Складне судження

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічних спо­лучників, називається складним. Порівнюючи складні судження з про­стими, можна виділити ряд таких відмінностей:

1.

2. Якщо у простому судженні один суб'єкт, один предикат, то в складному -декілька;

3. Якщо просте судження розкладається лише на поняття, то складне, щонайменше, на два судження, кожне з яких оцінюється як істинне чи хибне.

Для прикладу проаналізуємо таке судження:"У світі налічується понад 5,5 тисяч мов, але більшість із них не мають своєї писемності".

Очевидно, що це судження є поєднанням двох самостійних суджень, кожне з яких може бути розглянуто окремо:

1) "У світі налічується понад 5,5 тисяч мов":

2) "Більшість із налічених у світі мов не мають своєї писемності".

Логічну форму простих суджень вивчає розділ логіки, який нази­вається логікою предикатів. Логіка предикатів враховує внутрішню структуру простих суджень. Складні судження вивчає розділ, що нази­вається логікою висловлювань. На відміну від логіки предикатів, у логіці висловлювань абстрагуються від внутрішньої структури простих суджень, розглядаючи їх як елементарні (неподільні) одиниці мислення. Поняття, що входять до складу вихідних суджень, не беруться до уваги. Тому, якщо в процесі формалізації простих суджень ми користувались логічними змінними “S” і “Р”, то при формалізації складних суджень будемо використовувати логічні змінні - а, в, с, d і т. д., кожна з яких представляє собою просте судження як неподільне ціле. Вивчення складних суджень передбачає дослідження двох питань - як із простих суджень утворюються складні та як залежать логічні значення складних суджень від логічних значень простих суджень.

Прості судження поєднуються у складні за допомогою логічних сполучників - кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленції, заперечен­ня.

— - знак заперечення ("не", "невірно, що...")

а - знак кон'юнкції (логічне " і")

V - знак слабкої диз'юнкції (логічне "або")

V - знак сильної диз'юнкції (логічне "або...або", "чи...чи")

→ - знак імплікації (логічне "якщо...то ")

θ -знак еквіваленції (логічне "тоді і тільки тоді, якщо...")

Для того, щоб встановити значення істинності простого судження достатньо співвіднести його зміст із наявним станом речей. Встанов­лення істинності складного судження вимагає не тільки звернення до фактів, але і розгляду смислу логічного зв'язку, за допомогою якого во­но утворено. Тому перейдемо до вивчення логічних сполучників.

Заперечення судження здійснюється за допомогою виразу "невірно, що...", який ставиться перед судженням, або шляхом зміни дієслівної зв'язки на протилежну. При цьому істинне судження перетворюється у хибне і навпаки. Наприклад: "Я. А. Ком енський був єпископом моравської церкви" - "Невірно, що ЯА.Коменський був єпископом моравської церк­ви".

Якщо вихідне судження позначитилмінною "а", то заперечивши йо­го, отримаємо “ а "(читається "невірно, що а ", або "не а ").

Хоча заперечення і не поєднує два судження в одне, воно трак­тується логіками як сполучник, оскільки завдяки йому утворюється нове судження.

Складне судження, в якому прості поєднуються між собою за допо­могою сполучника " і ", називається "кон'юктивним" (єднальним). На­приклад: "Цвітуть волошки в золотому житі і над смарагдом луки сяє мак" (В.Cmyc).

Це судження складається із двох простих:

1. "Цвітуть волошки в золотому житі" - а

2. "Над смарагдом луки сяє мак" - в

Позначивши перше із них змінною "а", друге - "в", логічний сполуч­ник “а” _? отримаємо формулу цього судження: " алв".

Логічний сполучник "і" поєднує самостійні та незалежні між собою судження, які можуть відображати одночасність деяких подій, результа­ти якої - не будь дії або просто констатувати факти навколишньої дійсності.

Оскільки кожне із вихідних суджень може бути або істинним, або хибним, то виникає запитання, яким буде логічне значення їх кон'юкції? Щоб з'ясувати це, розглянемо таку таблицю:

У таблиці перші дві вертикальні колонки виражають значення істинності простих суджень - а і в (істина позначається символом " і ", хибність - "х "). При цьому перші дві колонки охоплюють всі можливі поєднання їх істинності та хибності, а саме: 1)bohh можуть бути обидва істинні; 2) перше істинне, а друге хибне; 3) перше хибне, друге істинне; 4) обидва хибні. Третя вертикальна колонка показує як залежить значен­ня істинності кон'юнкції від логічних значень складових елементів. Ця таблиця називається "таблицею істинності кон'юнкції". Аналогічно будуються і таблиці істинності інших логічних сполучників. З наведеної таблиці видно, що кон'юнкція - це логічний сполучник, який є істинним, якщо кожне із вихідних суджень є істинним. Якщо хоча б одне із вихідних суджень є хибним, то кон'юнкція є хибною. Значення кон'юнкції не залежить ні від кількості елементів, ні від їх порядку.

Показником кон'юнкції в мові не обов'язково є граматичне "і". Кон'юнкцію можуть виражати сполучники "а", "та", хоча", "однак", "за­те", "не тільки... але й " та ін.; граматичний сполучник може бути опущеним. Іноді кон'юктивні судження виражаються в скороченій формі. Наприклад: "Без відкриттів і знахідок немає педагогічної твор­чості" (В.Сухомлинський )

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного спо­лучника "або", називається диз'юнктивним (розділовим).

хідного судження допускає водночас і істинність другого. Наприклад: "Цей учень є дуже здібний або дуже старанний". Це судження скла­дається з двох простих:

1. "Цей учень є дуже здібний " - а

2. "Цей учень є дуже старанний " - в

Якщо перше із них позначити змінною "а", друге - "в", логічний сполучник знаком "v"_j то отримаємо формулу наведеного судження - "аVв" (читається "а" або "в"). Таке складне судження може бути оцінене як істинне тоді, якщо принаймні одне з простих суджень, що входять до його складу, є істинне, тобто:

1. "Цей учень є дуже здібний, але не є дуже старанний ”

2. "Цей учень є дуже старанний, але не є дуже здібний ”

3. "Цей учень є дуже здібний, і дуже старанний ”

Відобразимо це в таблиці істинності слабкої диз'юнкції:

Отже, слабка (нестрога) диз'юнкція - це логічний сполучник, при якому складне судження є істинним, якщо хоча б одне з його вихідних суджень є істинним. Слабка диз'юнкція є хибною лише тоді, якщо є хибними усі її складові елементи.

Сильна (строга) диз'юнкція, на відміну від слабкої, вимагає одно­значності - істинним повинно бути лише одне із вихідних суджень. На­приклад: "Гомер народився в Смирні або Колофоні".

Виділимо у цьому судженні прості судження:

1. "Гомер народився в Смирні" - а

2. "Гомер народився в Колофоні" - в

Поєднавши змінні а і в знаком сильної диз'юнкції, отримаємо фор­мулу даного складного судження - "avβ" (читається "або а або в").

1. “Гомер народився в Смирні, але не народився в Колофоні";

2. “Гомер народився в Колофоні, але не народився в Смирні".

В інших випадках сильна диз'юнкція буде хибною, бо істинність обох вихідних суджень суперечить дійсності (одна і та ж людина не мо­же народитись в двох містах), а їх хибність (в нашому випадку це озна­чає, що Гомер не народився ні в Смирні, ні в Колофоні) вказує на хиб­ність складного судження. Відобразимо це у таблиці істинності сильної диз'юнкції:

Таким чином, сильна (строга) диз’юнкція - це логічний сполучник, при якому складне судження є істинним тільки тоді, коли є істинним лише один його складовий елемент

Диз'юнктивні судження можуть складатися не тільки з двох суд­жень, але і з більшого числа їх. Значення складного диз'юнктивного суд­ження не залежить від порядку його членів (а Vв або βva). Диз'юнкція може виражатися в скороченому вигляді. В такому випадку у вихідних суджень однаковий суб'єкт або однаковий предикат. У мові для підкреслення сильної диз'юнкції вживають іноді сполучник "чи...чи". Крім сполучників "або" та "чи" диз'юнкцію можуть виражати граматичні сполучники "і", "хіба... хіба", "якщо не...".

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного спо­лучника “якщо...то”, називається імплікативним. Характерною особ­ливістю логічного сполучника “якщо...то” є те, що він поєднує залежні між собою судження, одне з яких є підставою, а інше - наслідком. Імплікація завжди бінарна, тобто поєднує лише два елементи (хоча ко­жен із них може бути представлений складним судженням). При цьому логічна підстава завжди передує наслідку. За допомогою імплікації встановлюються різноманітні залежності і зв’язки між явищами. Особ­ливо важливу роль цей сполучник відіграє в умовиводі.

Для прикладу проаналізуємо таке судження: “Право на повагу має той, хто поважає інших”.

матичного сполучника “якщо...то”, воно тотожне судженню: “Якщо людина поважає інших, то вона має право на повагу". Воно скла­дається із двох простих:

1. "Людина поважає інших" - а (підстава).

2. “Вона має право на повагу " - в (наслідок).

Формула цього судження записується так : a→B (“ якщо а то в”). Розглянемо випадки, в яких дане судження може бути оцінене як істинне:

1) якщо і перше, і друге судження є істинними, то імплікація є істин­ною -'Людина поважає інших, тому вона має право на повагу".

2) підстава істинна, а наслідок хибний —“Людина поважає інших, але не має права на повагу". У цьому випадку імплікація є хибною, бо такий зв’язок не відповідає дійсності;

3) підстава хибна, а наслідок істинний - 'Людина не поважає інших, але вона має право на повагу". В такому випадку імплікація оцінюється як істинна, так як право на повагу людина може мати не тільки з цієї причини;

4) і підстава, і наслідок є хибними - "Людина не поважає інших і не має права на повагу". У цьому випадку імплікація теж є істинною, бо якщо підстава не відповідає дійсності, то і наслідок не відповідає дійсності.

Відобразимо ці значення в таблиці істинності імплікації:

Отже, імплікація — це логічний сполучник, при якому складне суд­ження є хибним лише тоді, коли його підстава істинна, а наслідок хиб­ний. В усіх інших випадках імплікація є істинною.

У мові імплікація може виражатися також сполучниками “як­би...то”,“за умови, що “, “для того, щоб”, “тоді...коли”, а іноді грама­тично невиражатись (як це було у наведеному прикладі).

Судження, які відображають залежність чогось одного від іншого,

49

називають умовними. В процесі вивчення умовних суджень важливе значення має розмежування понять “необхідна умова” і “достатня умо­ва”. Необхідною є та умова, без якої подія не може відбутись, тобто на­явність події вимагає наявності умови. Наприклад: “Щоб отримати ви­щу освіту необхідно складати семестрові екзамени”. Необхідність умо­ви можна виразити за допомогою формул: B→a або a → в.

Умова вважається достатньою, якщо при її наявності подія може відбуватись і в деяких випадках відбувається. Так, наприклад, для ви­никнення уявного образу предмета достатньо відтворити момент його сприйняття. Достатня умова виражається формулами a→B, B→a.

Як не кожна необхідна умова може бути достатньою, так і не всяка кожна достатня - необхідною. Проте, деякі з них можуть бути і необхід­ними і достатніми. Цю залежність відображає логічний сполучник “екві­валенція ”.

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного сполучника “тоді і тільки тоді, якщо...” називається еквівалентним. Наприклад: “Якщо сума цифр даного числа ділиться на три, то це число ділиться на три”.

Розкладемо ці судження на прості і запишемо його формулу:

1. “Сума цифр даного числа ділиться на три - а

2. “Це число ділиться на три” - в

Формула цього судження “ aθB^,,( “а тоді і тільки тоді, якщо в”).

Визначимо, в яких випадках це судження буде істинним:

!.Обидва вихідні судження є істинними, тобто, дійсно, сума цифр дано­го числа ділиться на три і, дійсно, це число ділиться на три. Еквіваленція є істинною;

2. Перше судження істинне, друге - хибне, тобто, сума цифр даного чис­ла ділиться на три, але це число не ділиться на три. У цьому випадку еквіваленція є хибною, так як це суперечить дійсності;

3. Перше судження хибне, друге - істинне, тобто, сума цифр даного чис­ла не ділиться на три, але воно ділиться на три. Це теж суперечить дійс­ності, тому таке еквівалентне судження є хибним;

4. Обидва вихідні судження хибні, тобто, сума цифр даного числа не ділиться на три і це число не ділиться на три. В такому випадку еквіваленція є істинною, так як хибність одного вказує на хибність дру - гого.

Відобразимо ці значення в таблиці істинності еквіваленції:

Еквіваленція - це логічний сполучник, який надає судженню істинності при однакових значеннях вихідних суджень

В наведеному прикладі для вираження еквіваленції було використа­но граматичний сполучник “якщо...то”. Щоб відрізнити, в якому ви­падку має місце імплікація, а в якому еквіваленція, треба переставити місцями підставу і наслідок судження. Така перестановка змінює істинну імплікацію у хибну, а значення істинності еквіваленції зали­шається незмінним.

Наведемо зведену таблицю істинності логічних сполучників:

За допомогою таблиць істинності можна перевірити правильність того чи іншого міркування, поданого у вигляді формули, яка містить тільки логічні сталі та логічні змінні. Такі формули можуть виражати логічний закон, логічну суперечність або бути виконуваною формулою.

Логічний закон - це формула, яка набирає значення істинності при будь - яких значеннях її змінних.

Логічна суперечність - це формула, яка набирає значення хибності при будь -яких значеннях її змінних.

Виконувана формула - це формула, яка може змінювати своє логіч­не значення, тобто бути істинною або хибною залежно від того, які ло­гічні значення набувають її складові.

51

Для прикладу перевіримо, чи є формулало­

гічним законом. Для цього складемо таблицю істинності для неї. Алго­ритм її побудови такий:

1. У складі формули треба виділити всі підформули. Під- формулою є формула, що входить до складу іншої формули. Під- формулами цієї формули є:

Кожна підформула повинна розпочинати новий стовпчик таблиці.

2. Вписати в рядки всі можливі набори логічних значень змінних. Змінних у формулі є дві, тому можливих значень буде чотири :

3.Обчислити значення кожної підформули при кожному наборі значень змінних.

Як бачимо, формула набирає значення істинності при будь-яких значеннях її змінних, отже, вона є логічним законом.

8.