Неявная входная информация и правила

В части I мы считали, что вся информация, вводимая в компьютер, атомарная, так что мы могли иметь дело только с сетапами. В части II мы обобщили ситуацию, допуская в качестве входной информации более сложные, функционально составленные формулы.

Вы, возможно, тут же подумали, что можно было бы получить результат «из данных А и В выводится С» или «если А и В, то С», вводя в компьютер «~ А у ~ By С». Однако это не так: последняя формула стремится расщепить полученный сетап на три, в одном из которых А отмечено как «Ложь», и т. д. В то же время нам бы хотелось (грубо говоря) только улучшить единственный имеющийся сетап, приписывая значение «Истина» для С, при условии, что А и В отмечены как «Истина» (и в противном случае, оставляя

т

все без изменения). Это, вообще говоря, и есть та идея; которую мы хотим разъяснить.

Неявная информация. Давайте введем обозначение «А -gt; -gt;¦ В» для записи вывода В из А, так что теперь у нас есть запись импликации и мы ищем ее значение. В предыдущем разделе мы нашли хороший способ приписывания значения для выражений, понимаемых как входная информация: из всех возможных способов компьютер должен улучшить свое эпистемическое состояние минимальным, с тем чтобы сделать вводимое выражение «Истиной». Итак, мы хотим интерпретировать (А -gt; В)+ как обозначение некоторого отображения состояний в состояния, такое, что А В истинно в конечном состоянии.

Не входя в детали (содержащиеся в работе Белнапа [1976]), опишем (А -gt;В) + . Сначала выделяем частный случай, рассматривая данный сетап s. Затем дробим задачу, учитывая, что импликация имеет две части: В должно быть «по меньшей мере 7», если А таково, и А должно быть «по меньшей мере F», если В «по меньшей мере F». Тем самым мы определяем две функции (Л-gt;г5) + и (Л -+FB) + , где первая функция делает (makes) В «Истиной», если Л «Истина», а вторая делает А «Истиной», если В «Истина», — в каждом случае с минимальным искажением. Наконец, объединяем эти функции некоторым способом (описание опускается), чтобы получить (А В)+ в виде функции.

Скажем еще несколько слов о функции (Л -gt; В) + , которая, по предположению, минимально искажает s для того, чтобы придать В значение «Истина», если Л—«Истина». Очевидно, что если Л не есть «Истина» в s, то мы знаем, что надо делать — ничего. Никакое искажение не является минимальным. Предположим теперь, что Л является «Истиной» в s; тогда требуется минимальное искажение, которое делает истиной В, а именно: определенная выше функция В+. Следовательно, объединяя оба случая вместе, мы, очевидно, получаем подходящее определение для (Л TB)*f минимальное искажение, которое делает В «Истиной», если Л есть «Истина».

Правила и информационные состояния. Этот последний раздел статьи носит предварительный и вполне абстрактный характер. При этом я хочу выделить только одну конкретную идею, которую узнал от Изнера: самый лучший способ представлять в компьютере сложные информационные состояния состоит, видимо, в беспристрастной комбинации таблиц (подобных нашим эпистемическим состояниям) и правил (подобных либо нашему выводу А -gt; В, либо функционально составленной формуле, которую компьютер предпочитает запомнить, либо кванторной формуле, которую компьютер должен запомнить).

lt;R, Еgt;.

Е, по предположению, представляет то, что компьютеру явно известно и подлежит расширению посредством применения правил из множества R. По многим причинам мы должны считать, что множество Е конечно, однако для других задач накладывать такое ограничение нет необходимости.

Назовем пару lt;R, Еgt; информационным состоянием для того, чтобы не возникло коллизии с ранее данным определением понятия «эпистемическое состояние». Но что такое правило? Из чего состоит множество R? В данном контексте под правилом, или эмплиативным (ampliative) правилом, удобно понимать произвольное непрерывное и эмплиативное отображение эпистемических состояний в эпистемические состояния. Как я упоминал выше, множество всех непрерывных функций на аппроксимационной решетке было изучено Скоттом: это множество образует естественную аппроксимационную решетку. Более того, легко видеть, что эмплиативные непрерывные функции образуют естественную аппроксимационную решетку, которая является почти полной подрешеткой пространства всех непрерывных функций: все пересечения и объединения согласуются, кроме пустого множества, которое является тождественной, а не всюду неопределенной функцией. Интуитивное обоснование: действие пустого множества правил должно оставлять эпистемическое состояние без изменений. Понятие информационного состояния частично рассматривалось в работе Белнапа [1976], но его исследование настолько предварительное, что здесь мы опускаем обсуждение этого понятия.