§ 1.30. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Преобразования всех других кинематических величин являются их следствиями.
Преобразование координат
5*
131
Найдем связь между координатами, проекциями скоростей и ускорений в двух системах отсчета К и Kv движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью й.
Для простоты будем считать, что координатные оси їиі, обеих систем совпадают, а оси У, Уj и Z, Z1 параллельны друг другу. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают.?Если в момент времени t движущаяся точка находилась в положении А (рис. 1.92), то ее положения в системах отсчета К
и К1 можно задать радиусами-векторами г = OA и = ОхА.
>
Тогда г = OOl + rv За время t начало координат системы
>
отсчета К у переместилось на 001 = ut. Поэтому предыдущее равенство примет вид:
f=^f1+ut. (1.30.1)
Запишем соотношение (1.30.1) в проекциях на ось X:
х = х1 + uxt. (1.30.2)
Координаты у, г и г1 одинаковы в обеих системах отсчета. Поэтому преобразования координат при переходе от системы отсчета К1 к системе отсчета К будут иметь вид:
X = х1 + uxt,
У ~ У\' (1.30.3)
2 = 2Г
Считается само собой разумеющимся, что время течет одинаково в системах отсчета К и К1У так что t = tv Преобразования (1.30.1) или (1.30.3) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = называются преобразованиями Галилея.
Учитывая, что их = и, преобразования Галилея запишем так:
Ut, или (1.30.4) J Уі = у. 2t = 2, ,t1 = t. Закон сложения скоростей Найдем теперь преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой. При движении точки А ее радиус-вектор г в системе отсчета К за малый интервал времени At изменится на А г и станет равным г + А г. Учитывая, что г = Ar1 + ut, получим Ar = Arx + uAt. (1.30.5) Эта формула связывает перемещения А г и Агх за время At. Разделим правую и левую части этого равенства на At и будем считать, что интервал At сколь угодно мал (At 0). Тогда вместо (1.30.5) получим уравнение: г Л? г о. - lim — = lim -j-r + и. At 0 Д«->0 дг Но lim ^ = v — есть мгновенная скорость точки в системе от- At 0 счета К, a lim -г-т- = и, — мгновенная скорость этой же точки Ді о А* 1 относительно системы отсчета Кv Таким образом, скорости точки в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью й, связаны соотношением (1.30.6) v = v, + й. Преобразование скоростей (1.30.6) называется законом сложения скоростей в классической механике. Учитывая, что при движении вдоль совпадающих осей координат X w. Хх проекции скорости й на оси Y и Z равны нулю (иу = 0, иг = 0), закон сложения проекций скоростей можно записать так: х' (1.30.7) Абсолютная, относительная и переносная скорости Часто для большей наглядности и удобства используют понятия абсолютного, относительного и переносного движени й . Для этого одну из систем координат, например XOY, считают условно неподвижной. Движение тела относительно неподвижной системы координат называют а б- солютным. Движение тела относительно подвижной системы координат (относительно XjOjYj) называют относительным. Движение подвижной системы координат относи-тельно неподвижной называют переносным. Скорость, ускорение, перемещение, путь и траекторию точки в неподвижной системе координат называют абсолютными, а в подвижной системе — относительными. В формуле (1.30.6) v — абсолютная скорость (иа), — относительная скорость (иот) и й — переносная скорость (ип). (1.30.8) a) vn б) Рис. 1.93 Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей. Закон сложения скоростей (1.30.8) геометрически осуществ-ляется по правилу параллелограмма (рис. 1.93, а) или тре-угольника (рис. 1.93, б). Он справедлив и в том случае, когда скорость Бп направлена произвольным образом по отношению к системе отсчета К и меняется с течением времени. Преобразование ускорений Пусть в системе отсчета ускорение тела равно аот. Каким оно будет в системе отсчета К? Прежде всего договоримся, что система отсчета движется относительно системы отсчета К не вращаясь, т. е. так, что оси X, У, Z и Xv Yv Zx остаются параллельными. Только при этом условии будет справедлив следующий ниже вывод. Запишем закон сложения скоростей (1.30.8) для двух моментов времени t0 = 0 и і: уа(0) = у„(0) + уп (0), (*) = "от (0 + 5п (*)• Вычтем почленно из второго уравнения первое и разделим обе части полученного равенства на интервал времени At: Ava Avn„ Av„ а от , п "Дt ДГ "ДГ ' Будем промежуток времени At неограниченно уменьшать (At —» 0) и перейдем к пределу: ДЙа АЙот , Айп lim —- = lim —- + lim . Это равенство означает, что К = (1-30.9) Итак, ускорение тоже относительно. Но есть один очень важный случай, когда ускорение одинаково, абсолютно. Это случай, когда ап = 0, т. е. вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно. Независимость расстояний от выбора системы отсчета Из преобразований Галилея вытекает равенство расстояний между двумя точками во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Расстояние между двумя точками А и В в системе отсчета К представляет собой модуль вектора гА - гв, т. е. Гдд = |гА - гв|. Согласно преобразованиям Галилея (1.30.1) Г А = Гы + Ut И Гв = Г1В + Ut. Вычитая из первого уравнения второе, получим: Но модуль вектора гы - г1В есть расстояние г1АВ между точками А и В в системе отсчета Кг Следовательно, Гав-W (1.30.10) так как модули равных векторов одинаковы. J(xA - хв)2 + (уА - ув)2 + (zA - ZB)2 = = J(xia - хів)2 + (У\А - Уїв)2 + {z1A - г1В)2 . (1.30.11) Относительная скорость двух тел Рассмотрим два тела А и В, имеющих в системе отсчета К скорости vA и vB. Найдем скорость движения vBA тела В относительно тела А. Для этого свяжем систему отсчета К1 с телом А (рис. 1.94). Тогда искомая относительная скорость vBA есть скорость тела В относительно системы отсчета Kv Рис. 1.94 К Воспользуемся далее законом сложения скоростей (1.30.8). Для данного случая скорость тела В относительно системы отсчета К представляет собой абсолютную скорость: vB = v&. Скорость тела А в системе отсчета К — это переносная скорость. Наконец, скорость vBA — это есть относительная скорость: иВА = vor. Согласно закону сложения скоростей (1.30.8) имеем vE = v о BA + VA или УВА VB ' A- Скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел. Она не зависит от системы отсчета. В любой системе отсчета, движущейся со скоростью й относительно системы отсчета К, V1A = VA + U И V1B = VB + U~ Отсюда Преобразования Галилея (1.30.4) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = fj отражают суть классических представлений о пространстве — времени. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы во всех системах отсчета и течение времени не зависит от систем отсчета.