Теория затрат: функции «затраты-выпуск»

Главным принципом, лежащим в основе теории затрат, является существование однозначной функциональной связи между затратами и объемом производства фирмы, т.е. TC=fiQ). Соответственно, могут существовать и другие независимые переменные, отличные от объема производства, которые могут повлиять на затраты, такие, как объем партий изделий и коэффициент использования производственных мощностей.

Точная природа (т е. форма) данной кривой затрат - постоянных, переменных, общих, средних или предельных — зависит от производственной функции для данных цен на вводимые факторы. Полученные таким образом кривые являются статическими, т.е. они показывают лишь то, как меняются затраты с изменением объемов производства при постоянных ценах на вводимые факторы.

Постоянные и переменные затраты

Обычно экономисты делят затраты на две большие группы — постоянные и переменные. Использование этих терминов может повлечь.за собой множество недоразумений, если сразу не запомнить, что они относятся к общим затратам каждого вида, отнесенным к общему объему производства для данной производственной функции. Постоянные затраты — это те затраты, которые не меняются непосредственно (т.е. не являются функцией) с изменением объема производства. Эти затраты связаны с постоянными издержками денежных средств в каждый период, т.е. они не зависят от объема производства. Примерами таких затрат могут служить арендная плата, налоги на собственность и аналогичные выплаты, проценты по облигациям и амортизационные отчисления.

Общие постоянные затраты не являются постоянными в том смысле, что не меняются никогда. Они могут меняться и меняются достаточно часто, но их изменения не связаны с изменениями объемов, т.е.

С точки зрения экономиста, синонимом постоянных затрат являются накладные расходы. Для бухгалтера этот термин означает косвенные затраты. Накладные расходы в бухгалтерской литературе обычно включают в себя некоторые постоянные затраты, а также затраты, которые по своей природе являются переменными. Это расхождение может привести к тому, что при технических обсуждениях проблемы в Один и тот же термин вкладывается разный смысл.

Переменные затраты являются функцией объема производства. Примером переменных затрат являются издержки на материалы, энергию, рабочую силу и снабжение. Общие переменные затраты прямо, а иногда и пропорционально, зависят от объема производства. Для определенных диапазонов значений объемов производства зависимость переменных затрат от объемов более или менее пропорциональна, причем характер ее зависит от использования постоянных производственных мощностей и ресурсов.

Как в экономике, так и в бухгалтерском учете часто предполагается, что переменные: затраты являются непрерывной функцией объема производства. Однако в действительности некоторые переменные затраты для разных уровней объемов производства остаются постоянными. Затраты, которым свойственны подобные характеристики, называются полупеременными (или полупостояннымн) затратами. Они содержат переменную и постоянную составляющие. Примерами таких затрат могут служить затраты на телефонные разговоры и заработная плата бригадиров.

Краткосрочные и долгосрочные затраты

В анализе производства краткосрочным называется такой период, в течение которого некоторые вводимые факторы фирмы постоянны. Например, постоянными в течение определенного достаточно длительного периода являются затраты на производственное помещение, технику и производственное оборудование.

Термин «долгосрочный» относится к таким периодам, в течение которых ни один из вводимых факторов не может считаться постоянным. Все вводимые факторы в течение долгосрочных периодов могут меняться, и поэтому для таких периодов все затраты являются переменными. Реальная продолжительность подобного долгосрочного периода зависит от соотношения между вводимыми факторами и производственным процессом фирмы. В общем, чем более капиталоемким является производственный процесс, тем'длительнее должен быть период, в течение которого изменятся все факторы производства. Например, для перестройки и ввода в действие нового нефтеочистительного завода может потребоваться более трех лет. Время, необходимое для запуска ітомной электростанции или плотины, может оказаться еще более продолжительным. В сфере обслуживания (банке, бюро по трудоустройству или страховой компании), напротив, для начала деятельности может потребоваться относительно небольшой капитал и всего несколько месяцев для найма и обучения персонала.

В процессе принятия управленческих решений краткосрочность относится к оперативным концепциям, так как в любое заданное время можно рассматривать операции фирмы как краткосрочные. Долгосрочные периоды, состоящие из множества краткосрочных, относятся к сфере планирования. В то время как решения, относящиеся к текущей деятельности фирмы, принимаются на основе краткосрочных функций затрат, планы о расширении деятельности фирмы должны базироваться на анализе долгосрочных функций затрат.

Общие и предельные затраты

Для любого заданного объема производства общие затраты являются суммой общих переменных и общих постоянных затрат. Формально это можно выразить так:

TC=TFC+TVC. (1)

Таким образом, для получения функциональной зависимости общих затрат от объема производства необходимо рассчитать значения ТС, которые соответствуют ряду значений объема производства.

Так как при краткосрочном анализе общие переменные затраты являются единственной меняющейся частью общих затрат, любое изменение суммы явится результатом и будет равно изменению общих переменных затрат. Это изменение, обусловленное изменением объема производства, называется предельными затратами. Итак, предельные затраты представляют собой изменение общих затрат, вызванное удельным изменением объема производства и равное изменению общих переменных затрат.

В экономике предельные затраты существенны для принятия тех решений, которые касаются распределения ресурсов компании и ценообразования. Однако это понятие имеет и другие существенные применения. В настоящее время достаточно заметить, что понятие предельных затрат не следует смешивать с уже обсуждавшимися дифференциальными или дополнительными затратами.

Динамика краткосрочных затрат

Как уже отмечалось, краткосрочным называется такой период, в течение которого некоторые вводимые факторы и соответствующие им затраты постоянны. Иными словами, для краткосрочного анализа можно считать постоянным размер производства. Следовательно, для построения кривой краткосрочных общих затрат для данного производства требуется найти наименьшие затраты, необходимые для обеспечения определенного объема производства при различных сочетаниях вводимых ресурсов. Так как текущая деятельность фирмы всегда может считаться краткосрочной, кривые краткосрочных затрат могут быть использованы для выработки оперативных решений.

Динамику краткосрочных затрат определяют два фактора: 1) характер функции производства и 2) цены переменных вводимых факторов производства.

Кривые средних и предельных затрат. Для того чтобы понять структуру затрат фирмы и создать теоретический базис для принятия решений по различным вопросам, важно исследовать несколько кривых затрат, каждая из которых может быть получена на основании данных об общих затратах. Предположим, что:

Q - объем производства;

ТС — общие затраты;

TFC — постоянные затраты;

ТѴС — общие переменные затраты;

АТС — средние общие затраты (удельные затраты);

AFC — средние постоянные затраты (удельные постоянные затраты);

АѴС — средние переменные затраты (удельные переменные затраты);

МС — предельные затраты.

Тогда

13—1854

Математически кривая средних постоянных затрат (AFC) представляет собой равнобочную гиперболу, которая асимптотически приближается к горизонтальной оси, у это будет справедливо для любой функции общих затрат. Это означает, что AFC непрерывно убывает, как показано на рис. 12.1. На этом рисунке также представлена крива* предельных затрат (МС), которая вначале убывает, а затем возрастает. Кривые средни* переменных затрат (АѴС) и средних общих затрат (АТС) также вначале убывают, а затем возрастают. По мере увеличения объема производства кривая А ТС приближаете* к кривой А ѴС. Это происходит потому, что разность между ними равна удельным постоянным затратам, которые по мере увеличения объема производства становятся все меньше и меньше.

Рис. 12.1. Кривые затрат иа производство теииисиых ракеток

Кривая предельных затрат пересекает кривую средних переменных затрат и кривую средних общих затрат в их самых нижних точках. Иными словами, предельные затраты равны средним переменным затратам, когда последние минимальны. Предельные затраты также равны минимальным средним общим затратам.

Это утверждение легко проверить, вновь обратившись к табл. 12.1. Когда производится шестая единица продукции, средние переменные затраты минимальны, равны предельным затратам и составляют 3 долл. При производстве одиннадцатой единицы продукции средние общие затраты минимальны, равны предельным затратам и сог ставляют 9,5 долл. . ,

Взаимосвязь затрат с производством. Формы кривых средних и предельных затрат, так же как и общих переменных затрат, определяются технической природой соответствующих им кривых производства, а не ценой факторов производства. Изменение цен факторов производства сдвинет кривые на графике вверх или вниз, а не повлияет на их наклоны и, следовательно, формы.

Следствием того, что цена факторов не зависит от объема производства, является обратное соотношение между: 1) средними переменными затратами и средним продуктом и 2) предельными затратами и предельным продуктом. Для вывода соответствующих соотношений проделаем следующее.

Шаг 1. Средние переменные затраты связаны с объемом производства следующим соотношением:

Полагая, что цена вводимого фактора постоянна, из уравнения (8) следует, что, когда АРХ увеличивается, A VCQ уменьшается и наоборот. Следовательно, когда A VCQ Достигают минимума, АРХ максимален (рис. 12.2).

Шаг 2. Кроме того, на рис. 12.2 показано обратное соотношение между предельным продуктом и предельными затратами, которое не зависит от постоянных вводимых ресурсов. Следовательно, предельные затраты, MCQ, могут быть определены как

Шаг 4. Возвращаясь к рис. 12.1, мы видим, что чем больше объем производства,

Е:М меньше AFC. Следовательно, кривая А ТС асимптотически приближается к кривой ѴС. Мы можем также заметить, что самая нижняя точка этой кривой соответствует шьшему объему производства, чем в точке минимума А ѴС. Это связано с тем, что )гда объем производства впервые превышает уровень, соответствующий минимуму

АѴС, спад AFC вызывает усиленный рост АѵС. Однако по мере увеличения объема производства мы достигаем точки, в которой увеличение АѴС превышает спад AFC. В этой точке кривая АТС устремляется вверх.

Рис. 12.2. Взаимозависимость между предельным продуктом и предельными затратами и между средним продуктом и средними переменными затратами

Шаг 5. Наиболее экономически эффективному уровню производства соответствует точка, в которой МРХ = АРХ, а АР проходит через максимум. Эта точка соответствует окончанию стадии 1 и началу стадии 2 классической производственной функции, представленной на рис. 10.1 в главе 10, и совпадает с уровнем, в котором MCQ = = AvCq. Однако этот уровень не является наиболее экономичным или наиболее эффективным с точки зрения затрат, так как здесь не учитываются средние постоянные затраты. Наиболее экономичный и эффективный с точки зрения затрат уровень производства находится где-то на стадии 2, в точке, соответствующей минимуму средних полных затрат, А&С.

' . Иллюстративная задача

В определенном производственном процессе дпя изготовления 1 изделия требуется затратить 5 ч и использовать сырья на 100 долл. В настоящее время уровень производства фирмы составляет 400 изделий в неделю при продолжительности рабочего года, составляющей 50 недель. Постоянные затраты составляют 100 000 долл, в год. Заработная плата производственного рабочего равна 12,50 долл, в час, включая налог на заработную плату, пенсионные отчисления и другие выплаты. Кроме того, каждый наемный работник имеет ежегодный оплачиваемый отпуск продолжительностью в две недели.

Вопросы

а. Каковы средние (удельные) переменные затраты для данного производства?

б. Каковы общие удельные затраты?

Решения

а. Сначала определим общую почасовую заработную плату, включая оплачиваемый отпуск. Для каждого рабочего годовая заработная плата составляет: 52 недели х 40 ч х $12,5 = $26 000. Тогда почасовая оплата равна: $26 000 : 50 рабочих недель : 40 ч = $13 в час.

Из уравнения (8) следует:

б. Годовой объем производства определяется следующим образом:

400 изделий в неделю х 50 недель = 20 000 изделий. Тогда удельные постоянные затраты составят

$100 000 : 20 000 изделий = $5 за изделие. Таким образом, из уравнения (10) следует:

Эластичность общих затрат. Если экономическая теория затрат изучает взаимосвязь между затратами и объемом производства, то можем ли мы определить чувствительность одной переменной к изменению другой? Конечно, для ответа на этот вопрос следует использовать уже знакомое понятие эластичности.

Эластичность общих затрат служит мерой процентного изменения общих затрат, ТС, при изменении объема производства на 1%. Так, на любой точке кривой общих затрат

Из этого уравнения следует, что эластичность общих затрат есть отношение предельных затрат к средним общим затратам.

Предположим, что эластичность затрат равна 1,2. Это означает, что если объем производства увеличивается на 1%, то полные затраты увеличиваются на 1,2%. Иными словами, при данном уровне производства, как следует из уравнения (11), предельные затраты на 20% превышают средние затраты.

Если функция общих затрат линейна или почти линейна в пределах нужного интервала, то эластичность общих затрат, Ес, может быть вычислена по формуле

Эта формула описывает изменения средней эластичности затрат в интервале изменения объемов производства от до Qr

Свойства функций краткосрочных затрат

Обобщенная функция затрат представляє^ собой кубическую функцию объема производства

Она является обратной относительно соответствующей обобщенной кубической функции, которая описывает увеличение и последующий спад предельного продукта или отдачи на вводимый фактор. Соответственно, как следует из рис. 12.3, функция затрат также отражает увеличение и последующий спад предельных затрат. Предельные затраты могут быть определены по наклону любой из этих кривых, потому что формы кривых ТС и ТѴС одинаковы. Расстояние между ними по вертикали равно общим постоянным затратам, TFC.

Рис. 12.3. Обобщенная функция краткосрочных затрат

Как следует из рис. 12.3, классическая функция затрат охватывает весь интервал производительности предприятия — от нулевого объема производства, при котором ТѴС = 0, до максимального объема производства в условиях полного использования производственных мощностей, когда общие.затраты максимальны. Однако внутри этого интервала могут найтись участки, на которых функция линейна или почти линейна. Если это так, то характеристики подобных участков можно определить по табл. 12.2, в которой представлены математические свойства линейных, квадратичных и кубических функций затрат.

Таблица 12.2

Кривые затрат, соответствующие различным функциям затрат

В общем, мы можем заметить следующее.

1. Если функция затрат не была получена методом регрессионного анализа данных производства, который не охватывает низких уровней производства, то в качестве общих постоянных затрат может быть выбран постоянный параметр а. В этом случае постоянный член регрессионного уравнения не отражает постоянных затрат, а лишь соответствует оси ординат, которая служит для правильного размещения регрессионной линии в выбранном интервале изменения объема производства. В любом случае при удалении из уравнения общих затрат постоянного члена оставшаяся часть уравнения соответствует общим переменным затратам.

2. Предельные затраты можно получить из уравнения общих затрат.

3. Величина a/Q соответствует средним постоянным затратам. Если ее убрать из уравнения средних общих затрат, то оставшаяся часть уравнения будет соответствовать средним переменным затратам.

4. Эластичность затрат есть отношение предельных затрат к средним общим затратам.

Далее обсуждаются некоторые экономические интерпретации этих математических свойств.

Линейные функции затрат. На рис. 12.4 представлены кривые затрат, соответствующие линейной функции, ТС = а + bQ. Как будет пояснено в следующей главе, данные эмпирических исследований показывают, что линейные функции затрат очень часто имеют фирмы, которые действуют в самых разных отраслях промышленности в широком интервале изменений объемов производства, который может быть назван нормальным. Одно из объяснений'этого явления заключается в том, что в пределах нормального интервала изменений объемов производства для каждого объема производства постоянные и переменные вводимые факторы могут быть скомбинированы так, чтобы обеспечить минимальные затраты. Однако если требуется получить функцию затрат для больших объемов производства, то линейная аппроксимация уже не подходит. Это связано с тем, что здесь не учитывается закон переменных пропорций. Иными словами, уравнение не допускает увеличения общих затрат, даже если объемы производства приближаются к физической производственной мощности предприятия.

Рис. 12.4. Линейная функция затрат: ТС = a + bQ

Заметим, что средние переменные затраты (AVQ и предельные затраты (А/С) постоянны и равны между собой. Кривая средних общих затрат (АТС) асимптотически приближается к кривой средних переменных затрат. В пределах нормального интервала изменений объемов производства кривая А ТС выравнивается и величина А ТС остается практически постоянной.

Квадратичные функции затрат. Как следует из табл. 12.2, возможно существование двух типов квадратичных функций. Первый тип описывается обобщенным уравнением ТС= a + bQ — cQ2. Соответствующие кривые затрат представлены нарис. 12.5. Как всегда кривая АТС асимптотически приближается к, кривой АѴС. С увеличением объема производства средние переменные затраты уменьшаются с постоянной скоростью, а предельные затраты уменьшаются еще быстрее. К сожалению, такая ситуация вряд ли будет наблюдаться при нормальном интервале изменения объема производства. Она может наблюдаться при вводе в действие нового производства, когда постоянные факторы производства являются избыточными по сравнению с переменными вводимыми факторами. Таким образом, уменьшение предельных затрат может быть связано с более эффективным использованием постоянных факторов, которые также вызывают уменьшение средних переменных затрат.

Квадратичная функция затрат второго типа Описывается уравнением ТС = а + + bQ + cQ}. Соответствующая кривая затрат представлена на рис. 12.6. Как показано в варианте В, кривая АѴС монотонно Возрастает, а А/С растет даже быстрее этой кривой. Так Как кривая АТС асимптотически приближается к кривой АѴС і она должна пересекать кривую МС. Точка пересечения, в которой МС = АТС, а эластичность затрат равна 1, соответствует наиболее эффективному с точки зрения затрат объему производства.

Рис. 12,5. Квадратичная функция затрат: ТС = a + bQ — cQ2

Рис. 12.6. Квадратичная функция затрат: ТС = a + bQ + cQ1

Кубическая функция затрат. Обычно в учебниках по экономике в качестве типичной рассматривается не линейная или квадратичная, а кубическая функция затрат типа ТС = a + bQ — cQ2 + dQK Эта функция соответствует закону .переменных пропорций. Кривые, соответствующие такой функции затрат, представлены на рис. 12.7.

Так как функция ТС является кубической, кривые АТС и МС - квадратичные, и их значения вначале снижаются, а затем и увеличиваются. Минимуму МС, где спад предельных затрат сменяется увеличением, соответствует точка перегиба кубической функции. Точка пересечения кривых МС и А ТС, в которой МС = АТС иес= 1, соответствует наиболее эффективному с точки зрения затрат уровню производства. Если объем производства превысит этот уровень, то затраты на обслуживание машинного парка и почасовая плата за труд увеличатся. Обшиє затраты за счет этого также будут увеличиваться (даже с большей скоростью).

Рис. 12.7. Кубические функции затрат и эластичность общих затрат

В большинстве случаев кубические функции такого вида представляют собой чисто теоретические обобщения. Попытки с помощью таких функций аппроксимировать эмпирические данные были лишь частично успешными (см. следующую главу). Одной из причин того, что кубическая функция не вполне подходит для описания эмпирических данных, является то, что они очень часто относятся только к нормальному интервалу. Как было показано ранее, функция затрат в нормальном интервале линейна или близка к линейной, а предельные затраты почти постоянны.

М.т.'іюстратниная задача

Функция общих затрат для фирмы «Randolph Enterprises» имеет спедующий вид:

ГС = 100Q - 3Q2 + 0,1Q3.

Вопросы

а. Определите объем производства, для которого удельные затраты минимальны.

б. Определите объем производства, для которого предельные затраты минимальны.

в. Определите эластичность затрат, если Q = 12.

Решения

а. Удельные затраты равны средним общим затратам

Объем производства, при котором удельные затраты минимальны, можно определить, вычислив первую производную функции АТС, приравняв ее к нулю и решив полученное уравнение относительно Q:

Можно проверить, соответствует ли это решение минимуму или максимуму. Для этого возьмем вторую производную функции АТС:

Так как вторая производная положительна, то значение Q соответствует минимуму.

б. Предельные затраты — это первая производная функции общих затрат:

Для того чтобы найти уровень производства, соответствующий минимуму предельных затрат, возьмем первую производную функции МС, приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение относительно Q:

Для проверки решения вновь возьмем вторую производную:

Она положительна, что соответствует минимуму,

в. Эластичность затрат при Q = 12 равна