Случай 2 - фиксированные объемы работ, любой агент может выполнять только одну работу.

¦ R1

sij = ci(R, ri) = r/ ф(—-) , i e N, j e M. Тогда задача оптимального

r/

распределения функций будет описываться выражениями (10)-(12) раздела 2.1, то есть будет являться классической задачей о назначении.

Вспомним теперь, что мы исследуем команды, характеризуемые автономностью деятельности агентов.

Однако может оказаться, что каждый из членов команды преследует собственные интересы. Как же будет функционировать команда в этом случае, и как добиться слаженной и эффективной (в смысле минимума суммарных затрат) работы ее членов? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую модель, в которой уже появляются элементы управления, характерного для иерархических организационных систем.

Перенумеруем агентов таким образом, чтобы оптимальным решением задачи о назначении было диагональное назначение (x/i = 1, хц = 0,j * i, i, j e N). 80

Пусть за выполнение j-ой функции установлено вознаграждение qj, j е M. Выигрыш i-го агента описывается разностью между вознаграждением за выполнение выбранной им функции j и затратами на выполнение этой функции: qj - sij , г, j е N. Спрашивается,

каковы должны быть размеры вознаграждений, чтобы выборы агентов соответствовали оптимальному решению задачи о назначении. Для ответа на этот вопрос воспользуемся полученными в [75] результатами решения задачи синтеза оптимальных нормативных ранговых систем стимулирования.

Для того чтобы i-му агенту было выгодно выбирать i-ю функцию (а не любую другую), необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

qi - su > qj - -V г j е N

Запишем (12) в виде

qj - qi ? aj, i, j е N,

где aij = sij - , i, j е N.

J = X qi,

г =1

где q удовлетворяет (13). Тогда задача заключается в выборе неотрицательных вознаграждений, минимизирующих выражение (14) при условии (13). Введем в рассмотрение «-вершинный граф Ga, веса дуг в котором определяются ||агу||. Задача минимизации (14) при условии (13) является задачей о минимальных неотрицательных потенциалах вершин графа Ga, для существования решения которой необходимо и достаточно отсутствия контуров отрицательной длины [7]. Рассмотрим следующую задачу о назначении:

п

X sv Xj ® min

i, j=1 {хт}

хп е {0; 1}, i, j е N,

X Xij = 1, j е N,

г =1

X Xij = 1, i е N.

j=1

Утверждение 4.2. Для того чтобы в оптимальном решении задачи (15)-(18) xii = 1, xij = 0, j Ф i, i, j e N, необходимо и достаточно, чтобы граф Ga не имел контуров отрицательной длины.

Из теории графов известно [7], что в оптимальном решении задачи (15)-(18) минимальна не только сумма потенциалов вершин графа Ga (суммарные затраты на вознаграждение членов команды), но и минимальны все потенциалы вершин (индивидуальные вознаграждения).

Имея результат утверждения 4.2, мы имеем возможность предложить алгоритм вычисления минимальных потенциалов. Поставим в соответствие ограничениям (17)-(18) двойственные переменные Uj и vi, i, j e N. Ограничения двойственной задачи имеют вид: (19) Uj - Vi ? aij, i, j e N.

Заметим, что, так как xii = 1, i e N, то ut - vi = aii = 0, а значит ui = v = qi. Используя этот факт, определим следующий алгоритм:

Шаг 0. Uj = Cjj, j e N.

Шаг 1. V;-: = max {u,- - aii], i e N.

jeN J J

Шаг 2. U-: = max {V; + aij}, j e N.

jeN

Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма конечное число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптимальное решение задачи (15)-(18):

qi = ui = Vi, i e N.

Приведенный выше алгоритм позволяет решать задачу поиска минимальных потенциалов графа Ga, удовлетворяющих условию (13), то есть побуждающих членов команды выбрать оптимальные действия.

Обозначим C2(r, R) - значение целевой функции в оптимальном решении задачи (15)-(18). Легко видеть, что

" r > 0, " R >0 C2(r, R) > Q(r, R),

То есть суммарные затраты команды на выполнение фиксированного набора работ в случае фиксации «ролей» членов команды не ниже, чем в случае, когда каждый член команды может выполнять несколько функций одновременно. Это свойство оптимальных решений имеет прозрачную содержательную интерпретацию в терминах свойств организационных структур [72]. Сделаем маленькое отступление, проясняющее связь между свойствами опти-

мальных решений задач распределения функций и типами организационных структур.