§ 1.27. ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ, НОРМАЛЬНОЕ И ПОЛНОЕ УСКОРЕНИЯ

Когда точка движется произвольно, то ее скорость изменяется как по направлению, так и по модулю. В этом случае очень удобно полное ускорение разложить на составляющие по направлению скорости и перпендикулярно к ней.

Ускорение

при неравномерном криволинейном движении

Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение А (рис.

Разложим вектор изменения скорости Av на составляющие Avx и Абп (рис. 1.83, б). Первая составляющая направлена по скорости vx, т. е. по касательной к траектории, проведенной в точке А. Она называется тангенциальной (касательной) составляющей вектора Av. Составляющая Avn і. Поэтому Avn называется нормальной составляющей приращения скорости Av. По правилу сложения векторов n'

Av = Avx + Au Разделим почленно это равенство на At и перейдем к пределу при стремлении At 0: lim +

Д/ —»о ЛҐ

(1.27.1) A

Avz

j

6)

A az v ат В v

Рис. 1.84

Каждое слагаемое этого равенства есть составляющая ускорения (см. § 1.15). Левая часть равенства (1.27.1) является полным ускорением точки. Первое слагаемое в правой части называется тангенциальным (касательным) ускорением, второе слагаемое — уже знакомое нам нормальное ускорение.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, так как ах ТТ и. При ускоренном движении точки (модуль скорости возрастает) касательное ускорение имеет то же направление, что и скорость. При замедленном движении оно направлено противоположно скорости. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение ап перпендикулярно скорости и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Полное ускорение точки равно сумме тангенциального и нормального ускорений:

а = ах + ап.

На рисунке 1.84, а изображен случай ускоренного движения, а на рисунке 1.84, б — замедленного движения точки.

Модуль нормального ускорения

Мы нашли, как направлены тангенциальное и нормальное ускорения. Выражение для модуля нормального ускорения при движении по окружности радиусом г нам известно:

(1.27.3)

Рис. 1.85

Если движение происходит вдоль произвольной кривой, то под г надо понимать радиус кривизны траектории в данной точке. Выясним, что такое радиус кривизны кривой линии в точ- ке. Выберем на кривой АВ вблизи точки М с обеих сторон от нее еще две точки: К и L (рис. 1.85). Через три точки К, М и L можно провести единственную окружность. Если точки К и L приближать к точке М, каждый раз проводя через эти три точки окружность, то мы получим серию окружностей разных радиусов, дуги которых вблизи точки М все меньше и меньше будут отличаться от кривой АВ.

В пределе, когда точки К и L сколь угодно близко подходят к точке М, радиус проходящей через них окружности также стремится к предельному значению. Это предельное значение радиусов окружностей и называется радиусом кривиз-ны кривой АВ в точке М.

Модуль тангенциального и полного ускорений

Модуль тангенциального ускорения равен I-1 г Ли* а = lim 4--

v М-.0 At

dv di

(1.27.4)

где dv — приращение модуля скорости за бесконечно малый интервал времени dt. Модуль полного ускорения а точки можно найти по теореме Пифагора (см. рис. 1.84, а, б): Полное ускорение направлено по секущей в сторону вогнутости траектории.

Классификация движений

По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения, можно классифицировать различные движения точки.

Если ап = 0, то при любых значениях скорости движение точки происходит по прямой линии. Эту прямую можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса (г —> оо).

Если ат = 0 и ап = О, но скорость отлична от нуля, то движе-ние по прямой будет равномерным, так как не меняется модуль скорости.

В случае ап ф 0 движение точки криволинейное, так как меняется направление скорости. Когда ап Ф 0, ах = 0, то при движении по кривой линии модуль скорости точки не изменяется — точка движется равномерно.

Если ах = 0, ап = const, то точка совершает равномерное движение по окружности.

И наконец, когда оба ускорения ах и ап отличны от нуля, то точка движется неравномерно по криволинейной траектории.

В заключение заметим, что если точка движется равномерно по криволинейной траектории, то можно вычислить путь, пройденный точкой, по формуле s = vt.

При произвольном движении вектор ускорения направлен внутрь траектории. Тангенциальная составляющая этого вектора характеризует изменение скорости по модулю, а нормальная составляющая — по направлению.