27. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого

1) Точка называется изолированной особой точкой для , если аналитична в кольце вида (всюду аналитична в окрестности этой точки за исключением самой точки)

Пусть -- изолированная особая точка функции .

2) Точка называется устранимой особой точкой, если разложение в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней: . Особенность легко можно устранить, положив

3) Точка называется точкой типа “полюс”, если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней. При этом если , то -- простой полюс, или полюс первого порядка, а если , то полюс кратности или полюс -го порядка

4) Точка -- существенная особая точка для , если разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней

Теорема27: пусть точка -- ноль -го порядка аналитической функции , тогда функция

в точке имеет полюс -го порядка

Доказательство:

-- ноль -го порядка, поэтому , где аналитична в точке и

Тогда

Так как , то аналитична в точке . Поэтому в окрестности точки раскладывается в ряд Тейлора: .

Поэтому

Так как , то -- полюс -го порядка для функции

Теорема28: пусть -- полюс для . Тогда

Доказательство:

Теорема29 (теорема Сохоцкого): пусть точка -- существенно особая точка функции . Тогда каково бы ни было (конечное или бесконечное), существует последовательность из области определения функции такая, что

Доказательство:

1) Пусть , тогда .

2) Пусть -- число. Предположим, что не существует ни одной такой последовательности