§ 6. Реальные газы

При решении задач этого раздела используются данные даблии 3,6.7,8,10 из приложения, кроме того, следует учесть указание к § 5. В задаче 6.8 дан авторский вариант решения.

6.1.

решение:

Достоянные а и b из уравнения Ван-дср-Ваальса выра-

2.1Т~R~ Т R жаются соотношениями а= : Ь = ——. Подставив

™ 64Л ' 8л

Единицы измерения величин, входящих в данные Па • м

м

моль'

моль

уравнения, получим [а] = 6.2. Пользуясь данными о критических величинах Тк и рк для некоторых газов (смотри таблицу), найти для них постоянные a \i b , входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса. решение:

Постоянные а и b из уравнения Ван-дер-Ваальса выра-

21T;R2 , Т R _

жаются соотношениями а- ь : b = ——. Восполь-

64 Л «Л

зовавшись данными о критических величинах Тк и рк из

таблицы 7, составим следующую таблицу: Вещество а. Па м*/моль" b . 10 5 мУмоль _ Водяной пар 0.556 3.06 _ Углекислый газ 0.364 4.26 _ Кислород 0.136 3,16 _ Аргон 0.136 3.22 Азот 0.136 3.85 Водород 0.0244 2.63 _ Гелий 0.00343 2.34

6.3. Какую температуру Г имеет масса т = 2 г азота, занимающего объем F = 820CMj при давлении /? = 0,2МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.

Решение:

а) Идеальные газы подчиняются уравнению Менделеева — Клапейрона pV = — RT , откуда Т - ^^ =280 К.

р mR

б) Реальные газы подчиняются уравнению Ван-дер-Вааль- ґ -> \Ґ пг а

m

\

V~—b

1Ч Р V

г

Р J

V

Р

v-Щ-ъ

Р J

ш а

Р +

pa Т =

mR

¦ Т ' 1

v

/г V -)

m

= — RT, следовательно, температу - P

= 280 К. Таким образом. при данном давлении газ ведет себя как идеальный.

6.4. Какую температуру Т имеет масса т- 3,5 г кислорода занимающего объем F=90CMj при давлении р = 2,8 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.

Решение:

Если рассматривать кислород в данных условиях как идеальный газ, то его состояние описывается уравнением

Менделеева — Клапейрона: pV = —RTb откуда Т = ^^ ,

р mR

т 0.032-2,8-Ю6-90-Ю-6 ____ _

I = = = 277 К.

3,5-10"3-8,31

как реальный, то его состояние описывается уравнением f ? V Л

V-™b К. Р

m а Р + —Т—

-—RT. Восполь- Р

Ван-дер-Ваальса:

I' fV's

зовавшись полученными в задаче 6.2 константами а и Ь выразим из последнего уравнения температур)

_ p{p + {m2/p2\a/v*\v-bm/p) п

Т=—-— —п ^ —. Подставляя в пол\-

mR? ченное выражение числовые данные, найдем

0,032 —

'2,8.10Ч3'52-10"6 0Л36 '

v 0,0322 902 • 10~12 j

3,5-10"3-8,31

^90-Ю-6-^^-3,16.10-^ і 0,032 . Ь = 285,7 К.

3,5-10"3-8,31

6.5. Масса т = 10 г гелия занимает объем V = 100 см3 при давлении /? = 100 МПа. Найти температуру Т газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.

Решение:

Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона: pV = — RT, откуда Т = HEX- ; Г = 482 К.

р mR

Состояние реального газа описывается уравнением Ван-дер-Ваальса, откуда выразим температуру

- p(jp + (m2 /p^L/V^V-bm/р) , , .ч

Т--^-—і — in cLL (СМі задачу 6.4).

mR

Значения постоянных а и Ъ были получены в задаче 6.2. Подставив числовые данные, найдем Т = 204 К.

6.6. Количество v = 1 кмоль углекислого газа находится при .температуре t = 100° С. Найти давление р газа, считая его:

а) реальным; б) идеальным. Задачу решить для объемов У} = 1 м3

и 0,05 м3.

Решение:

а) Для реального газа, согласно уравнению Ван-дер-Вааль-

[

\ J-\ <т»

p + v24r (v - vb) = vRT , откуда /?= — v2-^. В

V2y ' ' ' ' v_yb V2

таблице из задачи 6.2 найдем для углекислого газа:

333

6 ^ с ^

а = 0,364 Па м /моль" ; Ь = 4,26 • 10 м'Умоль. Подставив числовые данные, получим /?, = 2,87 МПа ; р2 = 277 МПа. б) Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона

vRT

pV = vRT, откуда р = ——. Подставив числовые данные, получим Рх = 3,09 МПа ; р2 =61,8 МПа.

6.7. В закрытом сосуде объемом У = 0,5 м'' находится количество v = 0,6 кмоль углекислого газа при давлении р = 3 МПа.

Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось вдвое.

mR

Решение:

71 =

Из уравнения Ван-дер- ^аальса

г \

2 V т а

г,=

2р +

v j

м

V

/

mR

2 \ т а

Р +

S v\

(см. задач) Г-, 2p + p, v2a T-, oc

T,

6.3). Тогда = ^ , где pt=—= 1,85

P + P, 6.8. Количество v = 1 кмоль кислорода находится при температуре t-21° С и давлении /? = 10МПа. Найти объем V газа,

считая, что кислород при данных условиях ведет себя как реальный газ.

Решение:

Чтобы найти объем из уравнения Ван-дер-Ваальса, необходимо решить уравнение третьей степени. В результате мы получили бы три корня, один из которых соответствует газообразному состоянию вещества. Его можно найти более простым методом последовательных приближений. Из уравнения Ван-дер-Ваальса для некоторого количества v

т/ vRT и vRT и /,Ч

кислорода имеем V = = г- + vb= + vb — (1).

p + va/V P + Pi

качестве первого приближения возьмем объем, получаемый из уравнения Менделеева — Клапейрона

vRT з v~a

у. 0,24 м . Тогда pi = —- = 2,4 МПа. Подставляя

р У{

pt в (1), получим второе приближение V2 = 0,232 м3. Тогда v2a

' Р;=—= 2,53 МПа, откуда третье приближение У2

\ 2

Уг = 0,231 м3. Далее р. = 2,55МПа; F4=0,231M3. Га-

у3

:7СИМ образом, искомый объем V = 231 л.

6.9. Количество v = 1 кмоль азота находится при температуре t = 27° С и давлении /? = 5МПа. Найти объем V газа, считая, что азот при данных условиях ведет себя как реальный газ.

^Решение:

?Решая задачу аналогично задаче 6.8, найдем V = 490 л

6.10. Найти эффективный диаметр а молекулы кислорода, считая известными для кислорода критические значения ТК и

Решение:

Поскольку b»4F, где V — объем всех молекул, У = V0NA , где V0 — объем одной молекулы, и, кроме того,

Ь=?г> то 4ГДГ Отсюда v0 =

4 і I3RT ~яг3 =-7гсг3. Отсюда а = з ; а = 294-10"12 м.

6.11. Найти эффективный диаметр а молекулы азота двумя способами: а) по данному значению средней длины свободного пробега молекул при нормальных условиях Л - 95 нм; б) по известному значению постоянной Ъ в уравнении Ван-дер-Ва> альса.

Решение:

а) Средняя длина свободного пробега молекул (см.

кТ кТ 5.120) А =-?=——, следовательно, сг2=-т= . Тогда

v2/rJ

kT

-j=—— ; а = 298-10-12 м. б) Постоянная Ван-дер-Ва-

2 ,

альса Ь, вычисленная по формуле b- — NA7ra', откуда

с = ^ . Тогда о = зI——— ; и = 313 • 10 12 м. 2/п?л V 2kNa 6.12. Найти среднюю длину свободного пробега Л молекул углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный диаметр (7 молекулы вычислить, считая известными для углекислого газа критические значения ТК и рК.

Решение:

Критическое давление и критическая температурі соответственно равны: р =—— (1) и Т. =—— (2).

F к 21b1 к 21bR

ЛЛ ҐЛ\ л<іі 2 т 8 • 21b1 р Щ\

Из (1) а - 21 b Ро подставим в (2) Т. = — = —— - •

k 27 bR R

Т R

Тогда постоянная Ван-дер-Ваальса b =-Ji—. Эффективный

8Рк

3Ъ І 3TKR I 3TKk _

= з ь = з/—-—. Тогда средняя длина

2ttNA ]j\6XPKNA рбщ

диаметр молекулы (см. задачу 6.11(г0) сг = з? кТ

свободного пробега молекул газа Я =

«JIttct2 Р

кТ

- ; Я = 80 нм.

^2яр{ЗТКк/{\6лрК))1

6.13. Найти коэффициент диффузии D гелия при темпе-ратуре / = 17° С и давлении р = 150 КПа. Эффективный диаметр атома а вычислить, считая известными для гелия критические значения Тк и рк.

Решение:

Средняя длина свободного пробега молекул (см. задачу

кТ

6.12 ) Я = -. Коэффициент диффузии

лІ2щ)(ЗТКк / (і 6ярк ))Т

п _ \шг .

D = — УЯ , где v — — средняя арифметическая

3 ]1 пр

скорость молекул гелия. Тогда коэффициент диффузии

D-I ІШ ? Z>«3.5• 10~5м2/с.

41щ>{ЪТКк/{\6лрК%

6.14. Построить изотермы Р = /(У) для количества У = 1 кмоль углекислого газа при температуре t = 0° С. Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный. Значения У (в л/моль) дія реального газа взять следующие: 0,07, 0,08, 0,10, 0.12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,20, 0,25, 0,30, 0,35 и 0,40; дня идеального газа — в интервале 0,2 < V < 0,4 л/моль.

Решение:

а) Для идеального газа, исходя из уравнения Менделе-

і 'R. Т

ев& — Клапейрона, имеем pV = vRT, отсюда р = .

б) Дія реального газа из уравнения Ван-дер-Ваальса

337

2 а V v J

V- — b /' )

ИЛИ

V V-vb Зависимость p(v) дана в таблицах и

r>T 2 a vRT = vRT имеем p + v —- =

V

vRT 2 сі

p = v —

F V-vb V

на графике, где верхняя изотерма соответствует идеал ь ному газу, нижняя — реальному.

Для реального газа: V,

л/моль 0,07 0.08 0,09 0.10 0.12 0,14 0.16 0.18 0.20 0,25 0.30 0.35 0.4 РАО4 Па 85,1 37.8 29.2 31.2 40.3 47.2 51,1 52,8 53,1 51.1 47,7 44.1 40.

Для идеального газа: /;

л/моль 0.20 0.22 0,23 0,25 0.27 0.28 0,30 0,32 0,33 0.35 0,37 0,38 О.Ч РАО4 Па 85.1 37.8 29,2 31.2 40.3 47,2 51.1 52,8 53,1 51,1 47,7 44,1 40.7

6.15. Найти давление р(, обусловленное силами взаимодействия молекул, заключенных в количестве v -1 кмоль газа при нормальных условиях. Критическая температура и крити-ческое давление этого газа равны Тк = 417 К и рк- 7,7 МПа.? Давление, обусловленное силами взаимодействия молекул

т2 а ¦> a 21T2R2 _

ту = —г—г- = V —т-, где а — постоянная Ван-

Pl р2 Vі V2 64рк

у ^ 2 2 ^ 2

дер-Ваальса. Тогда р, = !LT—. Из уравнения Менде-

64 pKV~

vRT

деева— Клапейрона pV-vRT выразим объем V- ,

Р

2 п2гг2

v R Т

тогда V2 з—, следовательно, окончательно

Р~

Fl 64 pKv2R-T' 64 pj2

6.16. Для водорода силы взаимодействия между молекулами незначительны; преимущественную роль играют собственные размеры молекул. Написать уравнение состояния такого полу- вдеального газа. Какую ошибку мы допустим при нахождении количества водорода v, находящегося в некотором объеме при температуре t = 0° С и давлении р = 280 МПа, не учитывая собственного объема молекул?

Решение:

Поскольку силы взаимодействия между молекулами водорода незначительны, то в уравнении Ван-дер-Ваальса можно? не учитывать параметр pt. Уравнение такого газа будет

— RT — (1). Количество v водо- V Р ) Р

Рода без учета собственного объема молекул можно найти

pV

Из уравнения Менделеева — Клапейрона: v = — (2). С Учетом собственного объема молекул из уравнения (1)

иметь вид р

ишиика

RT + pb

, V - v'

д =——. Подставляя в последнее уравнение (2) и (3), по-

V

лучим 8 = 0,33 = 33% .

RT

6.17. В сосуде объемом V = 10 л находится масса т = 0,25 кг азота при температуре t = 27° С. Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объем молекул?

Решение:

Давление, обусловленное силами взаимодействия молекул Р,-~т~2' Из уравнения Менделеева — Клапейрона х, m nrr m RT р, m2 а р V

У - — RI имеем р - , тогда — = —=—~

// р V р р1 Vі m RT

m а р,

= 4,9% .

дем, воспользовавшись постоянной Ъ Ван-дер-Ваальса.

равной учетверенному объему молекул, содержащихся в

одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса

(У -vb) = vRT поправка vb означает учетве-

{ 1 Л v'a

рл ^

V

V у J

ренный объем молекул всего газа, т.е. vb = AVt. От

у г vb m , V: mb

4 1 4// V 4 pV

сюда V--— или V,- — Ъ, тогда — =

0,25.3,85.10-* V 4 • 0,028 • 10~ 340? 6.18. Количество v = 0.5 кмоль некоторого газа занимает объ- еМ [/= і mj. При расширении газа до объема К = 1.2 м3 была

совершена работа против сил взаимодействия молекул j 5,684 кДж. Найти постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

решение:

Работа, совершенная против сил взаимодействия мо-

IS . 2

лекул, A=\plclV\ где р1 = ' 1 , . Таким образом,

г,

і

т'а _ т~а ( 1 1 ^ _ тіґа(У2 - \\)

2 j г/2 2

М г. F Р

, откуда выра- /^2

2 у

зим a=Y~V]V\= 4V]Vl , = 0,136Па-мб/моль2.

6.19. Масса /;/ = 20 кг азота адиабатически расширяется в вакуум от объема Г, = 1 MJ ДО объема V2 = 1 м3. Найти понижение температуры АТ при этом расширении, считая известной дія азота постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (смотри ответ 6.2).

Решение:

RT

Работа газа при адиабатическом расширении А = -х

у-1 ґ

Т v

m х —

М

A = ——— — (jj - Г2) =

RTt m Ті -Г-, , R m frr, ^ \ R

X w / + 2

x—ДГ, где / = показатель адиабаты, тогда у -1 =

M i

-z42 ' 2 - < /n

. следовательно, раоота А = AL — (1).

і і і 2 р

С другой стороны, работа, совершенная против сил вза-

имодействия молекул, А= \p,dv, где pt = т С\- s значит

г, V V~ ^т2а(У2-Ух)

J 1_

У V2J

(2).

• к.

__ ^ґа ^ dV т~а

и

\г і

2 г. Vі в (1) и (2) левые части равны, то можно прноав-

ІЯ т _ nra^-V,)

нять и правые части, тогда AT = » ° ^ ма

2 р p-VxV2

/Я/Ж К,

6.20. Количества v = 0,5 кмоль трехатомного газа ал ба- тически расширяется в вакуум от объема Vx ~ 0,5 до о- ;\?а У2 = 3 м \ Температу ра газа при этом понижается на АТ = 1.1 J К. Найти постоя иную сі. входящую в уравнение Ван-дер-Ваал а.

Решение:

Понижение температуры при расширении (см. задач\ 6. і 9) vr 2ma{V,-Vx) 2va{V,-Vx) _

Д/ = - — = = — . Г. к. газ трехатомны;-- то

iRpVxV2 iRVxV2

число степеней свободы / = 6. Следовательно, постоянная

г. ^ ATiRVxV, г б/

Ван-дер-Ваальса д = —7 ; а = 0.:>64Пам /моль".

6.21. Какое давление /? надо приложить, чтобы углекис/.ый газ превратить в жидкую углекислоту при темпера;.- /,=31° С и *,=50°С? Какой наибольший объем УтіІГ занимать масса т = 1 кг жидкой углекислоты? наибольшее давление ртах насыщенного пара жпа-.оп углекислоты? 342

ТеМператУРа /j = 310 С — критическая температура деКислого газа, тогда необходимое давление = 7,38 МПа. Поскольку температура t2 больше

критической температуры, то ни при каком давлении нельзя превратить углекислый газ в жидкую кислоту.

3 b

Наибольший объем Vmax =— = 2,9 л; наибольшее давление Рта = Рх~ 7.3 В МПа.

6.22. Найти плотность рк водяного пара в критическом состоянии, считая известной для него постоянную b , входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса ( смотри ответ 6.2).

Решение:

Критический молярный объем водяного пара VQk = 3b . Тогда критическая плотность рк = -Е— = — ; рк= 196 кг/м3.

6.23. Найти плотность рк гелия в критическом состоянии, считая известными для гелия критические значения Гк и рк.

Решение:

Критическая плотность реального газа (см. задачу 6.22)

р Т R

Ас^тг- Постоянная Ван-дер-Ваальса Ь=——, тогда

ЗЬ 8Рк

р = 56.77 кг/м3.

3TR

6.24. Количество v = 1 кмоль кислорода занимает объем 55 56 л при давлении р = 93 МПа. Найти температуру t газа, Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса.? г Р Т

Ьсли ввести приведенные величины тс = — ; г = —•

Рк Т. :

ТО приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса л. ія

^Ок f з Ї к + г

V СО )

одного моля имеет вид

(3<у-і)=8г, откуда \( 3 ^

/Т+ 2 V СО J

г = — 8

ы:

(Зш-і). Найдем приведенные величин у у

приведенный молярный объем со — ——, где VQ= — :

V0 = 0,56- КГ4м3/моль и V0K=3b=^~; т/0к =9,5-10 s

8Л

м*/моль, тогда со = 0,59; приведенное давление

71 = — = 18,4 . Тогда г = 2,6 и. следовательно. Як

Т = тТк= 400 К.

6.25. Количество v = 1 кмоль гелия занимает объем К = 0.237 м* при температуре t = -200° С. Найти давление

газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенных величинах.

Решение:

Если ввести приведенные величины к— — \ г = — ;

Рк

= , то приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса дня ( 3 > К +—г- V со )

одного моля имеет вид 344

2

(Зсо -1)= 8г, откуда п п оґ Зсо-\ Зсо-\ со1

Т

величины: приведенная температура т- —; г = 14,03;

Т*

„ „ К .. v

Приведенный молярный ооъем = где F0= —;

К) к v

yQ = 2,37 - Ю-4 м3/моль и V0..=3 F0k=7,05X

х10~5м7моль, тогда со = 3.36. Следовательно, приведенное давление к = 12.09 . Окончательно давление газа р = лрк; ^ = 2,78 МПа.

6.26. Во сколько раз давление газа больше его критического давления, если известно, что его объем и температура вдвое больше критических значений этих величин?

Решение:

По условию г = 2, со - 2 . Исходя из приведенного уравнения Ван-дер-Ваальса для одного моля, приведенное

8г 3

давление (см. задачу 6.25) тг = ; к = 2,45 .

За) -1 со