Какой-вощосы. Их субъекты. Реальные и номинальные альтернативы
В первом приближении яшсой-вопросы — это такие вопросы, которые задают свои альтернативы путем отсылки к матрице и к одному или более категорным условиям. Например, вопрос
- Какое натуральное число является наименьшим простыму большим чем 45?
предоставляет бесконечное множество альтернатив путем отсылки к матрице
- х является наименьшим простым числом у большим чем 45
и к категорному условию
- х — натуральное число.
В разд.
1.0 мы выдвинули требование, согласно которому с каждым категорным условием связаны два разных множества: во-первых, множество имен (например, арабские цифры 1, 2 и т. д.), а во-вторых, множество вещей (например, множество натуральных чисел). В том же разделе множество имен, связанное с категорным условием, было названо номинальной (именной) категорией, а множество соотносимых с ним вещей — реальной (действительной) категорией. Аналогичную пару понятий можно ввести и для /ся/сой-вопросов. При попытке определить, какой ответ «действительно» хотел бы получить автор вопроса (9), мы колеблемся перед выбором числа 47 или символом числа «47», и это колебание отражено во вводимой паре понятий — реальная и именная категории соответственно. Если бы номинативная функция семантики была одновременно и инъективной и сюръективной, нам не были бы нужны оба этих множества. Однако номинативная функция, вообще говоря, не является инъективной, так как два имени могут обозначать одну и ту же вещь (например, имена «З2» и «9» оба обозначают 9), и в то же время не является сюръективной, поскольку при любой заданной интерпретации могут найтись объекты, не имеющие имен (поскольку, например, действительных чисел больше, чем имен, то, какова бы ни была интерпретация обычной математики, найдется множество непоименованных действительных чисел). Напомним, что номинальная и реальная категории связаны требованием, согласно которому, какова бы ни была интерпретация, для каждого категорного условия денотаты имен из номинальной категории, определяемой этим условием, должны входить в множество вещей, т. е. в реальную категорию (так, денотат имени каждой арабской цифры есть число).Различение двух типов категорий приводит к выделению двух типов альтернатив, каждый из которых играет определенную роль в эротетической логике. Назовем их соответственно номинальными (именными) и реальными (действительными) альтернативами. Номинальные альтернативы, предоставляемые вопросом (9), определяются как результат тех и только тех подстановок элементов номинальной категории вместо х в матрицу (10), которые подчиняются категорному условию (11), т. е. подстановок вместо х арабских цифр, отличных от 0. Таким образом, номинальными альтернативами, удовлетворяющими условию
- , будут следующие: «/ является наименьшим простым числом, большим чем 45»; «2 является наименьшим простым числом, большим чем 45» и т. п. Это множество номинальных альтернатив называется номинальной (именной) областью вопроса (9).
Реальные альтернативы, предоставляемые вопросом (9), не могут быть определены в терминах подстановки, так как, очевидно, подстановка неязыкового объекта вместо переменной х в матрицу (10) бессмысленна. Тем не менее достичь желаемого результата можно, определяя реальные альтернативы, предоставляемые вопросом (9),' как упорядоченные пары вида lt;/, «х является наименьшим простым числом, большим чем 45»gt;. Здесь под / понимается функция, ставящая в соответствие переменной х некоторый объект из реальной категории, связанной с условием (11), т. е. некоторое натуральное число. Такую упорядоченную пару можно трактовать как предложение, утверждающее, что вещь /(%) удовлетворяет матрице (10). О его истинности или ложности можно говорить в зависимости от того, удовлетворяет вещь этой матрице или нет.
Набор всех реальных альтернатив образует реальную (действительную) область вопроса (9).Из приведенного выше примера роль, какую выполняет функция /, еще не видна, поскольку мы интересуемся только одним ее значением — f(x). Эта роль станет очевидной, когда мы перейдем к рассмотрению «реляционных» ка/сой-вопросов типа
- Какие из мальчиков являются братьями каких девочек?,
отсылающих к двуместной матрице
- х является братом у вместе с парой категорных условий — для каждого места свое условие:
- х является мальчиком у а у является девочкой.
Именная область вопроса (12) состоит из различных предложений, получаемых в результате замены переменной х на имена мальчиков и переменной у на имена девочек в матрице (13), а реальная область этого вопроса состоит из различных пар вида /, «х является братом у», где f(x) есть мальчик, a f(y) есть девочка [**].
Чтобы в дальнейшем иметь удобный способ говорить о «вопросной схеме» типа
- Каково решение уравнения а + x=b?f
полезно отличать терминологически те переменные в матрице вида а+х=Ь, о которых спрашивается в предложении (здесь такой переменной, разумеется, является х), от других переменных или констант (здесь: а и ft). Переменные первого типа будем называть вопросительными (queriables). Именно эти переменные «эротетически связаны»: они не являются ни свободными переменными, ни переменными, связанными обычными ассерторическими кванторами,— они связаны самим интеррогативом.
Адекватное обобщение введенных понятий должно позволить опускать категорные условия, управляющие всеми или несколькими вопросительными переменными матрицы, поскольку возникающие под действием этих условий ограничения на альтернативы в ряде случаев оказываются ненужными или даже нежелательными. Кроме того, обобщение должно отразить тот факт, что категорные условия, отличающиеся друг от друга только своими вопросительными переменными, эквивалентны.
Поэтому мы вводим понятие категорного отображения во множество вопросительных переменных X. Функция g называется категорным отображением в X, если g есть отображение некоторого (возможно, пустого) подмножества множества X в множество классов эквивалентности категорных условий. Смысл данного определения заключается в том, что там, где g(x) не определена, х не зависит от категорных условий; если же g(x) определена, то х подчиняется любому произвольно выбранному категорному условию из множества g(x) эквивалентных условий.Итак, для определения реальных и номинальных альтернатив, задаваемых какой-вопросом, нам в общем случае необходимо иметь три объекта: 1) множество X вопросительных переменных; 2) категорное отображение g в множество Х\ 3) матрицу А. Если X непусто, мы определяем понятие абстрактного какой-субъекта как тройку lt;Х, ggt; Лgt;, состоящую из этих единиц [††]. Вспомним, что в разд. 1.2.1 отмечалось, что абстрактный ла-субъект ла-вопросов — это то же самое, что область альтернатив, тогда как для какой- вопросов понятия абстрактного субъекта и области альтернатив не совпадают. Поэтому даже если в каком-то частном случае два какой-вопроса предоставляют одно и то же множество альтернатив, мы все равно будем считать два ка- кой-вопроса с разными субъектами разными.
Соответствующие определения альтернатив, предоставляемых какой-вопросами, таковы. Пусть тройка
- lt;X,g, Ахі ... х„gt;
есть какой-субъект, где X — непустое множество {хи . . хп\ вопросительных переменных, g — категорное отображение в множество Xt а Ллгі . . . хп— матрица. Тогда номинальными (именными) альтернативами у образующими номинальную (именную) областьу определяемую данным кассой-субъектом и задаваемую произвольным вопросом с этим субъектом, называются выражения вида Аа± . . . ап, которые являются результатом подстановки (для каждого і) имени at вместо вопросительной переменной xt в матрицу AXi . . хп\ причем должно выполняться следующее условие: если g(Xi) определено и является классом эквивалентности категорных условий Сх, то at принадлежит именной категории, определяемой Сх.
Реальная область, будучи семантической, должна быть релятивизована относительно интерпретаций. Пусть М — произвольная интерпретация. Тогда реальные М-альтерна- тивЫу или альтернативы в М, образующие реальную М-область, или область в Мgt; определяемую /ш/соа-субъектом
- и предоставляемую произвольным вопросом с этим субъектом,— это все пары вида lt;/, Ахг . . . хпgt;9 где f — функция, аргументы которой суть вопросительные переменные из множества X, а значения — индивиды в Мgt; причем выполняется следующее условие: если g(xt) определено и является классом эквивалентности категорных условий Сх, то f(Xi) является реальной Л1-областью условия Сх. Реальная М-альтернатива lt;/, Ахг . . . хпgt; истинна в М, если матрица Ах і . . . хп истинна в такой интерпретации Мкоторая совпадает с М везде, за исключением приписывания значения f(xt) переменной xt для каждого і. Реальные и номинальные альтернативы связаны друг с другом следующим определением: если М — интерпретация, то соотносимая с множеством вопросительных переменных {*и и матрицей Ах\ . . . хп номинальная альтерна
тива Ааг . . . ап, полученная путем замены при каждом і xt на аи обозначает в М реальную альтернативу lt;/, Ах і . . . хпУ, если для каждого і имя at обозначает в М индивид f(Xi). Допущения, которые мы приняли в разд. 1.0 относительно реальных и номинальных альтернатив, дают нам гарантию, что если Ааг . . . ап — именная альтернатива, предоставленная субъектом (16) и обозначающая в М реальную альтернативу lt;/, Ахі . . . хпgt;, индуцируемую множеством X и матрицей Ах і . . . хп, то эта реальная альтернатива будет предоставлена какой-субъектом в М. Например, соотносимая с одноэлементным множеством вопросительных переменных \х\ и матрицей (10) номинальная альтернатива «53 —наименьшее простое число, большее чем 45» обозначает в главной интерпретации реальную альтернативу lt;/, х — наименьшее простое число, большее чем 45gt;gt; где f(x)=53.
Система обозначений.
В разд. 1.2.1 нам легко удалось найти подходящую систему обозначений для ла-субъектов, и на этой стадии построение системы обозначений для ка/соа-субъектов не составит, по-видимому, большого труда. Как мы говорили, абстрактный какой-субъект (16) составлен из множества вопросительных переменных, категор- ного отображения в это множество и матрицы. Существует множество способов построить формальную систему записи, по которой можно однозначно восстановить абстрактный какой-субъект и которая тем самым будет удобной для задания лексического какой-субъекта. Предлагаемая нами система кажется нам и компактной и удобной для чтения. Лексическим какой-субъектом будем называть выражение вида- (CiXf9 ..., Crxr1 xr+j, ..., xn/fAxi ... xn),
где хь . . ., xn— непустая последовательность переменных, не содержащая повторений (п^ 1), а СіХі, . . ., Crxr— (возможно, пустая) последовательность категорных условий, таких, что каждое категорное условие С1х1(1^/^г) содержит xt в качестве единственной свободной переменной. Смысл этого определения состоит В ТОМ, ЧТО Хї . . . хп— полное множество вопросительных переменных, из которых первые Гу являющиеся свободными в составе соответствующих категорных условий СіХі, . . ., Crxrf будут подчиняться этим категорным условиям. Естественно — и это определение,— что переменная х* должна подчиняться категор- ному условию СіХіу куда она входит как свободная, тогда как стоящие отдельно переменные хг+1, . . ., хп называются категорно-свободными.
Интеррогативы, имитирующие кшсой-вопросы, т. е. какой-интеррогативЫу имеют, следовательно, вид
- ?р (CjXf, «. •, CjXry xr+f, ..., хпЦAxf . • • хп)
или, в том частном случае, когда все вопросительные переменные категорно-свободные,
- ?р(х*, ...tXj/Axt ... хп).
Об интеррогативах вида (19) говорится, что они являются категорно-свободными.
Если нам дана запись лексического /сшсой-субъекта (17), то мы по ней восстанавливаем обозначаемый ею абстрактный какой-субъект (16) следующим образом. Множество вопросительных переменных X в составе (16) есть множество свободных переменных, которые стоят в (17) слева от двойной косой черты; категорное отображение g есть функция, определенная ровно для тех хи которые подчиняются одному из категорных условий Cixu . . ., Сгхг, причем для каждого хи g(xt) есть класс эквивалентности С4х,- категорного условия СіХи подчиняющего xf, матрица А в составе
- есть формула, стоящая в (17) справа от двойной косой черты.
Обо всех разнообразных понятиях, которые мы здесь определили, будем говорить, что одни из них определяют (determine) другие в соответствующих контекстах: (16) и
определяют соответственно абстрактный и лексический субъекты интеррогатива (18); (17) и (18) определяют реальные и номинальные области, предоставляют реальные и номинальные альтернативы и содержат множество вопросительных переменных, категорное отображение, множество категорных условий и матрицу. Конверсное отношение передается сочетаниями типа вопросительные переменные интеррогатива (18).