НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

из них. Применительно к широкому классу теорий и исчислений, для к-рых справедлив принцип «из лжи следует любое предложение» или к.-л. его формальный аналог (напр., импликация А&А В), Н. равносильна наличию хотя бы одного невыводимого предложения (недоказуемой формулы). Это свойство, с одной стороны, показывает важность понятия Н. (не обладающие свойством Н. противоречивые теории действительно некорректны, тривиальны, бессодержательны, поскольку любое их предложение — как содержательно истинное, так и содержательно ложное — равно оказывается «доказуемым», т. е. понятие доказательства в них совершенно обесценивается), а с другой — может быть положено в основу самого понятия Н., позволяя определить его как наличие в данной системе хотя бы одного недоказуемого предложения (или формулы). Каждая содержат. логич. или математич. теория предполагается непротиворечивой. Однако обнаружение парадоксов (антиномий, противоречий) в теории множеств (а следовательно, и во всей базирующейся на ней т. н. классич. математике) показало нетривиальность проблемы Н., её важность, трудность и глубину для логики и математики. Трактовка понятия Н. и пути разрешения связанных с ним трудностей существенно различны в различных школах оснований математики и логики (см. Логицизм, Формализм, Интуиционизм, Конструктивное направление). См. также статьи Аксиоматический метод, Метатеория и лит. к ним.