Верификация разработанных программ: расчет упругих стержней в статике, анализ устойчивости сжатых и изогнутых стержней

Тестовый расчет тонкого консольного стержня на сильный изгиб

Для тестового расчета была выбрана задача моделирования сильного попе­

речного изгиба тонкого упругого стержня в одной плоскости.

Результаты расчетов сравнивались с аналитическим решением аналогичной нелинейной задачи статики тонких стержней, полученных в работе [153] Е.П. Поповым. В работе [153] решение получается на основе дифференциальных уравнений упругой линии нерастяжимого упругого стержня, интегрирование которых осуществляется с помощью эллиптических интегралов Лежандра.

Для расчета тонкого стержня был взят консольный стержень длиной 1 м. (рис.2.13) прямоугольного поперечного сечения со следующими размерами: b = 0.01 м., Ii = 0.03 м. и характеристиками материала: E =2.185?10¹¹Н/м², G = 8.08?10¹° Н/м². К свободному концу стержня прилагалась значительная изги­бающая нагрузка в плоскости наименьшего момента сопротивления изгибу, действующая в направлении перпендикулярном оси недеформированного стержня. Поскольку жесткость растяжения-сжатия стержня намного больше его

Рис.2.13. Изгиб тонкого стержня поперечной силой

Таблица 2.6. Зависимость точности и сходимости вычислений от частоты

разбиения на конечные элементы

изгибной жесткости, то его можно считать нерастяжимым (для сравнения с аналитическим решением).

При расчетах использовалась методика пошагового увеличения нагрузки, при которой приложенная нагрузка увеличивалась от нуля до указанного в табл.2.6 значения за 30 шагов-итераций. Сходимость итераций, согласно алго­ритму нелинейного анализа, оценивалась по абсолютной величине компонент вектора невязки внутренних и внешних сил. В данном расчете итерации закан­чивались при выполнении условия: max(∣ {_l9}_i∣) < 10 ~⁴(см. формулу (2.49)).

Приведенные результаты показывают, что предложенная математическая модель СКЭ и разработанные кинематические соотношения для учета больших поворотов узлов позволяют с хорошей точностью моделировать стержневые геометрически нелинейные системы при наличии в их узлах больших переме­щений и поворотов. Относительная ошибка результатов расчета при нагрузке 300 H составляет 5.05% для разбиения на 4 КЭ, и 0.08% для разбиения на 10 КЭ; при нагрузке 600 H относительная ошибка составляет 6.3% и 0.4% для раз­биений на 4 и 10 КЭ, соответственно. На основании этих данных можно сделать вывод, что при увеличении числа разбиений на конечные элементы результаты расчета сходятся к точному решению. Это хорошо объясняется тем, что при бо­лее мелком разбиении на конечные элементы по длине стержня более точно выполняется сделанная при разработке модели гипотеза о малости поворотов узлов в локальной системе координат отдельного стержневого конечного эле­мента.

Тестовая задача анализа устойчивости формы сжатых стержней

Для данной тестовой задачи был выбран прямолинейный стержень длиной 2 м. с прямоугольным сечением (рис.2.14,а), имеющим размеры: b = 0.005 м., h = 0.03 м. Характеристики материала стержня выбраны те же, что и в предыду­щем примере. Концы стержня шарнирно закреплены (рис.2.14,б) или защемле­ны (рис.2.14,в), при этом один конец может свободно перемещаться в направ­лении оси стержня. К концу стержня, в котором возможно осевое перемещение, прикладывается направленная вдоль оси стержня сжимающая сила Р. Путем расчета находилось критическое значение сжимающей силы, при которой стержень теряет устойчивость.

Данная задача представляет собой классическую задачу начальной устой­чивости формы сжатых стержней. Аналитически, наименьшая критическая сжимающая сила для стержня длиной / с шарнирно-опертыми концами опре­деляется по формуле Эйлера (2.97) [170]

Рис.2.14. Задача об устойчивости формы сжатого стержня: а - сечение стержня; б,в - варианты закрепления концов

Критическая сила для аналогичного стержня с защемленными концами опреде­

ляется по формуле [170]

В методе конечных элементов подобная задача устойчивости может ре­шаться методами начальной устойчивости (с использованием матрицы геомет­рической жесткости), но более общее решение получается с использованием матрицы касательной жесткости системы [κ_r] .

новесия системы достигается тогда, когда величинатождественно

равна нулю [63]. Физически это означает, что дальнейшее изменение узловых перемещений системы не требует изменения приложенных к системе сил. Иными словами момент потери равновесия системой наступает когда

На практике для решения подобных задач применяют итерационный метод приращений [63]: нагрузки, приложенные к системе, на каждой итерации полу­чают небольшие приращения ΔP, после чего находятся соответствующие при­ращения перемещений и вычисляется новая матрица [κ₇∙] . Полученная матри­ца [к J проверяется на условие (2.99). Поскольку приращения нагрузки явля­ются конечными величинами, то в методе приращений не всегда удается точно определить величину критической нагрузки, соответствующей условию (2.99). Поэтому момент потери устойчивости системой определяется при нулевом или отрицательном значении определителя. Тестовый расчет задачи анализа устой­чивости сжатого стержня был произведен в соответствии с указанной выше ме­тодикой. Результаты расчета приведены в табл.2.7.

Таблица 2.7. Результаты расчета в задаче устойчивости сжатого стержня

Для оценки сходимости результатов было использовано несколько расчет­ных схем с использованием 4, 10 и 20 геометрически нелинейных стержневых конечных элементов. Для оценки влияния уточненной нелинейной формулы вычисления осевой нагрузки было выполнено 2 серии расчетов: с использова­нием стандартной линейной формулы (2.92), и с использованием уточненной нелинейной формулы (2.41).

Приведенные в табл.2.7 результаты показывают, что разработанная матема­тическая модель позволяет определить момент потери устойчивости сжатого

стержня с хорошей точностью. Можно заметить, что для данной задачи точ­ность решения не зависит от частоты дискретизации конечными элементами расчетной модели. Учет уточненной нелинейной зависимости осевой силы от перемещений узлов в данной задаче не дает более точных результатов. Это объясняется тем, что в этой задаче рассматривается прямолинейный стержень, и при деформации стержня в нем возникают только осевые перемещения. По­этому линейная формула, в которую входят только осевые перемещения узлов, позволяет точно определять осевую силу. Нелинейные члены в нелинейной формуле, в которую входят изгибные и крутильные перемещения, не дают ни­какого вклада в конечное значение.

Был произведен расчет на продольный изгиб тонкого стержня, который возникает после потери стержнем устойчивости (рис.2.15,а). Расчетная схема упругого стержня состояла из 52 конечных элементов с более мелким разбие­нием в середине (где кривизна стержня наибольшая). Для создания продольно­го изгиба на первых итерациях расчета к середине стержня прикладывалась не­большая поперечная нагрузка (0.5 Н). Это позволяет отклонить форму стержня от прямолинейной и избежать случая отрицательной определенности матрицы касательной жесткости. Осевые усилия вычислялись по нелинейной формуле.

Рис 2.15. Продольный изгиб тонкого упругого стержня: а - расчетная схема; б - результаты расчета.

Выполнены расчеты при величине сжимающей силы P₁ = 200 H (1.19P_k), P₂= 300 H (1.78P_it), P₃= 368 H (2.18P_it). Полученные результаты (рис.2.15,6) точно согласуются с результатами аналитического решения в [83]. Так в [83], например, при сжимающей силе равной 2.18 P_kупругий стержень сжимается в

кольцо, что соответствует результатам расчета для P₃.

Тестовая задача анализа устойчивости плоской формы изгиба балки

Данная задача представляет собой более сложный случай потери устойчи­вости деформируемых стержней. Расчет производится по деформируемой схе­ме. При потере устойчивости плоской формы изгиба балка выпучивается в сто­рону, что одновременно приводит к ее скручиванию. Поэтому упомянутые в обзорной главе математические модели СКЭ, в которых не учтена взаимосвязь изгиба и кручения, не могут быть использованы для анализа устойчивости та­кого рода. Данный расчет демонстрирует особенности предлагаемой уточнен­ной математической модели позволяющей производить анализ устойчивости.

Для данной задачи, как и для предыдущей, была выбрана стержневая балка длиной 2 метра, имеющая прямоугольное поперечное сечение с размерами: b = 0.005 м., h = 0.03 м (рис.2.16). Характеристики материала балки аналогичны ха­рактеристикам материала стержня в первой задаче: E =2.185x10¹¹Н/м², G = 8.08?10^,° Н/м². Концы балки шарнирно закреплены, кручение в закрепленных концах отсутствует. Балка изгибается приложенной к ее середине силой в плос­кости наибольшего сопротивления изгибу - плоскости XOZ. При потере устой­чивости балка выпучивается вбок (рис.2.16,а), ее поперечные сечения закручи­ваются (за исключением концов балки), (рис.2.16,6).

Рис.2.16. Задача устойчивости плоской формы изгиба балки: а - общий

вид и схема закрепления; б - поперечное сечение

Величина критической силы зависит от произведения жесткости при боко­вом изгибе балки (в плоскости перпендикулярной линии действия силы -XOY) C_x=EJ_zи жесткости при кручении C₁=GJ_k.Точное значение критической силы для балки на двух опорах с прямоугольным поперечным сечением выра­жается формулой [21].

Для балки в настоящей тестовой задаче точное значение критической силы, со­гласно (2.100), равно P_k=332.51 Н.

Для оценки сходимости результатов было использовано несколько расчет­ных схем с использованием 4, 6, 8, 10 и 20 геометрически нелинейных стержне­вых конечных элементов. Для оценки влияния уточненной нелинейной форму­лы вычисления осевой силы было выполнено 2 серии расчетов: с использовани­ем стандартной линейной формулы (2.92), и с использованием уточненной не­линейной формулы (2.51). Результаты расчета, полученные с использованием указанной выше методики, приведены в табл.2.8. Значение приращения нагруз­ки при анализе составляло ΔP = 4.25 Н.

Таблица 2.8. Результаты исследования устойчивости нелинейной модели

При расчетах было отмечено то, что при приближении приложенной силы к критическому значению наблюдался резкий скачок значений в некоторых эле­ментах вектора внутренних узловых сил системы. Это явление, обозначенное в табл.2.8 как «численная неустойчивость», объясняется погрешностями вычис­лений. Оно объясняется тем, что при соответствующем прогибе балки жест­кость, соответствующая некоторым степеням свободы системы, начинает уменьшаться и становится на несколько порядков меньше жесткости по другим степеням свободы. Матрица касательной жесткости становится при этом плохо обусловленной, что приводит к появлению численных погрешностей при реше­

нии системы уравнений.

Анализ данных в табл.2.8 позволяет сделать следующие выводы:

• Разработанная математическая модель позволяет решать задачи устой­чивости плоской формы изгиба стержней с хорошей точностью.

• Уточненная нелинейная формула для вычисления осевой силы позволя­ет получать точные результаты даже при использовании небольшого числа СКЭ. Например, для расчетной схемы с 4 СКЭ, точность опреде­ления критической силы при вычислении осевой силы по линейной формуле на 30% хуже нелинейной формулы. Эта разница в точности за­кономерно уменьшается при увеличении числа разбиений на СКЭ.

• Учет численной неустойчивости при вычислении осевой силы по нели­

нейной формуле позволяет еще более повысить точность получаемого значения критической силы. Например, для расчетной схемы с 4 КЭ численная неустойчивость начала сказываться при изгибающей силе, равной 318.75 H (ошибка -4.13 %), а отрицательно определенная мат­рица касательной жесткости получилась при силе равной 350 H (ошибка 5.25 %). Среднее значение для этих сил равно 334.37 H (ошибка 0.56 %). Аналогичные средние значения для расчетных схем 6, 8, 10 и 20 конеч­ных элементов соответственно равны - 331.5 H (-0.3 %), 329.37 H (­

0.94%), 333.62 H (0.3%).

Одинаковые результаты для расчетных схем с 10 и 20 КЭ объясняются оди­наковой величиной приращения нагрузки в обоих случаях. Очевидно, что для получения более точных результатов при использовании 20 КЭ необходимо уменьшить величину приращения нагрузки.

2.