительная ось, Оу - мнимая. Модуль числа Z равен расстоянию точки изобра

жаюіцей это число, от начала координат, tp называется аргументом комплексного числа. Все аргументы комплексного числа различаются на целые кратные 2тг и обозначаются символом ArgZ, Значение ArgZ, удо влет вор тощее условию 0 ^ Аг&Z < 2тг, называется главным значением аргумента и обозначается символом arg^. Поэтому

ArgZ = argZ + 2тг?> it = 0,1,2...п.

Действия над комплексными числами,

1 Zx ±22 — xi Ч- хЕ dt i(yi 4 г/г).

Z и 0 при х = у = 0.

(xi 4- гуїК^а + tya) = *іх2 - У№ 4-і{хіуз +х2уі)- ~ г і Г2 (cos <р\ 4- і sin }(cos tp-} 4- і sin ірі) —

= Г|Гї(сОз(у?] + V2} 4- І sinful + <рі)) = тыл*™-9*- 668

1

Г] с

гае

-4 — Ді^з , ? yixa — n cosyi +

' % ~ %2 + у'і + Гї cosi^i+ isin ipa

6. ^ - У® -Hy = Vcos^4- isrny =

ц> +¦ 2?7 к

= С/г

4-1 ЙЩ

cos

j

tyre »

Ті

ті

A: = 0,1T ,rt — 1.

Формулы (5) и (6) называются формулами Муавра. 7. Формулы Эйлера:

Є* _ е"^

Sin <р =

= соз(^ і isln cos v? =

2 " ' 2i

Логарифм комплексного числа Z = л' + гу:

Ln^^br +ip + Sirftt, 0<^<2іг, ґ = 1^1 = ¦ ^Д2 + у2 .

Выражение InZ — Inr + i

Lne-1,

Laez

Ln Z\Z% = Ln Zi 4- La

Ln™ = Ln^i -ЬПЯЙ^ причём равенстно понимается с точностью

29

до слагаемого 2?rfci,

Пусть ZY и Zi любые комплексные числа (Z\ ф 0), тогда по определению _ _ _ _

с%l)Zа =eZ*LriZ\

Следовательно, степень с комплексным основани&м и комплексным показателем имеет бесконечно много значений {так как LnZ\ имеет бесконечно много значений). Если Zi действительное целое число, то значения показателя ZjLnZi правой части отличаются между собой на кратные от 2ігі и поэтому Zf* икеет в этом случае одно значение, Некоторые частные случаи.

Формулы для справок

a\z = ахaiy = lri" = Qb(cos y\na + i sin у ln а),

e 2

х

і = ei1ns - cos(b^) + ^ = -

p = fixLni = = CQS Щ. (1 + «) +Шйу(1 + 4A),

cosZ = chiZ, alnZ^-iehiZ, tgZ=-ithiZ, ctgZ=ict№

chZ — cosi?, shZ = -isiniZ, thZ^-iigiZ, cthZ-ictg^

arccos Z - arch arcsin 2 = -i arsh iZ, arctg Z = -i arth iZ, arcctg Z = t arcth ,

arch Я - і arccos И, arsh 2 = -і arcsin iZt arth Z arctg iZ, arcth Z = г arcctg і I,

arccos7 = ^iln^ + Vl - ,

arcsin Я - -гін {iZ + >/l ~ ) ,

г , 1 + iZ , і in ^ -

arctgZ^ In—arcctg Z =-- In^y,

arshZ = ln (z+y/ЇРTl) ,

archZ — In + /Z2- l),

arth Z = ~ Inf^rft a*cth Z=\ln frf

§ 3. Геометрия

радиус

Треугольник (г — радиус вписанной окружности, R описанной окружности, р — полупериметр треугольника):

Подобные треугольники (А; — коэффициент подобия):

2. Длина медианы треугольника выражается формулой

Дополнительные соотношений з треугольнике, 1. Три медианы треугольника пересекаются о точке, которая де ждую медиану в отношении 2 : Xt считая от вершины треугольна

Длина стороны треугольника выражается формулой

.с та, ть, тй — длины медиан треугольника.

Биссектриса делит стороны на отрезки, пропорциональные д )угим сторонам

С О

а, ^ а, _ а. а, _ ЗІП 2. __ s5jl ^ _ ас

Ьі й* 5й 6' а sir В' fi sinS* ft + Ь'

672

5олк: —¦

Прямая призма:

Прямоугольный параллелепипед (а, bт — намерения, d — дна го-

НЗЛЕэ)

V = йЬс: 5Ємі - РН: d2 = а2 +Ъ7 -і- с2. Куб [й — р&бро):

V = a3, d = S-баЯ

Произвольная пирамида:

V = — S^^H.

Правильная пирамида {і^ — гертіметр основания, I — апофема):

SW = з pi; V = ± SH.

Произвольная усечённая пирамида (Sі к S2 — площади оснований* k — аысотап V — объем):

Правильная усечённая пирамида (Pi и Р2 — периметры оснований.

і — апофема):

Явок - 5 {Pi +

Цилиндр:

Ко EI ус (ТЕ — радиус ОСЕЮНН.Н'ИП, Я — высота, ? — образующая):

= ж.RL, V = і тгЛ2Л.

и

Шар, сфера:

5 - 4 л Я2, V = | * Д3.

Шаровой сегмент (Д — радиус шара, h — высота сегмента, S площадь сферической поверхности сегмента, V — объём):

S = 2тгRh, V « #Л® (д - і .

Шаровой сектор (Д — радиус шара, А — высота сегмента, V —

объём):

V = \*R2h.

J

Дополнительнее соотношения.

1. Между элементами ujapa и в писанного а него конуса справедливы следующие соотношении:

Формулыдля справок.

(Я — радиус шара, I — длина образующей конуса, Н' —¦ его высота, а — угол между образующей и плоскостью основания).

Такие же соотношения справедливы и для вписанной в шар пирамиды, боковые ребра которой имеют длину I и составляют с плоскостью основания угол а.

Пусть э пирамиде выполнено одно из следующих двух условий:

а) боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;

б) дни мы всех боковых рёбер равны.

Тогда вершина пирамиды проектируется а центр окружности, описанной около основания пирамиды (та же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).

Пусть п пирамиде выполняется одно из следующих условий:

а) все боковые грани образуют с основанием равные углы;

б) длины всех апофем боковых граней равны.

Тогда вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамидь^ (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис угла в основании пирамиды).

Л. Если в їїаклонной призме боковое ребро А\В\ составляет равные углы со сторонами основания, образующими вершину то основание О высоты В\0 лежит на биссектрисе угла А\.

Или так:

если в трёхгранном угле два острых плоских угла равны, то проекции их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.

Ai

680 Формулы для справок

an bL

0,21 ?>2 Й23

аді азз

аи «13 Ь\ 0-2 L ЙЙ2 а32

Л,-

^ да

Если Д — 0, а при этом хотя бы один из ЛЯ1 Дг не равен нулю, то система (J) несовместна, Если же Ах = Ау — Д* = 0, то система имеет бесконечное мнажест&о решений.

§ 5* Векторная алгебра

Проекции вектора а на координатные оси называются его (декар-товыми) координатами и обозначаются а= {as, у, г} или а = х\ + у} + -f 2к — есть разложение вектора а по базису i, j, k.

Разложение вектора а по некомпланарным векторам р, qn г: а = = ар + 04 + 7і"і или в координатной скстёке;

ха - ахр + 0хя + 73?г, Уо. ~ аур + Руц + 7Уг> л^а Л Zp 4і в "У^і'і

где /3, 7 — числа н называются координатами вектора а в базисе р( q, г.

Если даны две точки Мцаг^уі,^) и у^jfc), являющиеся

соответственно началом и концом вектора at то его координаты Х1 У, и Z определяются по формулам:

Х — Х2~х\Л У—У2-У1, Z = z2 - .

Модуль вектора а = {X, К, Z) равен

[а[ - v'fa^O = + +

Если векторы а и b приведены к общему началу н на них построен параллелограмм, то сумма (а-ьЪ) — есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала аиЬ. Разность (а-Ъ) — есть вектор, идущий из конца b (вычитаемого) к концу а (уменьшаемому), т.е. другая диагональ этого параллелограмма.

Если векторы заданы своими координатами а — {xa,ya7za} н Ъ =

=

а ± b — * хь, уа ± уЬ} za ± гь} , Cz а -- {cttfajOfy^O^a}, а — число.

ХЬ

_

Уь Л 680 ---

Векторы. лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются ксллннеарными. Признаком коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат:

Скалярное произведение векторов:

(а ¦ Ь] — ¦ |b[cosy3 = ja'np^b - |b;npba — хахь + уауъ + Условие перпендикулярности векторов:

ЯаХЬ + Ус,УЬ + — О- Угол (р между векторами:

_ (ab) _

SflJlfr^- f/aj/fr + ZaZb

соз у? =5

н

W|b| y/xl + vl T zl ¦ yjxl + vl + Векторное произведение векторов.

1 J

Ха Уа

Ь3 =

[а-Ь] = -[b-а], [а - а] 0.

Хь Уь Zb Смешанное произведение векторов:

X п. У а *я УЬ ч хс Ус zc

(a[bc]) -

(a[bcj}-([ab]c);

(a[be]) = 0 необходимое и достаточное условие компланарности векторов a, Ъ, с.

Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, У = |(a[bcj)|.

Упорядоченная сорокупностъ п чисел (ait .,., а^) называется

n-мерным вектором и обозначается символом

а = (аі,од,аа, ..MПусть a = (аі,ад»аз, ...,0») н Ь = Л) вектора,

тогда:

L Если а = Ь, то аі = а% ... ,ап = Ьп,

а± Ъ — (а і ± bi, а2 ± ta,... =¦ Ьп)

Если а = pb, то о-з. = а2 — р.Ь2> = где fi — число.

Скалярное произведение ті-нерньїх аекгороп а и Ь

{a- b) = ajfti + + віАі

н |а| ^y/af +аг2 + .„ + а% , = + Щ 4- ... + Щ.

cos a =

_ w

N|b|*

Если определитель (А), составленный из компонент «-мерных зек- торов аиаз,...,^ отличен от нуля, то система иэ п векторов является линейна независимой.

Угол между векторами а и b определяется формулой

Форм уль^_длясправак

Базисом я-мерного пространства называется любая система из п линейно независимых векторов этого пространства.

Если вектор b разложен по линейно независимым векторам аь а®,...,а*, то Ь — aiai + 4- - - + Числа - ,fts назы

ваются координатами вектора b в данном базисе а^аз,...

§ 6. Аналитическая геометрия

I, Аналитическая геометрия на плоскости.

Расстояние между двумя точками Мі (її) и Л/з^з) на прямой:

\МіМ2\ ~ \х2

Расстояние между двумя точками JWi,) и Л^хг, на плоскости: —-

WІМ21 = + -

Координаты точки М(х,у) деления отрезка M\Kh (Мі(а?і, Уі),

. ^ / ,, і М\М

Маї^ЗіІЛ)) в заданном отношении А = равны:

_ ЗЛ +

х -

У =

14- А

si + Адгд

Если М(х,у) является серединой отрезка М1М2 fА = 1), то её координаты:

VI + У2

х —

її + Х2

У =

Уравнение прямой линии;

Ах + 0 — уравнение прямой в общем виде;

д.

у t= kx + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = —

^ -ж 4J til

= ——— — уравнение прямой, проходящей через две точки

ЗРі - ®1 Й ^

Мі(хиуі) и мг{х2, У2), а fr^ і

ТІ

У " У\ — — агі) — уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении к;

at cos ос + у sin а — 0 — нормальное уравнение прямой; или

Ах+Ву+С п „ _ „

~'7л"а = 3 НУЖН0 брать противоположным знаку свободного члена С, если С 0. то знак произвольный;

1 I У 1 1 т

— уравнение прямой в «отрезках!, где ах & - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Угол между Д&умй Прямыми у — kyX + &ЬП у — 4- определяется по формуле:

і 1 + k-ikz

Если прямые заданы уравнениями Л3зг -Ь В\у 4- Сі —Он

АлВі - АлВъ

+ Вгу + С2 = 0. то

hi = k :

или

tSV?= АіЛІ + ВЇВІ Условие параллельности прямых:

Bi В*'

Условие перпендикулярности прямых: ¦

кік2 = -1 или AiAz +

Расстояние от точки до прямой х соя or 4* J/ si и а — р = 0

равно: d — cos -сї 4- Уі sin at — p\.

Пели дано общее уравнение прямой Ах 4- By н- С = О, то чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умноишть на нормирующий множитель

fi - + в*) '2.

Знак /і выбирается противоположным знаку С, а

Ах і + Вуї -Ь С

d ^

у/Аа 4- В*

Уравнзнне окружности с центром з точке s ytj) имеет вид:

(х-х0)2 + В?]

если центр совпадаете началом координат, тогда г о = — 0 и уравне

ние окружности:

где R — радиус окружности.

Каноническое уравнение эллипса с полуосями а и Ь имеет вид:

X

Фокусы эллипса fit^O) и где сг = а2 — b\ е — — —

эксцентриситет эллипса.

Каной и чес ко с уравнен не гиперболы с полуосями а н b имеет вид,:

^ У1 і ** j у2 і

Фокусы гиперболы и с»0)і где с2 = а2 4- ? = ^ —

эксцентриситет, у = асимптота гиперболы.

Формулы для справок

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси Ох имеет вид у1 ~ 2рх. Фокус

параболы находится а точке F о) (если першина находится в на*

чале координат, а парабола симметрична относительно оси Оу, тс её

уравнение х2 - 2ру)-

Диаметры эллипса. Сопряжённые диаметры. Рассмотрим эллипс, у которого оси симметрии совпадают с осями координат:

2 2

= 1

I У

-2 ,э

а о

и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом А'і {см. рис.). Тогда середины этих хорд располагаются на прямой, которая задаётся уравнением:

а~ ki

У - -

Прямая, проходящая через середины параллельных хорд эллипса, называется его диаметром- Все диаметры эллипса проходят через его центр. Обозначая угловой коэффициент диаметра эллипса через имеем:

или к2 — —5.

Диаметр эллипса, проходящий через середины параллельных хорд, называется сопряжённым этим хордам,

Два диаметра называются сопряжёнными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (см. рис.). Их угловые коэффициенты связаны условием:

і і. ^

Итак, у эллипса имеется бесконечное количество пар сопряжённых между собой диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопря* жёншлй диэметр. В частности, оси координат {оси симметрии эллипса) представляет собоґі пару сопряжённых диаметров. Эти два сопряжён-

пых между собой диаметра эллипса я ил я юте я ээакмно перпендикулярными, Т&кне диаметры называются главными диаметрами эллипса.

Замечание 1. Середины хорд, параллельных оси Оу (угловой коэффициент этих хорд обращается в бесконечность), тоже лежат на прямий — на оси O'jy, в силу симметрии эллипса относительно оси Ох.

Замечание 2. Иі условия (*) видно, что м kz двух сопряженных диаметров эллипса имеют разные знаки, т.е. диаметры про ходят Й смежных четвертях.

Формулы параллельного переноса начала коордкнат в точку О"(ха,уо) имеют вид;

я = а;'-1-Жо, у — ^ + уа^

где С^о, уо) — координаты нового начала о старой системе координат Оху,

Формулы поворота координатных осей на угм се.

х = xj cos а — у\ siufij у = xj !>'¦ ті u + Vi сова,

Коордннаты произвольной точки в декзртозых прямоугольных ко-ординатах есть х и у, а в полярной системе г и тогда связь между прямоугольными и полярными координатами х = гсаз<р) у = rsinip и обратно

Т = т/х2 + U1 , COS ф = ^ , ЗІИ if = tg ifi — ^,

0, у-0 \

0, у > О — 0,у> О < 0, О <0^ = 0 - = 0, у<0

0, у < О

11. Аналитическая геометрия в пространстве.

Расстояние между двумя точками Mi{x\>y[, zi) и

равйо:

МуМъ - л/(х2 - + ІУ2 - т)2 + — '

Деление отрезка в заданном отношении А:

_ а? і -I- _ Уі - Луг _ Zj + Xzi

ГТЛ-' V~ 1 + А : 1 + А "

fljjj Формулы дЛ-АЇтеа/І _ ¦ ¦ ''Ь

Общее уравнение плоскости:

Ах 4 By 4- Cz 4 D = 0.

Частные случаи:

D = 0, Ах 4 By -\-Cz ~ 0 — уравнение плоскости, проходящей через начало координат;

Л — 0, Dy + Cz + D — 0 — плоскость, проходяшая параллельно

оси Ох;

?Г = 0, Лх- 4- Cz 4 ?> = 0 — плоскость, параллельная оси Оу\ С — 0, Ах 4 By 4 D = 0 — плоскость, параллельная пси Ог; А = ?) = Q, Ду 4 Cz — t) — плоскость, проходящая через ось Ох\ В = D — 0, Ах -1- Сг — 0 — плоскость, проходящая через ось Од; О — D — 0, Ах 4 By = 0 — плоскость, проходящая через ось Ог; .Д = D = С — О, у = G — плоскость Oxz\ А = D — 13 = О, z = Q — плоскость Оху\ В = О — D = (it х — 0 — плоскость Oyz;

А = і? = 0, Сг -I- D — 0 — плоскость, параллельная плоскости Оцт (перпендикулярная оси Oz):

В — С — 0, Ах 4 D ^ 0 — плоскость, параллельная плоскости Oyz (перпендикулярная иси Оя);

А О — О, -f I? = О - плоскость, лараллельная плоскости (перпендикулярная оси Оу).

Уравнение плоскости а отрезка*:

" + ? + -=!¦ а 6 с

Нормальное уравнение плоскости:

хсоз а 4 2/ соз/3 + zcosy — р <= Q>

ИЛИ By + Cz+П =

Прямая, как пересечение двух плоскостей;

Лют 4 Biy + Ciz 4 — 0S Аъх 4 Въу 4 4 — О*

Канонические уравнения прямой в пространстве:

я - __ У — Z/J _ =

і m т* 3

Где АҐіСяьІГЬ1!) ~~ известная точка прямой, а - {І,т,п} — направляющий вектор прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки ArflC^litfliZi) * ^2(3:3, Уз, «і), имеет вид:

д: — Л _ у — yv _ г — z\ Х<2 — XI Уа - Уі 22 ~ *

Параметрические уравнения прямой:

х — хо + Й, у — усі + mt, z = 1

проходящей через точку Mo(aioT?0,z0) в направлении вектора а ~ t — параметр (—гю < t < оо). Расстояние от точки до плоскости:

d = Jxi COS О! + yi cosfi + 2y СОЧ f - f\

или

d =

Ax I + Byx +Cz 1 -f D

Две плоскости AiX -ь Biy + Cyz 4- DL = 0 к А2х + В2у + GVU й^ _ Cim А2 Вj Са1

перпендикулярны, если;

ЛіЛ2 + ВіВ2 + СіС2 = 0. Угол между двумя плоскостями определяется по формуле

ЛіЛз 4-ЯіЯі + СіСа

COSl/ї =і

Л не прямые:

и т

ТТІ2

x -jXi _ у —_уі _ ii їПі пі

параллельны, если

Ji

h

х — _ у - Уг _ ? - ^а іг ІТІ2 tij

- ИЬ па'

перпендикулярны, если

?1/2 Шітті; 4" UiTi; = 0. Угол между двумн прямыми определяется гш формуле

rairna + тіі«з

cos tp =

Плоскость Ax + By + Cz + D = 0 и прямая — y = *

параллельны, если

Al + Bm + Cn = 0;

перпендикулярны, если

С

і

П

А - Я

і т — 687

Угол <р между прямой и плоскостью определяется по формуле /я \ . UA+Bm+Cnl

СОВ - - Ф } - —

W *7 у^г + дг + ci 12 + тч + пя

Числитель взят по модулю, так как sin^ ^ 0. Уравнение сферы радиуса Я Имеет вид:

X2 + Vі + г2 - Я3

Центр сферы находится а начале координат.

Каноническое уравнение эллипсоида с полуосями а} Ь, с имеет вид:

2 J 2

* 1С -і* = і

(см. также С- 704-708),

§ 7. Дифференциальное исчисление 1. Пределы.

Jjm(Ui ± U2} = ііш ЇІІ ± Jim иг; Umuj - — Піп ttj - Іїтгіз;

= (limид ф 0);

nj limvs

ІІШ — —— ¦ тг~-: — — um s—пг'і

Г-™ Sm®™ + Bm-iX 1 + ., ¦ + B0 Вт*

если ті > т,

Д „п

lim ' -• если п - т,

если п < т,

Ііш Сті — С lim и, С — постоянная.

Еслн Ііш и(іс) — С, то u(a:) = С т afc), где ?7 — постоянная, л(х) —

і—щ

бесконечно малая при х —> а, И обратно, если Сг + ft (я), где С —

постоянная, a ot(x) — бесконечно малая при х —> at то lim и\х) = С»

Первый замечательный предел;

sin х , lim —— = 1,

Второй замечательный предел:

Иш (l -f -V = е = 2,71828...,

х - too V я:/

lim + а = lim (1 +а) І = є,

Q-+30 or—+0

Пусть F = 1іт{/(л;)]*<4 тогда:

1„ Если f^Avtp^B (А нВ не равны одновременно нулю), то F = AB; '

Если / —* А, А А ^ 1, a tp—* ±оо, то при А > 1 и tp —+ +оо, F — оо;

А > 1 и tp —* —оо, F 0; А < 1 и tp —» +оо, -Г — 0; Л < 1 и ^ ^ —оо, F — оо,

Если / — 1, a v?-» ±оо, то F =-- 1іт[Яя)і*(і) - О*. Запомните, что

lim (

a-i® \

lim(l + = em*

І-tO

Полезно помнить:

1, Если Um уі (і) — оо н Ііш Уі(х) — оо, то

ІІ1Ї1 <3/1 С^З +Уї(а:)) ~ оо, Нш yv{n) -Sfefc) = оо,

я—'Ха я-^яд

1 = о, lim —U- = 0.

Если lim = оо и lim = —оо, то

= 0.

lim (ух(л:) - у2(л:)) * оо, lim ^(а;) - у2{х) =-- -оо, lim —j-?

ar—«itr і-то x—»Jty

оо при С > 0, оо при С < 0.

Um = С lim y^x) - \

4. Если Km у{х) — —со, то I—ta;c

lim (у(х))

оо при 71 чётном, оо при ті нечетном.

1 ? 5. Если lim у(х) = 0, то lim —^г — оо.

t-tffo

С_ _ Г ос, I —ос

6. ІІШ

при С > О, оо, при С < 0.

7. Нт Сх

п = ( ОО, при С > О,

V

при С < 0.

8. О < а < 1: lim а* т {

г—*±«> j

О при х —» со,

оо при х —»- —со;

, ,, , Г оо при х —*¦ оо, а > 1: hm а* = < _

1 0 при я: —* —оо.

а* - / 0

а* \ tx

X

при

со.

9, 0 < а < 1: lim

ґіж

а > 1: lim —^

Я—н -±Ъ(1 X

оо при ® —> —оо; оо при х —+ оо, О при it —¦ —оо.

при а: —^ ос, ри —оо; прн х --*¦оо, оо при х —» -оо.

Ш, 0 < а < 1: lim

оо п а* \ 0 н

а > 1, О < а < I.

а > 1: lim її = { ° a І ос

Um loga x = <

lim logfJ x = і 001 ? ^ 1' 1 г-»™ ^ —oo, 0 < a < 1.

Um xn 1оей а Ф 1.

71 —» оо, n! ~\/27ГГі ; lim ^ lim =oo;

\ ї/ n—цц n ті—ідо 71.]

Inп! к; — n + In\/2Їг.

Таблица эквивалентных бесконечно малых. Если а (я) — бесконечно кэлая, то:

j) siucefa:) ** а (я:);

cosa[x) ~ 1 - ~ (а(т))2;

tgct(:c) ^ а(^);

атсзІті л(лг) ~ а (г);

arctg ~

ftftt*> +

е<*Ю ^ і +

Ці ~ '

[1 + ~ 1 + тф);

У1 + а(х) - [1 -V- ~ 1 + і a(x)r

Таблицу эквивалентных малых можно представить в следующей виде, пусть х -+ О, тогда

і ^ sin х — X - + ofc3),

і> 4

созя ™ 1 - у 4- + o(i )*

О:3

агсэт х = ® + -у -V-

і о(.v3),

т.

arcctg® = ¦ ¦¦ - aretgi,

¦н

= „Л-'ІИП _

1 + і Ida h \ ln3q

(1 _4i = I ± n^-t- \ n(n - l)z2 +

yfі 2 m \ИЇ }

CZ им но л (читается о малое DT І) не пользуется при сравнении бесконечно малых. Пусгь з; —> тогда запись о(.г) означает любуго бесконечно малую белее высокого порядка, чем бесконечно малая х. Условие непрерывности функции ;

lam = lim (/(s + йх) - /Ы] = О

(или Піц — /{#о)) — бесконечно малому приращению зргумен-

та соитветстпу^г бесконечно малое пииращенйе функции Ау ¦-=

-/О 4- Ax)-f{x)>

її. Дифференцирование,

Производной функции у' — ^ = ГШЫВЗСТСЯ предел отношения

йъ ах

лрнращении функции к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к нулю:

Да;

t dy df ri і-

dx d\г і Ї—ьО

Геометрический смысл производной: производная есть угловоґі коэффициент касательной к графику функции у ~ f{x) в точке с абсциссой ,

І^Лсханичссний смысл производной: первая произвадная пути по прем сни есть іжирость, а вторая — ускорение.

ЕСЛИ функция у = f{x) дифференцируема R некоторой точке, то она в этой точке непрерывна (обратное яе всегда верно).

Дифференциал независимого переменного совпадает t его приращением <~kt - Аз.

Дифференциал dy функции у = f{x) равен произведению пронз- ео^^ой функции на дифференциал незабнеимого переменного dy —

Применение дифференциала функции в приближённых пцчцелениям;

f{x + Ах) я /(я) + /'(<р) - Да.

Свойства дифференциала:

d(ufj) = и dv + v du\ ± v) = du ± dtr;

где С — постоянная; v du — щ dv

v

Формулы для справок

d(C и) = С ¦

du = ГМ - *t? где v. = f{u)> и = и(х),

Уравнение касательной к графику функции у = f{x) з точко

у = /(^l) + f {x^ix-xi),

а нормали

(х-хі).

У = №i) -

Леї)

Теорема Лагранжа:

а < с< Ь.

№-Ка) = Пс){Ь-а),

Теорема Лопиталя: Если функции /{х} и (р{х) являются од непременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при х —» а и при этом существует предел отношения их производных при х —*

-? а, то

1ІШ

/М _ Um ZM

(раскрытие неопределённостей типа 0/0 и оо/ао).

Если дифференцируемая функция у = /(а:) возрастает на отрезке lajfrj. то на этом отрезке f'(x) ^ 0.

Если дифференцируемая функция у — f(x) убывает на отрезке [e,tj, то на этом отрезке f'{x) < 0.

Обратно:

если fr(x) > 0 на отрезке [а,Ь], то на этом отрезке функция у = = f{x) возрастает;

если f'(x) < 0 на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке функция у ^ st f{x) убывает.

Необходимое условие существования экстремума (максимума или минимума); если функция у =¦ /(ж) имеет в некоторой точке экстремум (максимум или минимум), то ее производная в этой точке или равна нулю, или не существует, либо бесконечна.

Достаточные условия экстремума.

Если при переходе через критическую точку (точка х> в которой /'(х) = 0 или не существует) слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, если же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет минимум, т.е. в точке Х\ функция имеет минимум, если f'(x) > О при х > Xi, и < 0 при х < Xi (/'(х) = 0, оо);

в точке Xi функция имеет максимум, если f'(x) < 0 прн х > її и f'(x) > 0 при х < Xi (f'(x) — 0, оо).

Если /'(xi) - Он f"{*i) < О, то функция f{x) в точке х\ имеет максимум.

Если /'(xi) = 0 и /"(^і) > 0. то функция f(x) в точке Xi имеет минимум.

6fJ3

3. Пусть m — целое положительное число и пусть в точке X О выполняется условие Г(С) =/"(С} = - = 0, /fm>(C) ф

ф 0, тогда если m — четное, то f(x) имеет экстремум в точке х = С: максимум, если f^{C) < 0, и минимум, если >0, Если т —

нечетное, то х — С течка перегиба.

График функции обращен выпуклостью иверх (выпуклый) на отрезке la>b], если на этом отрезке f"(x) < 0, и обращен выпуклостью вниз (вогнутый), если f"(z) > 0.

Если /"(xq) = 0 или f"(x0) не существует и при переходе через точку хо ГСроиэводная f"{x) меняет1 знак, то точка графика с абсциссой 3d есть точка перегиба.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значення функции на отрезке fo, Ь], необходимо:

найти все максимумы и минимумы на отрезке \а,Щ (г.с. /таж

И /иші ) і

вычислить /(а.) \л /(Ь);

из полученных значений функции выбрать наибольшее и наи-меньшее.

Таблица производных (если и = х. тб и* І):

у = const, у' = 0.

(и ± v ± w ± ...)' = v' ± v' ± wf ± ...

(шли)' = т/ - V * w + и * v' ' VJ + и V ' wr.

(Си)' = Си

(иг1)' = Ті -ип'1 ¦ и'.

б — u v _ \V/ Vі

(аatJ In а ¦ и\ (fi11)' = ец tf.

(1 ofciiy-^lqfc* (Ьи)'-ііі'.

(siи її)' = cos и ¦ и'.

(cos и)' = — sin it • и'.

и'.

cos2 и

IK (tgu)' -

12. (ctg ia)' —¦ и'

sm и

u'.

w

13, (aicsinu)' =

\f\ - u*

H- (агссозиУ — ,—-:-¦—

( vl -

L

u'.

l+ti'

(arctg и)' —

(arcctgu)' =

17. (г - /Н. ч — тогда і/і = ¦ u'x,

693

18, Если у = /(я), х — <р(у)і где / и — взаимнообратные функции, то

19. Если у ~у(і)-, х ~ где < — параметр, то

/ _ у[ // _ dj _ ;уих[ - xUy,

у* dx 7t йр

Асимптоты,

Если lim f(x) = =Ьоо, или Ііш f(x) = нли lira /(я;) =

i^d+O з—«а-0 а:—'а

= ±оо, то прямая х — а вертикальная асимптота кривой у = f{x).

Если существуют пределы lira ^^ A", Uxn f/(x) — = Ь

x-rioo X i—>dbeo

и выполняется равенство lim [/(г) — кх — Ь] — 0, то прямая у — кх 4-

ЭС-

-j"Ь есть наклонная асимптота графика функции f(x).

§ 8, Интегральное исчисление

= f{x) dx.

= +

j Л ¦ f(x)dx => Л J/fsJefa, Л — постоянная

постоянная

ґі

Таблица интегралов, і. Id® = х + с.

если . гс > О, если х < 0.

695

§8]

j axdx = \ е* dx

J sin x dx — — cos x + C.

^ aw xdx — sinx + C.

M -ї^Ч = -arctg- +Ct f-A, »aictgir + a J гГ + s О a J 1 + X

В. \ aicain - + C, = arcsin x + С.

J tg xdx — — In f cos x I + C.

J ctg x dx = In I sin + C.

COS .T

=* - ctg x + C.

sin я

12r

Г dx Li I a + a; I . л

J3

¦ — 2 — T" ІП +

= In |ar + vx2 ± I 4- a

14

1 a¦ — ж 2a ¦ la - T I ¦f

15,

~ln №)l + \?Ш(х)<& - і /*(*) + с,

Г ^ = I -Щ-r = arctg/О) + С, 1 + /3(®) J 1 + f{x) hJK '

f\x)dx _ L 1-U + /Ы , r 1

І6.

udv = uu — J — формула интегрирования по частям.

Формула ] [ьютоне-Лейбннцз:

ь

J f(x) dx = F(b) - F(a), если F'(x) - f(x).

Свойства определённого интеграла.

' Ь Л

а а

а

2. j/(x) da; = О,

о &

| f{x) dx = - j Дх) da:.

а 6

Ь с Ь

j /(х) dx = J /(х) е&г + j /(я) ДЛЙ любых at bt с.

а а с

ft Ь

| А ¦ /(s) dx ~ Л J /(г) dx, где Л - const,

а а

Ь 6 і

j [Д(х)і h(x)] dx = \Mx)dx±\MX)dx.

a ti а

7* Лй.

а х

S. j/(ar) dx — (& — о)/(С), а < С < Ь. f(C) называется средние

значением f(x) на отрезке [а, 6], h ь

9. Jutto = — ^vdu — формула интегрирования по частям для .і а

определённого интеграла. Несобственные интегралы.

оо R

I. j f{x)dx= lim f{x)dx1 J Я^со J

а a

b

f f(x)dx~ lim ' Дх)<іх, J

—oe>

CO

oo Ki

Г f(x)dx^= lim f(x)dx.

J Д[—юо J

—oo Яз-*—oo Hi

2. Если функция f(x) имеет разрыв в точке х — то

« Г|

j f{x) dx = RIiin о I f{x) dx,

а если f(x) терпит разрыв в точке х — а, то

/ и

f{x)dx = J /(as) dx.

Ml

/.іv.-suy,- ?;т, ¦¦ ,Q- Интегральное исчисление HZi

Если f(x) имеет разрыв во внутренней точке с отрезка М, то } f(x) dx - f f(x) dx + f Six) dx = Urn ] Д*) ^ + JJft j /М dx.

ї І с '

Если /(x) чётная, т.е. Дх) = Д-х). то

j = 2 ]/(«)<** -a 0

Если f{x) нечётная, т.е. Дх) = ~f(—x)> то

a.

J f{x)dx = 0.

— a

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывными линиями у = f[x)> ОСЬЮ Ох и двумя прямыми а « а; = ь, равна

f(x) dx.

Если площадь фигуры ограничена двумя непрерывными линиями у = У1(х) У2ІХ) ? Vi(t)) и двумя прямыми я = a, х - Ь

(а < Ь), то

?

jhfefr) -tfiWI^®-

а

Если же площадь ограничена кривой, заданной в параметрической форме X = у = у(ь) и Прямыми х = a, х = Ь, то

ti

S ш

y{t)-x'(i)dt,

ti

где пределы интегрирования находятся из уравнении a = 2 0), По этой формуле можно вычислять фигуры ограниченной замкнутой кривой при изменении параметра t от и до t2 должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке.

В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой г = г(<р) н радиусами-векторами tp = а, <р - Р равна з

s=l-\r4Длина дуги кривой у = f{x) от точки х ™ а до точки х = Ь равна:

L =

sfl + |/'(*)Р dx.

При задании кривой параметрическими уравнениями х — a:(?)t У — (ti ^^ ^2) длина дуги кривой равна

и —-

L = \ yfx?+y?dL

h

Длина дуги кривой т = в полярных координатах равна

L = J фdip.

а

Объём тела с известным поперечным сечением равен:

Ь

а

Объем тела вращения равен: 1) вокруг оси Ох:

V* = л | у2 dr;

2) вокруг оси Оу:

Vy=*

x2(y)dy или =

d

§ 9. Функция нескольких переменных

Частное прнращение функции я =

ДГг = f(x -Н Да:, р) - /(ас, у). Дуг = у 4 Ау) - /(я, у). Полное приращение функции:

Д^ — + Дя, у+ Ау)- f(x, у).

Частные производные функции г = /(я:,у):

™ = lim -т=- — lim -г—.

ifx it-jO Ах ау Ду—»о А у

698

Условие непрерывности функции:

(или Jim f(x,y) - f{xo,yQ)).

Полный дифференциал dz функции г = от двух переменных

я и у равен;

где йл = Ах, dy ™ Лу.

Необходимые условия экстремума: если функция /(^ <у] достигает экстремума при г: - у = уо, то каждая частная производная первого порядка or f(x}y) или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Достаточные условия экстремума; пусть А ~ уо), В —

= Щ с^о, Уо), с - f" (хо, Уа). тогда

а) если АС — В > 0, то f{x,y) имеет максимум при х = .г0- у = у0 при А < 0 н минимум при А > 0;

б) если АС — Б- < 0, то экстремум отсутствует;

в) если АС - В2 = 0, то требуется дополнительное исследование (экстремум может быть и может и не быть).

§ 10. Ряды

ГГусть дан ряд

оо

аі'+аа +аз +... + а„ + = ^ пп. (1)

N —!

На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его

Если ряд (]) сходится, то сходится ряд

х-

Са\ + Cd2 Ч- -- - +Саи 4- ... = ? Слп,

n=i

С — постоянная. Если р

Яды ... + Дтт + .*>u Oi + т Dpj 4* сходятся,

то ряды (ai ± ?>0 -+- {а2 ± Ьз) + + ± Ьп} -к.. также сходятся. Необходимый признак сходимости ряда;

если ряд (1) сходится, то предел общего члена при ті —> оо равен нулю, т.е. Ііш д„ = 0;

если жеіїїі член ряда не стремится к нулю при п эс, то ряд расходится.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

ai +02 + ... + ап -... (2)

Ь + Ъъ (3)

Если йп ^ bn (п lt2>..,) и ряд (3) сходится, то сходится н (2), сслн же ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3).

Предельный признак сравнения. Если выполняется неравенства

О < Ііш ~ < оо,

п^-м ?>Р1

то ряды (2) и (3) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Признан Даламбера, Пусть для ряда (1) > 0) существует

lim ^^ = I, тогда при ? < 1 ряд сходится, а при I > 1 ряд расходится.

л—too а„

При I s= 1 признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда, требуется дополнительное исследование

Признак Кош и. Пусть для ряда (1) (&„ > 0) существует Итп^ aZ —

- і. Тогда при f < 1 ряд сходится, а при і > 1 расходится. При I ~ 1

требуется дополнительное исследование,

Следует помнить, что Иш Ч/ТЯп 4- W + & = 1, J3> ?> — постоянные.

Интегральный признак сходимости. Пусть член рядя (1)

{и,і >0) меньше предыдущего, тогда ряд сходится, если интеграл

я

J a7ldn сходится. 1

м 1

Пример, Ряд ^р сходится прн р> 1 и расходится при р < 1,

п= 1 "

так как „ , , „

я Ґ Л

Г* = цт "Т^Г при

J nP R-oo Я? ) і п ,

і (_ mfl при р — I.

Тогда при р^ I н R —> оо интеграл расходится, а прн р > I и R — * оо интеграл сходится.

Признак Лейбница для ряда со знакочередующимися членами: если |оі| > |аг| > ]оз| > ... > Jan] > т.е. ц„ —> 0 при п -r+oo, то знакочередующийся ряд

+ ... + (-1}пап-Ь ... - ? (-1 )паТ1

сходится,

Признак сходимости для знакопеременного ряда (ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные). Если знакопеременный ряд

а\ Ч- (12 -И ад -h+ + -- (*)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

|«і| Н- Ы + l«sl + (**)

сходится, то и данный знакопеременный рйд также сходится. В этом случае ряд (*) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд {*) сходится, а ряд (**) расходится, то ряд (*) назынается условно, или неабсолютно, сходящимся рядом.

Радиус сходимости степенного ряда

ао + о>%х^ -К., + апхп + ...

определяется по формуле:

а,

R = Em

n—WO

или ^ — lim У\ап\ ¦

М. п— ао

Разложение функций в степенные ряды. I. Формула Тейлора.

Если функция у — f(x) имеет производные 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности — а\ < точки а, то для всякого х из этой окрестности справедлива формула Тейлора

п

№ = Е

fn=0

Ї^М (X - а)™ + о{(х ~ аГ), 01 = 1, /®(а) - /(а),

В частности, при Й = О имеем (формула Махлорена)

n r(m) j

tn=0

2. Разложение функции в ряд Тейлора.

Рядом Тейлора для функций f(x) называется степенной ряд

'М -? - № + ^ с« - а) + Ф (.-а)1 +

п\

+ +

При а — О этот ряд называется рядом Маклорена

Е

„п

п!

№

Разложение основных Элементарные функций в ряд Макгореня:

t ' т' -г"

u=Q оо „ап

Л

Лл

її -О

= ? (-«"5 = - тг + !г - ?г+- + W^r + >

CXJ ?

n=D

(\х\ < do). 1 nn а

а1 = -

xMn^fi . я In л ac3]jiaa

- = 1 -) 77 1 ——- 'h ^ . T

]f

2!

71!

nl

{\x\ < ).

'J Ti I j

3n +:

(2n+ L)1 3! 1 5! 4 ' (2n + 1)!

(1*1 <осї-

2n

'in

M

, a;'1

—=- ¦1 - %+ir - + <-«"w!+••••

(}x\ < oo).

—1~ ¦ * * 1

In(1 + s) = ? = ^ + ^ + (-l)"-1^

n^l

(-1 < a: ?1).

(™1 < ж ^ 1).

(M < 1).

1 00

*n = + + (H < і).

1 J- n,

(1 +x)m mfc^Lii ^ + M-n- l)(m-fl) ^ + _

(|ic| < 1,7)1 > 0).

3!

іг- , 1 ¦ 3 ¦ я5 , 1 - 3 ¦ fi - х7

2-4 Є 7

(И < 1, т> 0) + -. (Marctg* + + + +'"¦ Сі:г' < 1)1

ь ^ т 3 1(5 315

СО .тт

arccos = ^ — aicsm д:, nrccfeg^ = ^ — arctg з?,

sm(x + a)-? + И < оо.

п^О

сов(л; + (0 = g ^««(e + S), |«|<оо.

1Т1+1

(Зп)Г ' |л;| < оо.

? =1Е (-1)

n— 1

їі-0

Sh

п+1 (2sc)

]х| < оо.

cos

= 1 — sin2л; = 1 (-1)"4

П=ї

Вз5 Здр „ 5f 6!

Ja;] < оо. {х\ < оо.

ЗІД!0 6!

ecasi = 1 - ^ +

+

2Т

4!

37.iT

ir

N<

|х| < L

К.

2Е- 4!

2!

3[

5!

3*rcsmar _ і і _ і ^ J <

7гс4

2 З

Є ' 21 3! 4f

rt (2n— 1)!!

N < і-

to

(2n)U 2n + 1'

(a + vT+ї5)

(2n— I)!! - 1 - 3-5,..(2n-3){2n - 1).

(2n)!! - 2'4'6„. (2n — 2)(2n). (2n+ 1)M = 1-35... (2n — l){2rc + 1).

(1 + x)І - « (l - § + U ** - ^ ^ + ¦..) , M < 1.

703

(М < !)¦

*¦

0 < |х| < IT.

2 , 2 „7

& Т

х

Т

1-а; о

2835

Insina; = In Іяі

ISO

о

7Г ^ 7Г

"2 <Я<2"

17а;

1псоях = - ~ ~ 2520

0<|®| <

3 " 90 ~ 2S35 При суммировании рядов полезно помнить, что

n=t

ST - і + 1 - ї + - In2'

n= L

^ 1 11

4'

+ — = 1; + ... ¦ 2In2 - 1;

5 1

vbiCi^i-i+i-...»;:

^w I

n-l

+

co 1" ^

Ti(n + 1) 1-2 " 2-3

n— 1

fcl)2lL « — —

n= 1

oo

12 2-3 1

m

xi^l™ 2

121

з5 F s

» (~1Г+1 1 + JL-_ ... e 0 91597 -F

t»

mo] -

ЛI ¦ Z^ „! eJ n>0 « = 0

^ (2n - 1) 5

-і

ой _,

ft -е

— е + е ¦ "V4 і

(2п)! а (-1)" -

(2п)\ ~ 2 ' ' (2n- і)!

п=0

л=а

г»

у і^Чг — cos 1 — cos57° 17'45" = 0tb4030:

/і=0

оо

V ^"^.ті = sin 1 = gin57° 17'45" = 0,84147... і

^ Vті "

^ | і / 1 I 1 \

? п(п + m) = т Iі + 2 + з + "' + тЬ m ' натуральное число,

¦ —

l+i+J_+ +

4 ' 9 16 Ы^-2)*

+

1

rt+ї-т

j j 5

m *—; тп

ІПйЗ nt = 1

ОҐЇ

oo

1

E

^ l)(rt + 2)

OO

fl - 1 ? 2 (п Л

\n + l n + 2/ 2 2 2 4

§ 11. Поверхности второго порядка

Эллипсоид (рис. 166)

** + ^ + ** - l

При а = b = с — R: х2 + у2 + z2 ~ Л2 — шар. Одно по лестной гиперболоид (рис. 169)

1 1 2 ® , У _ г _ П

2 э 2 У "

о о с

Двуполостной гиперболоид (рис. 171)

^ + *г - 1 ї? ^ ~ ?

Эллиптический параболоид (рнс. 170)

2 2

——f- — — 2ї fr>0,<7>0).

33 Ю-И. Климент

и = a sin3 t Кардиоида (рис, 179)

г — а(1 + cos .

Циклоида (рис. ISO)

х. — a(t — sin у = a (1 — cost).

708

Латинский алфавит А а — a В Ь — бе С с — це D d — де Е е — e F Г — эф G g — ге Н h — аш 1 і — и J І — йот К k — ка L L — эль M m — ЭМ Nn — ЭН О о — о P p —¦ ПЭ Q q ку R r . —* эр S 5 — эс T і — ТЭ U u — У V v — вє W w — дубль-ве X x —* икс Y у —¦ игрек Z z — зет

Греческий алфавит

А а — альфа

В р — бэта

Г 7 — гамма

AS — дельта

Ее — эпсилон

Z ( — дзета

Нг? — эта

Gi9 -¦ тета

І і — нота

К х — калла

Л Л — лямбда

Мд — мю

N^ — ню

Е ? — кс и

О о — омикрон

Пїг — пи

Р р — ро

So* — сигма

Тг — тау

Ти — ипсилон

Фір — фи

Х^ — ,хи

Фф — пси

fiw — омега