§1.31. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Из всех задач на относительность движения мы будем в основном решать такие, которые связаны с законом сложения скоростей (1.30.7) или (1.30.8). Для этого удобно использовать понятия абсолютного, относительного и переносного движений.

Мы рассмотрим несколько задач, причем в большинстве случаев приведем два решения с различным выбором неподвижной системы отсчета. При этом убедимся, что не имеет принци-пиального значения, какую систему считать неподвижной. Однако в некоторых случаях удачный выбор неподвижной системы отсчета упрощает решение (задача 5).

Задача 1

Участок шоссе расположен параллельно железной дороге. Найдите время, в течение которого мотоциклист, движущийся со скоростью 1^ = 80 км/ч, будет перемещаться мимо встречного поезда длиной I = 700 м, следующего со скоростью v2 = 46 км/ч. Обе скорости заданы относительно Земли.

Решение. 1. Если мотоциклист движется относительно поезда с некоторой скоростью v, то путь, равный длине поезда, он пройдет за время

t=1-.

V

Длина поезда известна. Скорость мотоциклиста относительно поезда найдем по закону сложения скоростей: Ба = DOT + vn.

Неподвижную систему координат XOY свяжем с Землей, а подвижную XjOjYj — с поездом (рис. 1.95). Движение

Рис. 1.96

мотоциклиста относительно Земли (неподвижной системы координат XOY) является абсолютным, а движение поезда относительно Земли — переносным. Скорость мотоциклиста относительно поезда (подвижной системы координат Х1 ОгУг) является относительной.

v1 = V + v2.

Отсюда v = Uj - д2. Выполним вычитание векторов геометрически. Из рисунка 1.96 видно, что v = v1 + v2, поэтому t =

= 20 с.

+ V2 2. Решим ту же задачу, изменив выбор систем координат: неподвижную систему координат XOY свяжем с поездом, а подвижную X101Yl — с Землей. Теперь в системе координат XOY Земля движется навстречу поезду со скоростью v3 = -v2, ?

v3=-v2 Хх

т. е. переносная скорость vn = —v2 (рис. 1.97). Мотоциклист пе-ремещается относительно подвижной системы координат (Земли). Поэтому его скорость в данном случае является относи-тельной: иот = vv Скорость же мотоциклиста относительно сис-темы координат XOY (поезда) — абсолютна, т. е. va = v.

Согласно закону сложения скоростей будем иметь va = vm + + ип или v = v1 - v2. Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе выбора систем координат. Результат вычи-тания векторов опять такой же, как на рисунке 1.96. Поэтому v = vl + v2 и t = 20 с.

3. Можно неподвижную систему координат связать с мото-циклистом, а подвижную с Землей. Рассмотрите самостоятельно этот вариант решения. Безусловно, вы придете к тому же результату.

Задача 2

Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью v^ = 20 м/с. С какой наименьшей скоростью v2 относительно Земли должен двигаться автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 45° к горизонту, не оставалось следов капель? Чему равна скорость капель относительно автомобиля? Завихрения воздуха не учитывать.

Решение. 1. Капли дождя не будут задевать стекла автомоби-ля, если вектор скорости капель относительно автомобиля на-правлен параллельно стеклу. Этим определяется минимальная скорость автомобиля. Чтобы найти ее, воспользуемся законом сложения скоростей:

= Йот +К-

Систему координат XOY свяжем с Землей и будем считать ее неподвижной. Движущуюся систему координат Xl01Yl свяжем с автомобилем (рис.

К = К ^от = У. К = h-

Следовательно, закон сложения скоростей запишется так:

vl = V + v2.

A v2 В

A ~v2 В

с

с

У]

У"; 1Ї

Рис. 1.98

V3=~V2 01' Xi

о

X

Рис. 1.99

X Вычитание векторов vx и й2 показано на рисунке 1.98 (А ABC). Поскольку треугольник ABC — прямоугольный и

vi

Z. ABC = а, то У =

Отсюда

и = «і - v2.

и2 = U-L = 20 м/с.

2. Решим эту задачу, связав неподвижную систему координат XOY с автомобилем, а подвижную X101Y1 — с Землей (рис. 1.99). В этом случае относительно системы координат XOY Земля движется навстречу автомобилю со скоростью У3 = —г)2. Так как 5а = v, vn = -v2, v0T = то закон сложения скоростей запишется следующим образом:

у = их + (-У2).

Сложение векторов 5j и і53 = -У2 показано на рисунке 1.99.

Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе решения задачи:

v2 = vx = 20 м/с и v ~ 28 м/с.

Задача 3

Два корабля идут пересекающимися курсами. В некоторый момент времени расстояние между ними I = 10 км, а скорости ї>г и v2 образовывали с прямой, соединяющей корабли, углы а = 45° (рис. 1.100). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабли? Модули скоростей кораблей относительно воды Uj = 60 км/ч, v2 = 80 км/ч. Считайте, что морские течения отсутствуют.

Решение. Пусть в начальный момент времени первый корабль находился в точке А, а второй — в точке В (рис. 1.101).

Перейдем в систему координат, связанную с первым кораблем. Тогда скорость воды относительно этой системы vn = -гЗ, является переносной скоростью, а скорость второго корабля относительно воды есть относительная скорость г3от = v2. Скорость второго корабля относительно первого при данном выборе системы отсчета будет абсолютной скоростью гЗа. По закону сложения скоростей va = vm + или v& = v2 + (-у,) (см. рис. 1.101). Прямая ВК — траектория второго корабля в системе отсчета, связанной с первым («неподвижным») кораблем.

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей, находим модуль скорости va по теореме Пифагора:

Дальнейшее решение задачи является чисто геометрическим. Треугольник ADB прямоугольный и равнобедренный.

Найдем длину его катета: AD = DB = . Из подобия треуголь-

Л п

ников BMN и BPD найдем PD =

, где vn = vx.

. Вычислим длину отрез-

DBv D

в Из подобия треугольников АРС и BMN находим искомое расстояние d = АС:

dv2 l(v2~v1)

AP = K'd= /о, 2 ~1'4КМ.

А Л/2(У2 + vl) Проанализируем различные частные случаи.

Если и2 = то с? = 0; корабли встретятся в точке D. Если относительно воды движется только один корабль (их = 0 или

= 0), то d = -j= = AD.

J_

Л

Найти расстояние d можно из aACB: d = Zsin Z СВА, где Z СВА ~ 8°. Действительно, из a NBM находим sin Z NBM =

= ~ = 0,6. Отсюда A NBM = 37°. Так как Z. СБА = 45° - 37° =

= 8°, то

d = 10 км • sin 8° ~ 1,4 км.

Задача 4

Вагон А движется по закруглению радиусом О^А = 0,3 км, а вагон В — прямолинейно (рис. 1.102, а). Найдите скорость вагона В относительно вагона А в момент, когда расстояние АВ = 0,1 км. Скорость каждого вагона относительно Земли равна 60 км/ч.

Решение. Так как необходимо найти скорость вагона В относительно вагона А, то целесообразно (но необязательно) связывать с вагоном А неподвижную систему координат XOY. В этой системе вагон А не движется, но поверхность Земли под ним? 1. поворачивается по часовой стрелке вокруг точки Ох с угловой скоростью со (рис. 1.102, б).

Систему координат XjOjYj свяжем с Землей. Эта система координат вращается вместе с поверхностью Земли с угловой скоростью со вокруг точки Ог

Угловую скорость со определим по движению вагона А ОТНО-СА

сительно Земли: vА = со • ОгА. Отсюда со = ^г—г-

U jA

При вращательном движении подвижной системы координат переносная скорость в каждый момент времени является той линейной скоростью, которую в данной точке пространства имеет вращающаяся система координат, связанная с Землей.

A R

ип = со • 0,В = со^А +AB) = VA + .

Скорость вагона В относительно поверхности Земли (относительно подвижной системы координат X^OjYj) vB= vor (vB = vA по условию), но по отношению к вагону А (неподвижной системе координат XOY) скорость вагона В является абсолютной. Эту скорость мы найдем по закону сложения скоростей:

"а = "от + "п-

= v„

ґ АВ І АВ

v^ + vAo^A J ~^=илЩА = 20к^-

Задача 5

Вверх по реке на весельной лодке плывет рыбак. Проплывая под мостом, он уронил удочку, но заметил это лишь полчаса спустя. Рыбак повернул назад и нагнал удочку на расстоянии 1,5 км от моста. Чему равна скорость течения реки, если рыбак греб одинаково интенсивно как при движении вверх (против течения), так и при движении вниз (по течению)?

Сложение скоростей выполнено на рисунке 102, е. Из рисунка видно, что вагон В относительно вагона А движется в сторону, противоположную скорости вагона В относительно Земли, со скоростью 0а> модуль которой равен

Решение. 1. Решим задачу, вы-

А М

D

брав в качестве неподвижной систему отсчета, связанную с берегом. Подвижную систему свяжем с водой. Скорость этой системы является переносной, а скорость лодки х1 о х2 х относительно воды (подвижной

системы) относительной. Мо- 1-Ю®

дуль этой скорости одинаков при движении лодки в любом направлении. Модуль абсолютной скорости при движении лодки против течения Ug = и0т ~ Un> & ПО ТЄЧЄНИЮ L>a = VQT + VD.

Ось X направим по течению, начало координат совместим с мостом (рис. 1.103). Скорость удочки равна скорости течения реки vn. Спустя время t удочка совершит перемещение АВ и будет иметь координату х2 = vnt, где х2 = 1,5 км.

Обозначим через t1 = 0,5 ч время движения лодки от моста до поворота (точка С). Координату этой точки обозначим ху Через t2 обозначим время движения лодки по течению от точки С до точки D.

t = t1 + t2. (1.31.1)

Запишем выражение для координаты

= Кxh = - 1>а*1 = (У„ -

Уравнение координаты лодки х2 при ее движении по течению имеет вид

= + К + иот)*2-

Отсюда

Хп ~ X-t

t2= 2 . (1.31.2)

2 Vn+VOT

Подставив это выражение в (1.31.1) и учитывая, что t = — , получим

*2 + (Уот - yn>fl

+

— =*1 +

от

Отсюда

х2

Vn = щ = 1,5 км/ч.

2. Решение задачи будет значительно проще, если в качестве неподвижной системы выбрать систему отсчета, связанную с водой. В этой системе модуль скорости лодки при движении по всем направлениям одинаков, так как рыбак работает веслами все время одинаково. Поэтому если рыбак 0,5 ч удаляется от удочки, то и догонять ее он будет 0,5 ч. Следовательно, удочка была в движении 1 ч и проплыла 1,5 км относительно берега. Поэтому скорость течения воды относительно берега равна 1,5 км/ч.

Упражнение 6

Два автобуса движутся в одном направлении. Модули их скоростей соответственно равны 90 и 60 км/ч. Чему равна скорость первого автобуса относительно второго и второго относительно первого?

По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу движутся два поезда со скоростями 72 и 108 км/ч. Длина первого поезда 800 м, а второго 200 м. В течение какого времени один поезд проходит мимо другого?

Скорость течения реки и1 = 1,5 м/с. Каков модуль скорости v катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью v2 = 2 м/с относительно него?

Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2 м/с, катер двигался перпендикулярно берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега?

Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью 30 м/с. С какой наименьшей скоростью относительно Земли должен ехать автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, накло-ненном под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель? Завихрения воздуха не учитывать.

Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Гусеничный трактор движется со скоростью 72 км/ч относительно Земли. Чему равны относительно Земли модули скоростей: а) верхней части гусеницы; б) нижней части гусеницы; в) части гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к трактору?

Человек спускается по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Во второй раз, двигаясь со скоростью вдвое большей, он насчитал 75 ступенек. В какую сторону движется эскалатор?

Сколько ступенек насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?

Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет 5 сут, а обратно 7 сут. Сколько времени от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет плот?

Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения v0 = 5 м/с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что ее скорость относительно воды постоянна, равна по модулю и = 10 м/с и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки d = 100 м. Определите траекторию лодки.

Скорость течения реки возрастает с расстоянием от берега, достигая своего максимального значения и0 = 5 м/с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. От берега начинает плыть спортсмен со скоростью v = 4 м/с относительно воды, направленной перпендикулярно течению. Стоявшая на середине реки на якоре лодка начинает двигаться параллельно берегу с постоянной от- носительно воды скоростью и = 10 м/с одновременно с пловцом. На каком расстоянии от места встречи с пловцом находилась первоначально лодка, если ширина реки h = 100 м?

Платформа движется со скоростью = 40 м/с. В момент, когда она пересекала прямую линию ОМ, перпендикулярную направлению движения (рис. 1.104), с платформы был произведен выстрел по неподвижной цели М. Зная, что скорость пули относительно платформы t>2 = 800 м/с, найдите направление, в котором был произведен выстрел.

Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 2 рад/с (рис. 1.105). Кубик М движется со скоростью 9 м/с в направлении МО. В некоторый момент времени рас- М

v

О

М стояние МО = 6 м. Найдите скорость кубика относительно наблю-дателя, стоящего в центре платформы в этот момент времени.

14.Шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам движутся автомобили со скоростями v1 и v2 в направлении к перекрестку (l>j > у2). В некоторый момент времени расстояние обоих автомобилей до перекрестка было одинаковым и равным I. На каком наименьшем расстоянии d автомобили прошли относительно друг друга?

15.Человек на лодке должен попасть из точки А в точку В, находящуюся на противоположном берегу реки (рис. 1.106). Расстояние ВС = а. Ширина реки АС — Ъ. С какой наименьшей скоростью и от-носительно воды должна плыть лодка, чтобы попасть в точку В? Скорость течения реки постоянна и равна v.

С В

мямжжяярж

ШШШШШШШШШШШ, А

Рис. 1.106

Іб.Лифт движется с ускорением а, направленным вверх. Человек, находящийся в лифте, роняет книгу. Чему равно ускорение книги относительно лифта? Решите задачу также для случая, когда ускорение лифта направлено вниз.